Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV icon

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV




НазваМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV
Сторінка1/4
Дата04.06.2012
Розмір0.52 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ


НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ


УКРАИНЫ





И.Ю. Наумова, А.П. Иванова


СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ


Часть IV


Днепропетровск НМетАУ 2010


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ


НАЦИОНАЛЬНАЯ МЕТАЛЛУРГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ


УКРАИНЫ


И.Ю. Наумова, А.П. Иванова


СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ


Часть IV


Утверждено на заседании Ученого совета академии

в качестве учебного пособия


^ Днепропетровск НМетАУ 2010


УДК 539.3


Наумова И.Ю., Иванова А.П. Сопротивление материалов. Часть IV: Учеб. пособие. - Днепропетровск: НМетАУ, 2010. – 70 с.


В четвертой части учебного пособия “Сопротивление материалов” изложены основные вопросы и рассмотрен ряд задач по темам: “Перемещения в брусе при произвольной нагрузке”, “Статически неопределимые стержневые системы”.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 0902 и 0904 всех форм обучения, а также может быть использовано при обучении в магистратуре.

Ил. 117. Библиогр.: 5 наим. Табл.1.


Ответственный за выпуск В.М. Ахундов, д-р. физ.-мат.наук, проф.


Рецензенты: С.Е. Блохин, д-р техн. наук, проф. (НГУ)

В.Л. Красовский, д-р техн. наук, проф. (ПГАСА)


 Национальная металлургическая

академия Украины, 2010


СОДЕРЖАНИЕ

1. Перемещения в брусе при произвольной нагрузке ………… .…………..5

1.1. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения…... 5

1.2. Теорема Кастильяно………………………………………………8

1.3. Интеграл Мора………………………………….…………………17

1.4. Способ Верещагина…………………………………..………….21

1.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений……………….…30

2. Статически неопределимые стержневые системы ……………………..32

2.1. Основные понятия. Степень статической неопределимости.

Связи, накладываемые на систему . . . . ………………………..32

2.2. Метод сил. Выбор основной системы . . . . . . . . . . .…………….35

2.3. Канонические уравнения метода сил . . ………………………...36

2.4. Порядок решения статически неопределимых задач методом

сил… . . . . . . . . . . . . . . . . .………………………………………...38

2.5. Учет симметрии в методе сил. . …..……………………..……....1

Литература……………………………………..……………………………..66
^




1. Перемещения в брусе при произвольной нагрузке


Наиболее просто находятся перемещения при помощи энергетических соотношений на основе общего выражения потенциальной энергии нагруженного бруса.


    1. ^ Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения


Для определения потенциальной энергии выделим из бруса элементарный участок длиной (рис.1.1). В общем случае нагружения в поперечном сечении возникают 3 силы: продольная и поперечные , и 3 момента: крутящий и изгибающие , . Если рассматривать эти силовые факторы как внешние по отношению к выделенному элементу, то они совершают работу, которая переходит в потенциальную энергию, накопленную в элементарном участке .


Рис. 1.1


Левое сечение элемента будем условно считать неподвижным. Тогда работа силовых факторов, приложенных к левому торцу равна нулю. Точка приведения сил в правом сечении вследствие деформации элемента получает некоторые малые перемещения на которых совершается искомая работа. Каждому из шести силовых факторов соответствуют такие перемещения, на которых ни один из остальных пяти силовых факторов работы не совершает. Под действием крутящего момента совершается только угол поворота сечения вокруг оси . Под действием изгибающих моментов и только совершаются углы поворота вокруг оси и вокруг оси соответственно. Под действием продольного усилия совершается только линейное перемещение . Под действием поперечных сил и совершаются только линейные перемещения вдоль оси и вдоль оси соответственно. Тогда работа, а следовательно, и потенциальная энергия элемента будет равна сумме потенциальных энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига

. (1.1)

Здесь

- потенциальная энергия растяжения равная работе на упругом перемещении

.

Коэффициент появляется вследствие прямой пропорциональности между силой и перемещением . Согласно закону Гука

,

где - модуль Юнга, - площадь поперечного сечения, - жесткость поперечного сечения при растяжении.

Тогда

. (1.2)

Аналогично получены выражения остальных энергий:

- кручения

, (1.3)

где - модуль сдвига, - момент инерции при кручении, - жесткость поперечного сечения при кручении ;

- изгиба

, , (1.4)

где ,- осевые моменты инерции относительно осей и соответственно; , - жесткости поперечных сечений при изгибе

- сдвига

, , (1.5)

где - жесткость при сдвиге; коэффициенты , - безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения (для прямоугольного , для круглого , для тонкостенного кругового профиля ).

С учетом формул (1.2) – (1.5) выражение (1.1) принимает вид

(1.6)

Интегрируя выражение (1.6) по длине бруса получаем потенциальную энергию всего бруса

. (1.7)


Теорема Кастильяно

Перемещения бруса могут быть определены с помощью теоремы Кастильяно:

Частная производная от потенциальной энергии системы по обобщенной силе равна соответственному обобщенному перемещению точки приложения силы по направлению ее действия.

Под обобщенной силой понимается любая нагрузка (сосредоточенная сила , сосредоточенная пара сил ), а под обобщенным перемещением – то перемещение на котором эта сила совершает работу (силе соответствует линейное перемещение , моменту соответствует угловое перемещение ). Таким образом, теорему Кастильяно можно записать следующими формулами

, (1.8)

. (1.9)

Если требуется определить линейное или угловое перемещение в точке, где по условию задачи соответствующая обобщенная сила отсутствует, ее прикладывают фиктивно или . Затем с учетом этих фиктивных нагрузок находят выражение потенциальной энергии, берут от нее частную производную по фиктивной силе и в полученном выражении для обобщенного перемещения полагают фиктивную силу равной нулю.

Рассмотрим следующие примеры.

1. Требуется определить перемещение сечения стержня длины постоянной жесткости при растяжении его силой (рис. 1.2).

Решение.

При растяжении в выражении потенциальной энергии (1.7) остается слагаемое . Продольное усилие определяется методом сечений . Тогда Рис. 1.2 .

Согласно (1.8)

.

2. Требуется определить угол поворота сечения при кручении вала длины постоянной жесткости скручивающим моментом (рис. 1.3).

Решение.

При кручении в выражении потенциальной энергии (1.7) остается слагаемое . Рис. 1.3

крутящий момент определяется методом сечений . Тогда .

Согласно (1.9)

.

3.Требуется определить прогиб консоли (рис. 1.4) силой свободного конца консоли длины круглого поперечного сечения диаметра ( - коэффициент Пуассона).

Решение

При прямом поперечном изгибе в выражении потенциальной энергии (1.1) остаются слагаемые, соответствующие энергии Рис. 1.4 изгиба и энергии сдвига

,

где , , изгибающий момент и поперечная сила определяются методом сечений

, , .

Тогда

, .

Перемещение сечения можно представить как сумму перемещения от изгиба и перемещения от сдвига , то есть, . Согласно (1.8)

, .

В процентном отношении перемещение от сдвига от перемещения от изгиба составляет

.

С учетом соотношения между модулем сдвига и модулем Юнга получим . Для круглого поперечного сечения , , . Тогда

.

Если и , то

.

Следовательно, при изгибе перемещением от сдвига можно пренебречь.

4. Требуется определить горизонтальное перемещение свободного конца рамы круглого поперечного сечения диаметра при действии силой в плоскости рамы.

Решение.

При изгибе рамы в ее плоскости, как показано на рисунке 1.5 в выражении потенциальной энергии (1.1) остаются слагаемые, соответствующие энергии изгиба для вертикального стержня и энергии растяжения для горизонтального стержня .

,

где , ,

Рис. 1.5

изгибающий момент и продольная сила определяются методом сечений , , . Тогда

, .

Перемещение сечения можно представить как сумму перемещения от изгиба и перемещения от растяжения , то есть, . Согласно (1.8)

, .

В процентном отношении перемещение от растяжения от перемещения от изгиба составляет

.

Если , то

.

Следовательно, при изгибе перемещением от растяжения можно пренебречь.

5. Требуется определить вертикальное перемещение свободного конца рамы круглого поперечного сечения диаметра при действии силой , расположенной перпендикулярно плоскости рамы (рис. 1.6).

Решение.

В выражении потенциальной энергии (1.1) остаются слагаемые, соответствующие энергии изгиба и энергия сдвига для стержня а также энергии кручения , энергии изгиба и энергия сдвига растяжения для стержня . Поскольку перемещениями от сдвига можно пренебречь, выражение (1.1) примет вид

Рис. 1.6

.

Для стержня :

, .

Для стержня :

, , .

Тогда

, .

Перемещение сечения можно представить как сумму перемещения от изгиба стержня , перемещения от изгиба стержня и перемещения от кручения , то есть, . Согласно (1.8)

, .

Для круглого сечения , .

Тогда

, .

Как видно, перемещения от кручения того же порядка, что и перемещения от изгиба.

6. Требуется определить вертикальное перемещение узла шарнирно – стержневой системы (рис. 1.7, жесткость стержней постоянна и равна ).


Решение.

Выражение потенциальной энергии (1.7) принимает вид

.

Продольные усилия , , , определяем путем вырезания узлов.


Рис. 1.7




Рис. 1.8 Рис. 1.9

Узел , (рис. 1.8): ; , откуда ;

Узел , (рис. 1.9): , откуда ; , откуда .

Тогда

.

Согласно (1.8) вертикальное перемещение узла

.

7. Требуется определить угловое перемещение свободного края консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 1.10) при постоянной жесткости на изгиб .

Решение.

В сечении прикладываем фиктивный момент . Тогда изгибающий момент в сечении , : .

При этом выражение потенциальной энергии (1.7) принимает вид



и соответственно выражение угла поворота сечения согласно (1.9) Рис. 1.10 имеет вид

.

Полагая в полученном выражении фиктивный момент , получаем

.

1.3. Интеграл Мора

Недостаток определения перемещений с помощью теоремы Кастильяно в том, что дает возможность определить перемещения только точек приложения внешних сил и только в направлении этих сил.

Для определения перемещения в точке, где не приложена сила используют метод Мора (интеграл Мора). Для этого в точке, где нужно определить перемещение прикладываем силу в интересующем направлении. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении бруса при этом изменятся на величины, зависящие от силы , то есть будем иметь

; ; ;

; ; . (1.10).

Так как внутренние силовые факторы пропорциональны приложенной внешней силе, то

; ; ;

; ; . (1.11)

Подставляя (1.10) с учетом (1.11) в (1.7) получим следующее выражение потенциальной энергии

(1.12)

Дифференцируя (1.12) по фиктивной силе и после этого, полагая ее равной нулю, получим интеграл Мора

. (1.13)

Как видно из примеров, приведенных в п.1.2 при сложном сопротивлении перемещениями от растяжения и сдвига можно пренебречь по сравнению с перемещениями от кручения и изгиба и получим интеграл Мора в виде

. (1.14)

При определении перемещений для плоской системы в балках, рамах и арках формула (1.14) принимает вид

. (1.15)

Для шарнирных ферм, образованных прямыми стержнями, в интеграле Мора сохраняется член содержащий продольную силу и полученная формула называется формулой Максвелла

. (1.16)

Порядок определения перемещений и углов поворота по методу Мора следующий:

1. Строят вспомогательную систему, которую нагружают в точке, где требуется определить перемещение или угол поворота единичной силой для определения перемещения или единичным моментом для определения угла поворота.

2. Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в произвольном сечении заданной системы и вспомогательной.

3. Вычисляют интегралы Мора по участкам в пределах каждой системы.

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы, если знак отрицательный, то действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

Рассмотрим следующие примеры

1. Требуется определить перемещение сечения и угол его поворота (жесткость поперечного сечения - , рис. 1.11).

Решение.

Для определения перемещения сечения прикладываем в этом сечении единичную силу, определяем изгибающие моменты и :, и вычисляем перемещение

Рис. 1.11 .

Для определения угла поворота сечения прикладываем единичный момент в этом сечении. При этом для ,

и тогда .

2. Требуется определить перемещение сечения и угол его поворота (жесткость поперечного сечения участка - , жесткость поперечного сечения участка - , рис. 1.12).

Решение.

В этом примере выражения для и те же, что и в предыдущем. Перемещение Рис. 1.12 сечения будет .

Угол поворота сечения соответственно .


3.Требуется для рамы (рис. 1.13) определить вертикальное и горизонтальное перемещения, а также угол поворота сечения (жесткость поперечного сечения рамы - , ).

Решение.



Рис. 1.13 Рис. 1.14 Рис.1.15 Рис.1.16

Выражения изгибающих моментов от заданной нагрузки следующие:

Стержень : .

Стержень : .

Для определения вертикального перемещения прикладываем в сечении единичную силу в вертикальном направлении (рис. 1.14). При этом выражения единичных моментов следующие:

Стержень : .

Стержень : .

Вертикальное перемещение сечения :

.

Для определения горизонтального перемещения прикладываем в сечении единичную силу в горизонтальном направлении (рис. 1.15). При этом выражения единичных моментов следующие:

Стержень : .

Стержень : .

Горизонтальное перемещение сечения :

.

Для определения угла поворота прикладываем в сечении единичный момент (рис. 1.16). При этом выражения единичных моментов следующие:

Стержень : .

Стержень : .

Угол поворота сечения :

.

4. Требуется определить горизонтальное перемещение шарнирно стержневой системы (рис. 1.17), если - жесткость стержня , - жесткость стержня .

Решение.




Рис. 1.17 Рис. 1.18 Рис. 1.19

Определяем внутренние усилия в стержнях и , вырезая узел (рис. 1.18) и составляя уравнения равновесия узла ; .

Рис. 1.20

Из первого уравнения получаем связь с учетом которой второе уравнение принимает вид , откуда , .

Для определения горизонтального перемещения приложим единичную силу в узле в горизонтальном направлении (рис. 1.19). Определяем внутренние усилия в стержнях и , вырезая узел (рис. 1.20) и составляя уравнения равновесия узла ; . Из второго уравнения получаем связь с учетом которой первое уравнение принимает вид , откуда .

Горизонтальное перемещение определяем по формуле Максвелла

.

5. Требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещения, а также угол поворота сечения кривого бруса малой кривизны в виде четверти круга (рис. 1.21, ), если его геометрический радиус .


Решение.

Изгибающий момент от нагрузки , .

Для определения вертикального перемещения сечения прикладываем единичную силу в вертикальном (рис. 1.22) направлении и записываем выражение изгибающего момента от этой силы . Тогда согласно формуле Мора вертикальное перемещение будет .







Рис. 1.21 Рис. 1.22







Рис. 1.23 Рис. 1.24

Для определения горизонтального перемещения сечения прикладываем единичную силу в вертикальном (рис. 1.23) направлении и записываем выражение изгибающего момента от этой силы . Тогда согласно формуле Мора горизонтальное перемещение будет

.

Для определения угла поворота сечения прикладываем единичный момент в сечении (рис. 1.24) и записываем выражение изгибающего момента от этого момента . Тогда согласно формуле Мора угол поворота сечения будет

.

  1   2   3   4

Схожі:

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть II
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть II: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2007. – 56 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть III: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2008. – 67 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-16320291
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины учебно-научный комплекс «Национальная металлургическая академия Украины Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром)» Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-3612123
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
Социология. Курс лекций // Шестопалов Г. Г., Амельченко А. Е., Куревина Т. В., Лагута Л. Н под ред проф Г. Г. Шестопалова. – Днепропетровск:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины
Целью контрольной работы является комплексное освоение студентами совокупности двух важных разделов планирования деятельности предприятия:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины институт инновационных технологий и содержания образования мон украины петровская академия наук и искусств (Санкт Петербург) университет менеджмента образования апн украины научно-методический комплекс
Коммунальное учреждение «Запорожская областная академия последипломного педагогического образования»
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
«Электромеханика» специальности “Электромеханические системы автоматизации и электропривод”
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи