Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV icon

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV




НазваМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV
Сторінка3/4
Дата04.06.2012
Розмір0.52 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4

2. Статически неопределимые стержневые системы

^ 2.1. Основные понятия. Степень статической неопределимости. Связи, накладываемые на систему


Стержневая система – всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса.

Ферма – стержневая система, элементы которой в основном работают на растяжение или сжатие (рис. 2.1).


Рис. 2.1

Рама – стержневая система, элементы которой в основном работают на изгиб или кручение (рис. 1.6; рис. 1.13 – 1.16).

Плоские рамы и фермы – стержневые системы, у которых оси всех составляющих элементов в недеформированном состоянии расположены в одной плоскости. Эта плоскость является главной плоскостью сечений в которой действуют все внешние силы, включая и реакции опор (рис. 1.13 – 1.16).

^ Плоскопространственные системы – системы, у которых оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются в одной плоскости, а внешние силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных к этой плоскости (рис. 1.6).

Остальные стержневые системы называются пространственными.

Рамы и фермы разделяют на статически определимые и статически неопределимые.

Статически определимая система – такая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении.

^ Статически неопределимая система – такая система, для которой нельзя определить все реакции и все внутренние силовые факторы только при помощи метода сечений и уравнений равновесия.

^ Степень статической неопределимости (число статической неопределимости) – разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы.

^ Степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему.

Дополнительная связь – всякая связь, наложенная на систему сверх необходимой.

^ Необходимое число связей – то число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость системы.

Брус в пространстве обладает шестью степенями свободы (его положение определяется шестью координатами). Следовательно, если на брус в пространстве наложено шесть связей, то, за редким исключением, такая система из механизма превращается в кинематически неизменяемую систему, то есть, необходимое число связей – шесть. Для плоского бруса необходимое число связей – три.

Связи бывают внешние и внутренние (взаимные).

^ Внешние связи – условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы ( подвижный шарнир – 1 связь, неподвижный шарнир – 2 связи, защемление в плоской системе – 3 связи, защемление в пространственной системе – 6 связей).

Для плоской рамы (рис. 2.2) в заделке - 3 связи, в опоре - 1 связь, всего на систему наложено 4 связи, из них 3 - необходимые, 1 – дополнительная. Следовательно, рама 1 раз статически неопределима внешним образом.

Рис.2.2

Для плоской рамы на рисунке 2.3 в заделке - 3 связи, в опоре - 2 связи, всего 5 связей, из них 3 – необходимые, 2 – дополнительные. Поэтому система 2 раза статически неопределима внешним образом.

Рис. 2.3




Для плоской рамы (рис. 2.4) в заделке - 3 связи, в заделке - 3 связи, всего 6 связей, из них 3 – необходимые, 3 – дополнительные. Поэтому система 3 раза статически неопределима внешним образом.

Рис. 2.4

Для пространственной рамы (рис. 2.4) в заделке - 6 связей, в заделке - 6 связей. Таким образом, всего 12 связей, из которых: 6 – необходимых, 6 – дополнительных. Поэтому, система 6 раз статически неопределима внешним образом.

Рис. 2.5

^ Внутренние (взаимные) связи – ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Замкнутый плоский контур имеет 3 дополнительные связи. Рама на рисунке 2.6 имеет 3 внутренние связи и 3 внешние. Рама плоская, следовательно, 3 связи дополнительные и система 3 раза статически неопределима внутренним образом.

Рис. 2.6

Если контур рамы разрезать (рис.2.7), то можно будет определить любое внутреннее усилие и система будет статически определима.

Рис. 2.7

Степень статической неопределимости уменьшается, если в системе есть промежуточные (подвесные) шарниры. Всякий подвесной шарнир дает дополнительное уравнение равновесия (равенство нулю суммы моментов всех сил, расположенных по одну сторону от шарнира). Шарнирное соединение стержней можно рассматривать как наложение шарниров друг на друга. Таким образом, шарнир, в котором сходится стержней, дает дополнительное условие, то есть, снимает число связей на единицу меньшее, чем количество стержней, сходящихся в нем.

Для плоской рамы (рис. 2.8) в левой опоре - 2 связи, в правой опоре - 1 связь, замкнутый контур дает 3 связи, навесной шарнир, в котором сходится 2 стержня, одну связь снимает. Поэтому, на систему наложено всего 5 связей, из них которых: 3 - необходимые, 2 – дополнительные. Следовательно, рама 2 раза статически неопределима внутренним образом.


Рис. 2.8

Для решения статически неопределимых задач (раскрытия статической неопределимости) применяется метод сил или метод деформаций.

^ 2.2. Метод сил. Выбор основной системы


Метод сил заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей, а их действие заменяется силами и моментами. Величина этих сил и моментов подбирается так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями, то есть, неизвестными оказываются силы.

Раскрытие статической неопределимости начинается с выбора основной системы. Основная система должна быть геометрически неизменяемой и статически определимой. Отброшенные связи заменяются силовыми факторами, которые и являются “лишними” неизвестными. В сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые перемещения, вводятся моменты. Обозначаются внутренние силовые факторы (- номер неизвестного). Основная система с введенными неизвестными силовыми факторами (силами) называется эквивалентной системой. Две системы считаются эквивалентными, если напряжения, деформации и перемещения в них одинаковые. Величины “лишних” неизвестных определяются из условий эквивалентности (условий совместности деформаций). Выбор основной и эквивалентной систем неоднозначен. Например, для плоской рамы, изображенной на рисунке 2.9 показаны 3 возможных варианта эквивалентных систем (рис.2.10 – 2.12).




Рис. 2.9

Рис. 2.10 Рис. 2.11 Рис. 2.12

Для определения “лишних” неизвестных составляют канонические уравнения метода сил (условия эквивалентности или условия совместности деформаций).


^ 2.3. Канонические уравнения метода сил


Канонических уравнений составляется столько, какова степень статической неопределимости. Пусть степень статической неопределимости равна . Каждое уравнение выражает ту мысль, что суммарное перемещение сечения с отброшенной - ой связью в направлении этой связи от всех “лишних” сил и внешней нагрузки равно нулю. Согласно принципу независимости действия сил

, . (2.1)

Здесь

- перемещение сечения с отброшенной - связью в направлении - ой связи от действия “лишней” силы ;

- перемещение сечения с отброшенной - связью в направлении - ой связи от действия внешней нагрузки ( называется грузовым коэффициентом).

Согласно закону Гука

, , , (2.2)

где - перемещение сечения с отброшенной - связью в направлении

- ой связи от действия единичной силы =1 в направлении

“лишней” силы ( называется коэффициентом податливости).

В уравнениях (2.1), (2.2) перемещения имеют два индекса: первый указывает направление перемещения, второй – причину, вызвавшую это перемещение. Подставляя (2.2) в (2.1) получим систему канонических уравнений метода сил

, . (2.3)

По теореме о взаимности перемещений

. (2.4)

Если , перемещения называются побочными, если , перемещения называются главными. В самом общем случае сложного сопротивления перемещения , определяются с помощью интеграла Мора (1.13), в котором внутренние силовые факторы возникают от действия единичных сил . При этом, поскольку перемещения, связанные с изгибом и кручением больше перемещений, связанных с растяжением и сдвигом, первыми тремя интегралами в выражении (1.13) можно пренебречь. Если рассматривается плоская рама, работающая на изгиб, используется формула (1.15). Если рама состоит из прямых участков, то для вычисления интегралов Мора можно пользоваться способом Верещегина, используя формулу перемножения эпюр (1.19).

Для пространственной рамы 6 раз статически неопределимой (рис. 2.5) система канонических уравнений имеет вид:

;

;

;

;

;

. (2.5)

Для плоской рамы 3 раз статически неопределимой (рис. 2.5) система канонических уравнений имеет вид:

;

;

. (2.6)

Для плоской (2 раза статически неопределимой) рамы (рис. 2.4) имеем два канонических уравнения

;

. (2.6)

Для плоской рамы (1 раз статически неопределимой) (рис. 2.3) имеем одно каноническое уравнение

. (2.6)


^ 2.4. Порядок решения статически неопределимых задач методом сил

1. Установить степень статической определимости рамы.

2. Выбрать основную систему. Основная система должна быть статически определимая и геометрически неизменяемая. Получают ее из заданной путем отбрасывания “лишних” связей.

3. Изобразить эквивалентную заданной систему. Эквивалентная система это основная система, нагруженная всеми внешними силами и реакциями отброшенных связей (“лишними” силами).

4. Изобразить грузовое и единичное состояния эквивалентной системы. Количество единичных состояний равно степени статической неопределимости.

5. Найти опорные реакции отдельно для грузового состояния и всех единичных состояний. Если эквивалентная система защемлена одним концом, реакции в заделке можно не определять.

6. Для каждого участка грузового и всех единичных состояний указать текущую координату.

7. Для единичного и грузового состояния построить эпюру изгибающих моментов.

8. Записать систему канонических уравнений метода сил. Определить коэффициенты податливости и грузовые коэффициенты, входящие в канонические уравнения метода сил. Решить систему канонических уравнений (найти “лишние” силы).

9. Для эквивалентной системы с найденными “лишними” силами построить эпюры внутренних силовых факторов и произвести расчет на прочность.

10. Произвести проверку полученного решения.

Рассмотрим следующие задачи.


Задача 1

Построить эпюру изгибающих моментов, продольных и поперечных сил для рамы, представленной на рисунке 2.13, если жесткость ее участков одинакова.


Рис. 2.13


Решение.

Рама один раз статически неопределима поскольку всего неизвестных опорных реакций четыре (три в заделке и одна в правой подвижной опоре ), а полезных уравнений статики – три.

Основную систему получаем из заданной путем удаления правой шарнирно подвижной опоры (рис. 2.14).

Рис. 2.14 Рис. 2.15


Систему, эквивалентную заданной, получаем прикладывая к основной системе реакцию отброшенной связи (“лишнюю” неизвестную ) и заданную нагрузку .

Изображаем грузовое (рис. 2.16) и единичное (рис. 2.17) состояния

Рис. 2.16 Рис. 2.17

системы.

Строим эпюры изгибающих моментов для грузового (рис. 2.18) и для единичного (рис. 2.19) состояний.

Участок : , .

Участок : , , ,.

Участок : , , ,

.




Рис. 2.18 Рис. 2.19


Поскольку система один раз статически неопределима, составляем одно каноническое уравнение метода сил, выражающее ту мысль, что вертикальное перемещение на правой опоре равно нулю

.

Коэффициент податливости и грузовой коэффициент определяем по способу Верещагина.

,

где:

, - площади единичных эпюр участков и (рис. 2.19)

, ,

, - ординаты на единичной эпюре участков и под их центрами тяжести (рис. 2.19)

, .

Подставляя , , , в , получим

.

,

где

- площадь грузовой эпюры участка (рис. 2.18)

,

- ордината на единичной эпюре участков под центром тяжести грузовой эпюры (рис. 2.19)

.

В формуле для знак (-) ставится потому, что грузовая и единичная эпюры располагаются по разные стороны от оси участка

.

Подставляя коэффициенты и в каноническое уравнение метода сил, получаем

,

откуда находим

.

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.

Теперь строим эпюры продольных усилий , поперечных усилий и изгибающих моментов для эквивалентной системы, изображенной на рисунке 2.15.

Участок :, , .

Участок : , , , , .

Участок : , , , ,, , .


Рис. 2.20


Эпюры , и на рисунках 2.20 - 2.22 соответственно.


Рис. 2.21 Рис. 2.22

Для деформационной проверки выбираем новую эквивалентную систему (рис.2.23), заменяя жесткую заделку шарнирно неподвижной опорой и в качестве “лишней” неизвестной выбирается момент в защемлении .

Определяем опорные реакции для нового единичного состояния (рис. 2.24).

, откуда ;

, откуда ;

, откуда .





Рис. 2.23 Рис. 2.24

Строим единичную эпюру для нового единичного состояния.


Участок : .

Участок : , ,.

Участок : .

Рис. 2.25 Рис. 2.26

Теперь определяем угол поворота опоры путем перемножения эпюры (рис. 2.22) и единичной эпюры (рис.2.25). При этом, эпюру на участке разбиваем на прямоугольник и параболический треугольник (рис. 2.26), расположенные по разные стороны от оси стержня . Тогда

,

что соответствует действительности (угол поворота в защемлении равен нулю).

Задача 2

Построить эпюру изгибающих моментов, продольных и поперечных сил для рамы, представленной на рисунке 2.27, если жесткость ее участков одинакова.

Решение.

Рама один раз статически неопределима, поскольку всего неизвестных опорных реакций четыре (две на левой неподвижной опоре и две на правой неподвижной опоре ), а полезных уравнений статики – три.

Рис. 2.27

Основную систему получаем из заданной путем замены правой шарнирно неподвижной опоры шарнирно подвижной (рис. 2.28).

Рис. 2.28 Рис. 2.29

Систему, эквивалентную заданной, получаем, прикладывая к основной системе горизонтальную реакцию отброшенной горизонтальной связи и заданную нагрузку (рис.2.29). Изображаем грузовое состояние системы (рис. 2.30), единичное состояние системы (рис. 2.31).



Рис. 2.30 Рис. 2.31


Определяем опорные реакции для грузового состояния:

, откуда ;

, откуда ;

, откуда .

Определяем опорные реакции для единичного состояния:

, откуда ;

, откуда ;

, откуда .

Строим эпюры изгибающих моментов для грузового (рис. 2.32) и для единичного (рис. 2.33) состояний.


Рис. 2.32 Рис. 2.33


Участок :

, , , .

Участок :

, , , , , .

Участок :

, , , , , .

Поскольку система один раз статически неопределима, составляем одно каноническое уравнение метода сил, выражающее ту мысль, что горизонтальное перемещение на правой опоре равно нулю

.

Коэффициент податливости и грузовой коэффициент определяем по способу Верещагина.

,

где:

- площадь единичной эпюры участка ; - ордината на единичной эпюре участка под ее же центром тяжести;

единичную эпюру на участке представляем в виде суммы прямоугольника и треугольника:

- площадь прямоугольной части единичной эпюры участка ;

- ордината под центром тяжести прямоугольной части единичной эпюры участка на этой же эпюре; - площадь треугольной части единичной эпюры участка ;

- ордината под центром тяжести треугольной части единичной эпюры участка на этой же эпюре; - площадь единичной эпюры участка ; - ордината на единичной эпюре участка под центром тяжести этой же эпюры.

Подставляя , , , , , , в , получим

.

.

Здесь

- площадь грузовой эпюры участка (выпуклый параболический треугольник);

- ордината на единичной эпюре участка под центром тяжести грузовой эпюры;

- площадь грузовой эпюры участка ;

- ордината на единичной эпюре участка под центром тяжести грузовой эпюры на этом же участке.

В формуле для знак (-) ставится потому, что грузовая и единичная эпюры располагаются по разные стороны от осей участков и .

Подставляя , , в , получим

.

Подставляя коэффициенты и в каноническое уравнение метода сил, получаем

,

откуда находим

.

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта.

Определяем опорные реакции для эквивалентной системы с учетом найденного значения (рис. 2.29):,откуда ;

, откуда ;

, откуда .



Теперь строим эпюры продольных усилий (рис. 2.34), поперечных усилий (рис. 2.35) и изгибающих моментов (рис. 2.36) для эквивалентной системы, изображенной на рисунке 2.23.


Рис. 2.34

Участок :

, , , , .

Участок :

, , , ,.

Участок :

, , , . Найдем сечение, в котором поперечная сила принимает значение равное нулю , откуда . , , , .

Рис. 2.35 Рис. 2.36

Для деформационной проверки решения выбираем новую эквивалентную систему, заменяя левую шарнирно неподвижную опору шарнирно подвижной (рис. 2.37).


Рис. 2.37 Рис. 2.38

Определяем опорные реакции для нового единичного состояния (рис.2.38)

, откуда ;

, откуда ;

, откуда .

Строим единичную эпюру для нового единичного состояния.

Участок : , , .

Участок :

, , .

Участок :

, , .

Теперь перемножаем эпюры (рис. 2.36) и (рис. 2.39) и определяем вертикальное перемещение опоры . При этом, эпюру на участке представляем в виде суммы треугольника и параболического треугольника, а на участке в виде прямоугольника и треугольника (рис. 2.40). Тогда

,


что соответствует действительности – вертикальное перемещение на опоре равно нулю.





Рис. 2.39 Рис. 2.40

1   2   3   4

Схожі:

Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть II
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть II: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2007. – 56 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть III
Наумова И. Ю., Иванова А. П. Сопротивление материалов. Часть III: Учеб пособие. Днепропетровск: нметАУ, 2008. – 67 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки, молодежи и спорта украины национальная металлургическая академия украины
Гичёв Ю. А. Источники теплоснабжения промышленных предприятий. Часть І: Конспект лекций: Днепропетровск: нметАУ, 2011. – 52 с
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-16320291
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины учебно-научный комплекс «Национальная металлургическая академия Украины Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром)» Под редакцией профессора Шестопалова Г.
move to 0-3612123
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины министерство промышленной политики украины национальная металлургическая академия Украины – Государственный институт подготовки и переподготовки кадров промышленности (гипопром) Под редакцией профессора Шестопалова Г.
Социология. Курс лекций // Шестопалов Г. Г., Амельченко А. Е., Куревина Т. В., Лагута Л. Н под ред проф Г. Г. Шестопалова. – Днепропетровск:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины
Целью контрольной работы является комплексное освоение студентами совокупности двух важных разделов планирования деятельности предприятия:...
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины институт инновационных технологий и содержания образования мон украины петровская академия наук и искусств (Санкт Петербург) университет менеджмента образования апн украины научно-методический комплекс
Коммунальное учреждение «Запорожская областная академия последипломного педагогического образования»
Министерство образования и науки украины национальная металлургическая академия украины и. Ю. Наумова, А. П. Иванова сопротивление материалов часть IV iconМинистерство образования и науки украины харьковская национальная академия городского хозяйства
«Электромеханика» специальности “Электромеханические системы автоматизации и электропривод”
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи