По дисципліні «дослідження операцій» icon

По дисципліні «дослідження операцій»




НазваПо дисципліні «дослідження операцій»
Дата02.10.2012
Розмір0.7 Mb.
ТипКонспект

НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ


КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ


КОРОТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

Програма

Варіанти індивідуальних завдань

ПО ДИСЦИПЛІНІ

«ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ»

ДЛЯ НАПРЯМКУ

0502 - «Менеджмент»


Сост.: Швачич Г.Г., канд. технічних наук, доцент,

Христян В.И. ст.викл.


Дніпропетровськ

2008

ЦІЛЬ ДИСЦИПЛІНИ


Дослідження операцій – дисципліна, що|какая| має досить важливе методологічне значення в системі підготовки сучасного економіста. У ній найбільше чітко реалізуються основні ідеї вивчення математичних дисциплін на економічних спеціальностях|экономичном| – ідеї математичного моделювання економічних|экономичных| процесів, обґрунтування рішень, які|какие| приймаються в результаті керування організаційними структурами.

Мета й задачі дисципліни: одержання теоретичних знань і практичних|практичных| навичок |с| формалізації задач керування з використанням спеціалізованих оптимізаційних методів.

Предмет: моделі й методи системного аналізу, способи дослідження й оптимізації операцій.


^ ПРОГРАМА КУРСУ


ЛЕКЦІЙНИЙ КУРС


Тема 1. Предмет дослідження операцій. Особливості застосування дослідження операцій при рішенні| задачі економіко-математичного моделювання

Предмет, об'єкт, завдання|задача| й методологічні основи дисципліни. Загальна постановка задачі дослідження операцій. Операції і їхня ефективність. Математична модель операції. Класифікація моделей і методів дослідження операцій. Приклади|приклады| задач, які|какие| вирішуються|решаются| методами дослідження операцій.


Тема 2. Складання|складывание,сдача| математичних моделей організаційних структур економіки і їхній аналіз

Задача планування виробництва і її математична модель. Задача складання|складывания,сдачи| раціону (задачі про дієту й суміші) і особливості її математичної моделі. Математична модель задачі про завантаження встаткування. Математичні моделі задач розкрою матеріалу. Аналіз математичних моделей з погляду ефективних методів їхнього рішення|решения|. Особливості складання |решения| математичних моделей у середовищах МАТНСАD і ЕХСЕL.


Тема 3. Моделі дискретного лінійного програмування (ЛП|)

Область застосування цілочисельних задач ЛП| у плануванні й керуванні виробництвом, їх математична постановка. Складання|складывание,сдача| математичних моделей задач цілочисельного програмування. Геометрична інтерпретація рішень на площині. Методи Гоморрі. Метод гілок і границь|. Особливості рішення|решения| задач дискретного програмування в середовищі ЕХСЕL.


Тема 4. Моделі нелінійного програмування (НП|)

Класичні методи нелінійного програмування. Економічна|экономичная| сутність і постановки окремих типів задач НП|. Графічний метод рішення задач НП|. Класичний метод оптимізації задач НП| методом множників Лагранжа, економічна|экономичная| інтерпретація. Особливості рішення задач НП| графічним методом і методом невизначених множників Лагранжа в середовищі МАТНСАD.

Опукле програмування. Опуклі функції. Задача опуклого програмування. Необхідні й достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Такера.

Градієнтні методи рішення задач НП|. Метод найшвидшого спуска. Метод сполучених градієнтів Флетчера-Ривса. Метод Давидона-Флетчера-Пауэла (ДФП|). Штрафні функції. Застосування методу| ДФП| для розв’язування задач із обмеженнями.

Прямі методи розв’язування задач НП|. Метод Пауэла. Метод Хука-Дживса. Особливості рішення задач у середовищах МАТНСАD й ЕХСЕL.

Методи випадкового пошуку при рішенні задач НП|. Методи випадкового пошуку з лінійною і нелінійною тактиками. Особливості аналізу математичних моделей у середовищах МАТНСАD й ЕХСЕL.


Тема 5. Сітьове планування й керування (СПК|)

Призначення й область застосування СПК|. Мережна модель і її основні елементи. Порядок і правила побудови сітьових графіків. Впорядкування сітьового графіка. Сітьове планування в умовах невизначеності. Аналіз й оптимізація сітьового графіка. Оптимізація сітьового графіка методом "час - вартість". Особливості рішення задач СПК| в середовищах МАТНСАD й ЕХСЕL.


Тема 6. Системи масового обслуговування (СМО|)

Основні поняття й визначення. Класифікація СМО|. Поняття марковського випадкового процесу. Потоки подій. Рівняння Колмогорова. СМО| з відмовами. СМО| з очікуванням. Поняття про статистичне моделювання СМО| (метод Монте-Карло). Особливості рішення задач у середовищах МАТНСАD й ЕХСЕL.


Тема 7. Моделі керування запасами|припасами|

Основні поняття й визначення. Статистична детермінована| модель без дефіциту. Статистична детермінована| модель із дефіцитом. Стохастичні моделі керування запасами|припасами|.


^ ТЕМИ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ


  1. Складання|складывание,сдача| математичних моделей організаційних структур економіки.

  2. Моделі дискретного програмування.

  3. Моделі нелінійного програмування.

  4. Моделі сітьового планування.

  5. Системи масового обслуговування.

  6. Моделі керування запасами|припасами|.



ОРІЄНТОВНИЙ ПЕРЕЛІК|перечисление| ПИТАНЬ

  • ^ ДЛЯ ПІДСУМКОВОГО КОНТРОЛЮ ЗНАНЬ




  1. Математична модель операції. Загальна постановка задачі дослідження операцій.

  2. Класифікація моделей і методів дослідження операцій. Приклади|приклады| задач, які|какие| вирішуються методами дослідження операцій.

  3. Задача планування виробництва і її математична модель.

  4. Задача складання|складывания,сдачи| раціону (задачі про дієту й суміші) і особливість її математичної моделі.

  5. Математична модель задачі про завантаження встаткування.

  6. Математичні моделі задач розкрою матеріалу.

  7. Аналіз математичних моделей з погляду ефективних методів їхнього рішення|решения|.

  8. Використання цілочисельних задач ЛП| у плануванні й керуванні виробництвом і їхньою математичною постановкою.

  9. Методи Гоморри.

  10. Метод гілок і границь|.

  11.  Класичний метод оптимізації задач НП.| Метод невизначених множників Лагранжа, економічна|экономичная| інтерпретація.

  12.  Теорема Куна-Такера.

  13. Метод найшвидшого спуска.

  14. Метод сполучених градієнтів Флетчера-Ривса.

  15. Метод Давидона-Флетчера-Пауела (ДФП|).

  16. Методи випадкового пошуку з лінійною й нелінійною тактиками.

  17. Мережна модель і її основні елементи. Порядок і правила побудови сіткових графіків.

  18. Системи масового обслуговування (СМО|). Основні поняття й визначення. Класифікація СМО|.

  19. Поняття про статистичне моделювання СМО| (метод Монте-Карло).

  20. Моделі керування запасами.

|припасами|..


^ 1. ЦІЛОЧИСЕЛЬНЕ ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ (ЦЛП)

ЦЛП - це розділ дослідження операцій, що орієнтований на рішення задач, у яких всі змінні або частина з них є цілочисельними (повністю або частково цілочисельні задачі).

Класичним прикладом цілочисельних задач лінійного програмування (ЦЗЛП) є задача, що у літературі називається задачею комівояжера.

Ця задача формулюється в такий спосіб. Комівояжер повинен відвідати ряд міст, відстані між якими відомі. Комівояжер вибирає самий короткий замкнутий маршрут, що починається й закінчується в місті його проживання, при цьому він повинен відвідати необхідне місто один і тільки один раз.

Очевидно, що завдання комівояжера полягає в оптимальному виборі його маршруту.

Іншою класичною задачею такого типу є задача про ранець. Розглянемо формулювання цієї задачі. Є n предметів, при цьому відомо: aj – вага j-ого предмета, cj - цінність j-ого предмета, А – вантажопідйомність ранця. Необхідно завантажити ранець набором предметів максимальної цінності.

Складемо математичну модель задачі про ранець. На першому етапі введемо змінні:



У такому випадку функція цілі буде мати такий вигляд:

(1)

Задача вирішується в рамках наступних обмежень:

, (2)

.

У деяких інших моделях такої задачі можуть фігурувати й інші обмеження, наприклад, сумарний об'єм ранця, габарити предметів і т.д.

У загальному випадку ЗЦЛП формулюється в такий спосіб: знайти оптимальний план , що забезпечує досягнення цільовою функцією екстремального значення:

. (3)

Задача вирішується в рамках обмежень:

(4)

(5)

(6)

Якщо в обмеженні (6) j змінюється в межах , то вихідна задача називається повністю цілочисельною, якщо ж а , те задачу називають частково цілочисельною.

Відомо, що экстремум ЗЛП досягається у вершинах опуклого багатогранного тіла, що є ОДР (областю припустимих рішень) задачі. Для ЦЗЛП значення экстремуму може досягатися в будь-якій вершині ОПР. Це означає, що методи розв’язування ЗЛП у раніше освітленому виді (у курсі математичного програмування) не можуть бути застосовані для рішення ЦЗЛП.

Проілюструємо сказане геометрично.


З малюнка видно, що цілочисельний розв’язок може досягатися в будь-якій точці опуклого багатогранника.

Отже, для рішення ЦЗЛП необхідно розглядати спеціальні методи.

Такі методи діляться на три основні групи:

I група - методи відсікання;

II група - комбінаторні методи (методи розсічення);

III група - наближені методи. У методах даної групи використовуються два основних підходи:

- розробка детермінованих евристичних алгоритмів, які враховують специфіку конкретної задачі;

- застосування спрямованого випадкового пошуку з локальною оптимізацією.

^ МОДЕЛІ ЦЗЛП

У значній частині практичних економічних задач потрібно визначити цілочисельний оптимальний план. Наприклад, розподіл виробничих площ між структурними підрозділами, завантаження встаткування, розкрій матеріалів, розподіл транспорту по маршрутах і т.д.  Розглянемо приклади.


Задача 1. З жерстин розміром 6 на13 необхідно виготовити 800 деталей розміром 4 на 5 і 400 деталей розміром 2 на 3. Скласти модель оптимізації розкрою матеріалу по:

а) min сумарних відходів;

б) min кількості використаних листів.

На першому етапі приведемо можливі варіанти розкрою матеріалу

1

2

3

4


Складемо таблицю, що характеризує кожний з отриманих результатів.

кількість деталейвідходи№ вар.452310130219432624312кількість

деталей800400На другому етапі складемо математичну модель задачі.

а) Задача оптимізації по мінімуму сумарних відходів.

Для складання математичної моделі введемо змінні х1, х2, х3, х4. Кожна з них відповідає кількості листів розміром 6 на13, які повинні розрізатися відповідним способом (1, 2, 3, 4). У цьому випадку функція цілі, що визначає мінімум відходів при відповідному розкрої, має вигляд



при обмеженнях







б) Задача оптимізації по мінімуму числа використаних листів



при обмеженнях







Задача 2. Є досить велика кількість колод довжиною 3 м. Колоди необхідно розпиляти на заготівки двох видів: довжиною l1 = 1,2 м і довжиною l2 = 0,9 м. Заготівки кожного виду необхідно одержати в кількостях не менш 50 й 81 штук відповідно. Кожна колода може бути розпиляна на зазначені заготівки декількома способами. Потрібно знайти мінімальне число колод, що розпилюють кожним способом для того, щоб одержати необхідне число заготівок.

Розглянемо можливі варіанти розпила колоди.

0,3

1.

2.

3.


Зазначені варіанти представлені в таблиці.

число заготівоквідходи№ вар.l1l21030,321203200,6кількість

заготівок 50 81Далі складемо математичну модель задачі:

а) по min сумарної кількості розпиляних колод









б) по min кількості відходів









^ 2. КОМБІНАТОРНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЦЗЛП

Комбінаторні методи – це велика група методів дискретного програмування. Ідея цих методів полягає в тому, що процедуру повного перебору всіх планів задачі заміняють частковим перебором. Цей процес реалізується шляхом відкидання деякої підмножини варіантів, які свідомо не містять шуканого оптимуму. Далі перебір ведеться серед варіантів, що залишилися, які є в певному змісті перспективними.

Необхідно підкреслити, що комбінаторним методам не властиві помилки округлення (такі помилки грають досить істотну роль при використанні методів відсікання). Більше того, відзначимо, що для комбінаторних методів характерна більше проста алгебра, але трохи складніше логіка рішення. Досвід чисельної реалізації комбінаторних методів показує, що при такому підході істотно знижується ступінь непередбачуваності результату.

У теоретичному плані необхідно відзначити, що більшість комбінаторних методів не вимагають доказу збіжності алгоритму.

До комбінаторних методів відносять наступні методи розв’язування ЦЗЛП:

- адитивний алгоритм Балаша;

- алгоритм Літла, Муті, Суіні і Керела для розв’язування задачі комівояжера;

- метод неявного перебору (метод Джеферсона)

- метод Фора й Мальгаранжа.


^ МЕТОД ГІЛОК І ГРАНИЦЬ ДЛЯ розвязування ЦЗЛП

Уперше метод гілок і границь стосовно до ЗЦЛП був запропонований в 1960 р. у роботі Ленда й Дойга. Однак, запропонований підхід не зробив істотного впливу на розвиток методів розв’язування задач дискретного програмування.

Фактично друге народження методу гілок і границь пов'язане з роботою Літла, Муті, Суіні й Керела (1963 р.). Ця робота присвячена розв’язуванню задачі комівояжера. Друге народження методу пояснюється тим, що автори відзначили надзвичайну широту методу, вони показали важливість використання специфіки задачі при застосуванні цього методу.

У загальному випадку ЦЗЛП формулюється в такий спосіб: знайти оптимум функції:

; (2.1)

при обмеженнях

(2.2)

(2.3)

(2.4)



Алгоритм методу гілок і границь

1. На множині припустимих планів G0 знаходять оптимальне значення функції цілі (2.1), відкинувши умови цілочисельності (2.4). При цьому знаходять оцінку функції якості

.

Цю оцінку вважають верхньою оцінкою функції якості G0. Якщо план задовольняє умовам цілочисельності, то він вважається оптимальним для ЦЗЛП (2.1)–(2.4).

Якщо ж умови цілочисельності для задачі (2.1)-(2.4) не виконуються, то переходять до пункту два цього алгоритму.

2. Починають розвивати процес розгалуження. Для цього вибирають деяку нецілочисельну компоненту xj = xj0, 1  jn. При цьому множину G0 розбивають на дві непересічні підмножини .

Операцію реалізують у такий спосіб





Для наочності отриманого результату зображують дерево розв’язків.

G0 0 крок1 крок

3. На третьому етапі розв’язуються дві задачі лінійного програмування. Одна – на множині , а друга – на множині . При цьому одержують верхню оцінку функції якості на відповідних підмножинах. Якщо розв’язки на множинах і виявляться цілочисельними, то оптимальним для задачі (2.1)–(2.4) буде той план, що дає більшу верхню оцінку функції якості.

Якщо ж, допустимо, на множині одержують цілочисельний план, а на множині – нецілочисельний, причому , то надалі розвивається процедура розгалуження на множині .

4. Далі здійснюють процес розгалуження ОПР і паралельно формують дерево розв’язків. Процес розгалуження реалізують доти, поки не знайдуть той оптимальний план, що задовольняє постановці задачі. Після того, як дерево розв’язків буде сформовано остаточно, аналізують кожну його гілку і знаходять той вектор , що доставляє оптимум функції якості (2.1).


Особливості методу

1. Безпосередньо з алгоритму необхідно, щоб метод гілок і границь застосовувався як для задач повністю цілочисельного програмування, так і для задач частково цілочисельного програмування.

2. Для даного методу несуттєва проблема помилок округлення.

3. Геометрична інтерпретація методу: гіперплощина, що визначається функцією мети задачі, переміщається в середину області припустимих рішень до зустрічі з найбільш близьким цілочисельним планом (див. мал.).


4. Нові обмеження виду , відіграють роль розсічень ОПР.

5. Коли вводять нові обмеження зазначеного типу, то немає необхідності розв’язувати ЗЛП заново, а можна скористатися попередньою ітерацією, уводячи нові обмеження. Розглянемо приклад.

Приклад. Вирішити ЦЗЛП методом гілок і границь.










Зобразимо ОПР задачі.


Визначимо координати точки А.

Для цього розв’язується система рівнянь, використовуються формули Крамера:

 = –9; 1 = –39; 2 = –24;



Таким чином, F(А) = F (13/3, 8/3) = 7.

Визначимо координати точки В.



Таким чином, F(В) = F (40/9, 23/9) = 7.

Процедура розгалуження здійснюється відповідно до співвідношень



Вихідна задача розпадається на дві:

Перший крок

1 задача 2 задача







Ця задача несумісна



Другий крок

Розгалуження здійснюємо по змінній х2.



1 задача 2 задача











Отриманий план не є цілочисельним


Третій крок

Розгалуження здійснюємо в першій задачі по змінній х1.






Четвертий крок

Розгалуження здійснюємо по змінній х1 задачі другого кроку.



^ 1 задача 2 задача







Ця задача несумісна.

Дерево розв’язків


^ 3. ДРОБово - ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ (ДЛП)

Загальна постановка задач дробово-лінійного програмування (ЗДЛП)

Постановка ЗДЛП складається у визначенні оптимального значення функції:

(3.1)

при обмеженнях виду:

. (3.2)

Крім того, на змінні накладаються умови невід’ємності

. (3.3)

Очевидно, що в області невід’ємних значень змінних х.

Як і у випадку ЗЗЛП цільова функція (3.1) досягає свого оптимального значення в одній з вершин гіперопуклого багатогранного тіла. ОПР у цілому ЗДЛП визначається обмеженнями виду (3.2)-(3.3).

Очевидно, що якщо задача (3.1)–(3.3) має одну або дві змінні, то її можна розв’язувати в площині Х10Х2 графічно.


^ 3.1. ГРАФІЧНИЙ МЕТОД розвязування ЗДЛП

Постановка задачі

Необхідно знайти экстремум наступної функції (3.4), при обмеженнях виду:

(3.5)

і умовах невід’ємності, що накладають на змінні:

. (3.6)

Аналіз задачі (3.4)-(3.6)

1. Областю припустимих розв’язків задачі (3.4)–(3.6) служить або замкнуте опукле багатогранне тіло або розімкнуте опукле багатогранне тіло. Таке тіло визначається системою обмежень (3.5) і умовами невід’ємності (3.6), які накладаються на змінні х1, х2.

2. Функція (3.4) визначає в площині Х10Х2 сімейство прямих, що проходять через початок координат. Таке сімейство прямих описується рівняннями виду:

.

3. Обертаючи пряму (3.4) відносно початку координат, можна знайти ту вершину ОПР, в якій функція (3.4) досягає свого оптимального значення (якщо таке значення існує). Крім того, при обертанні такої прямої можна переконатися в нерозв'язності задачі (3.4)-(3.6).

Алгоритм розв’язування задачі (3.4)-(3.6)

1. У площині Х10Х2 будуємо область припустимих розв’язків задачі, що визначається співвідношеннями (3.5)–(3.6). Помітимо, що якщо така область замкнута, то задача (3.4)-(3.6) завжди має рішення.


2. У площині Х10Х2 будуємо пряму лінію з рівнянням .

3. Обертаючи пряму відносно початку координат, визначаємо крайню точку ОПР або переконуємося в нерозв'язності такої задачі.

У розглянутій задачі

4. Далі визначаємо координати точки оптимуму й підставляємо їх у вираз для функції мети.

Розглянемо приклад.

Приклад. Для виробництва двох видів виробів А й В підприємство використовує три типи технологічного встаткування. Кожен виріб повинен пройти обробку на кожному типі встаткування. Час обробки виробу на кожнім устаткуванні наведено в таблиці. Крім того, в таблиці зазначені витрати, пов'язані з виробництвом одного виробу кожного виду

Тип устаткуванняВитрати в годинниках на обробку 1 виробуАВI28II11III123Витрати на виробництво 1 вир.23

Підприємство може використати встаткування першого й третього типів не більше 26 й 39 годин відповідно. При цьому встаткування другого типу доцільно використовувати не менше 4 годин. Потрібно визначити, скільки виробів кожного виду варто виготовляти даному підприємству, щоб собівартість кожного виробу була мінімальною.

Сформулюємо задачу математично. Позначимо через х1 і х2 кількість виробів видів А и В відповідно, який повинне виготовляти дане підприємство при мінімальних загальних витратах .

Тоді функція, відповідальна за собівартість одного виробу, визначається співвідношенням:

. (3.7)

Задача розв’язується в рамках наступних обмежень

(3.8)

(3.9)

Висновок:

1) математична постановка задачі складається у визначенні такого невід’ємного розв’язку системи обмежень (3.8), що доставляє мінімум функції (3.7);

2) беручи до уваги, що математична модель (3.7)–(3.9) містить у собі лише дві змінні, задача може бути вирішена графічно в площині Х10Х2.


В силу того, що область замкнута, вихідна ЗДЛП завжди буде мати розв’язок. Зобразимо в площині Х10Х2 рівняння прямої .

Виразимо із цього рівняння х2 :

.

Очевидно, що при збільшенні h кутовий коефіцієнт буде рости (отже, буде збільшуватися й відповідна похідна).

Стрілки на графіку вказують напрямок збільшення h, отже, максимум цільової функції буде досягнутий у точці А, а мінімум – у точці В.

Визначимо координати точки В із системи рівнянь:

. Одержимо .

Отже, оптимальним планом виробництва є план, при якому підприємство буде виготовляти три вироби виду А и один виріб виду В. При цьому собівартість одного виробу складе 2,25 грошових одиниць, тобто




Розв’язування задачі в середовищі Mathcad

I





Given










^ ДЕЯКІ ОСОБЛИВОСТІ Розвязування ЗДЛП

ГРАФІЧНИМ МЕТОДОМ

1. ОПР обмежена знизу й зверху





2. Багатогранник розв’язків необмежений, однак на ньому існують точки, у яких цільова функція досягає свого оптимуму




3. Багатогранник розв’язків необмежений, однак один з экстремумов існує




Задача має так званий асимптотичнтй максимум, тобто .

4. Багатогранник розв’язків необмежений, задача має асимптотичні оптимуми





^ 3.2. АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ розвязування ЗДЛП

ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ

Необхідно знайти оптимум наступної функції:

(3.10)

Задача вирішується при обмеженнях виду:

(3.10)

. (3.11)

Задача (3.10)–(3.11) може бути зведена до задачі лінійного програмування. Для цього необхідно ввести нові змінні, при цьому . У такому випадку здійснюється перехід в область нових змінних, на підставі співвідношень виду:

. (3.12)

З використанням нових змінних, задача (3.10)-(3.11) зводиться до наступної ЗЛП:

(3.12)

при обмеженнях виду:

(3.13)

і рівняннях зв'язків виду

(3.14)

Задача вирішується при умовах невід’ємності, що накладають на n змінних

;

. (3.15)

.

Задача (3.12)-(3.15) є задачею лінійного програмування, отже, розв’язуючи її відомими методами можна знайти відповідні розв’язки. При цьому, одержавши оптимальний план такої задачі, на підставі співвідношень (3.12) можна знайти оптимальний план вихідної задачі (3.10)-(3.11). Таким чином, можна вказати наступний алгоритм розв’язування ЗДЛП.

I. Вихідну ЗДЛП (3.10)-(3.11) зводять до ЗЛП (3.12)-(3.15).

II. Знаходять оптимальний план ЗЛП відомими методами.

III. Використовуючи співвідношення (3.12) знаходять оптимальний план вихідної задачі.

IV. Підставляючи значення xj, при у вираз для функції (3.10) отримують оптимальне значення цільової функції вихідної задачі.

Приклад. Знайти максимальне значення функції:

; (3.16)

(3.17)

. (3.18)

Зведемо дану задачу до ЗЛП, при цьому

. (3.19)

Далі вводимо нові змінні:

(3.20)

Тоді вихідна задача (3.16)-(3.18) зводиться до наступної ЗЛП

. (3.19)

Задача вирішується в рамках обмежень виду:

(3.20)

; (3.21)

; (3.22)

.

Задача (3.19)-(3.22) є ЗЛП і розв’язок її можна знайти методом штучного базису. Для цього формулюють наступну розширену задачу



;

;

;

.

Далі розширену задачу заносять у первісну симплексну таблицю

1з2з3з4з5з01012–100–112011010–830–13001–941110000F0–2–10000f125–111–28

2з3з4з5з0в102–100–1120–31103305–101–2041–110011 0+3–200–22f11111–6

2з3з4з0в102–10–1120–3113в505–10–2041–11011 03–20–22f1–42114


2з3з4в10–27811в00–311в50–451720:(3)4330–8–11 0–571622f330–8–11

2з3з4в10–98/311/3в00–11/31/3в50–1517/320/34110–8/3–11/3 0–1916/322/3f110–8/3–11/3

3з4в19в01в515в21–8/3–11/3 198/311/3f000Далі розділивши останню таблицю на 10, одержують оптимальний план ЗЛП

3з4в19/10в01/10в515/10в21/10–8/30–11/30 19/108/3011/30Висновок: у процесі визначення первісного опорного плану робоча точка пошуку экстремума вийшла в ту вершину опуклого багатогранника, що є точкою максимуму.



.

З урахуванням того, що , знаходять оптимальний план ЗДЛП



.


розв’язування задачі в середовищі Mathcad:

I варіант





Given







Формування оптимального плану вихідної ЗДЛП



II варіант рішення

Формування цільової функції ЗДЛП



Формування початкових умов



Формування блоку обмежень ЗДЛП

Given



Формування умов невід’ємності, що накладають на змінні



Формування процесу пошуку экстремума

Формування розв’язку задачі



Визначення оптимального вектора Х



Визначення оптимального значення функції цілі




^ 4. РІШЕННЯ ЗАДАЧІ ПРО КОМІВОЯЖЕРА МЕТОДОМ гілок І ГРАНИЦЬ

Постановка задачі

Є n міст (А1, А2, А3,... Аn), задана матриця відстаней між містами . Необхідно відшукати такий найкоротший замкнутий маршрут (цикл), що проходить один і тільки один раз через кожне місто, при якому мінімізується сумарна довжина шляху .

^ Математична модель задачі

У загальному випадку нехай розглядаються n пунктів, тоді вводиться n2 альтернативних змінних xij. Причому відповідна змінна буде дорівнювати 0, якщо перехід з i в j пункт не входить у розглянутий маршрут. І, мабуть, що така змінна буде дорівнювати 1, якщо зазначений перехід можливий. Тоді умова прибуття в кожен пункт і виходу з кожного пункту тільки по одному разу виражається співвідношенням виду:

(4.1)

(4.2)

Для забезпечення безперервності маршруту вводять додатково n змінних і при цьому формують n2 додаткових обмежень:

;

. (4.3)

У такому випадку сумарна довжина маршруту, який необхідно мінімізувати, буде записуватися в наступному вигляді:

. (4.4)

Для розв’язування задачі (4.1)–(4.4) існує багато різних методів. Однак, одним з найбільш, простих і зручних є метод гілок і границь.


Особливості методу гілок і границь для розв’язування задачі про комівояжера

Для методу гілок і границь існують різні підходи його реалізації. Однак загальною є ідея розбивки (розгалуження) множини припустимих значень ( на дерево підмножин (дерево розв’язків). При цьому процес розгалуження, заснований на побудові оцінок знизу (нижньої границі) для цільової функції на деякій множині розв’язків.

Для кожної задачі, з урахуванням її специфіки, розробляються наступні підходи:

1) Правило розгалуження.

2) Спосіб обчислення оцінок (функція цілі).

3) Способи знаходження розв’язків.

Отже, основною особливістю методу гілок і границь є те, що він дозволяє організувати повну процедуру перебору відповідних планів задачі.

Розглянемо зазначений підхід детально.

Нехай на деякій множині  необхідно мінімізувати функцію . Тоді цю процедуру реалізують у такий спосіб:  розбивають на ряд непересічних підмножин і потім вибирається та підмножина, наприклад 1, на якій функція  досягає свого найменшого значення. Далі розбивають 1 на ряд підмножин і вибирають ту з них, наприклад 2, на якій функція  досягає свого мінімального значення. Далі 2 розбивають на кілька непересічних частин. Такий процес розгалуження реалізують до одноелементної множини. Така одноелементна множина називається рекордом.

Практичну реалізацію методу гілок і границь для задачі про комівояжера зручніше за все проводити на тлі конкретному прикладі.

Приклад. Спекла бабка колобок і поставила його остигати на віконце. І вирішив колобок, що поки він стигне, він може оббігти ліс, подивитися на лісових жителів і знову повернутися. Сказано-зроблено. Зстрибнув він з віконця й покотився в ліс. Допоможіть колобку знайти найкоротший шлях його руху в лісі, якщо відстань між норами й будинком діда й баби дані в наступній таблиці:

Дід і бабаЗаєцьВовкВедмідьЛисицяДід і баба06452Заєць6033,54,5Вовк4305,55Ведмідь53,55,502Лисиця24,5520

^ Математична модель задачі: для рішення задачі привласнимо кожному пункту задачі певний номер: дід і баба = 1, заєць =2, вовк = 3, ведмідь = 4, лисиця = 5.

Отже, загальне число пунктів n = 5. Тоді, на першому етапі можна записати функцію цілі задачі



Задача вирішується в рамках наступних обмежень:

дозволяється перехід з 1 пункту в 2 або 3 або 4 або5







Розв’язування задачі комівояжера методом гілок і границь

1. Аналіз вихідної множини ( (омега)

Знайдемо оцінку знизу функції якості. Для цієї мети на першому етапі визначимо матрицю мінімальних відстаней по рядках



Далі знаходимо значення функції цілі

.

Аналогічно визначається матриця мінімальних відстаней по стовпцях

.

Тоді .

У такому випадку оцінка функції якості Н буде визначатися на основі співвідношення

– вибираємо максимальне число.

Далі оцінимо верхнє значення функції якості. Для цієї мети виберемо початковий план

.

У такому випадку верхнє значення функції якості .

Очевидно, що вихідна множина планів ( буде містити в собі наступні підмножини:

.

Тут ij означає перехід з i-того пункту (у цьому випадку 1) в j-ий.

2. Аналіз підмножини 12



.

У такому випадку на першому етапі матрицю вихідних маршрутів можна представити у вигляді



Для визначення нижньої границі функції якості на підмножині 12 знову визначають мінімальне значення функції якості по рядках і стовпцях







3. Аналіз підмножини 13



Верхня оцінка функції якості на цій підмножині











4. Аналіз підмножини 14



Далі визначаємо верхню границю функції якості на цій підмножині









.

5. Аналіз підмножини 15





Визначимо нижнє значення функції якості на множині 15

. – можливий варіант відвідування





.

6. Відсівання безперспективних підмножин

.

Підмножини V12 й V14 мають найкращу верхню оцінку функції якості, однак перспективним є підмножина 14, в силу того, що нижня границя функції якості є ближче до оптимальної.

Отже, надалі необхідно розглядати підмножину 14.

Розглядається підмножина 14, що містить у собі наступні підмножини .

7. Аналіз підмножини 142

.

Далі обчислюють верхню границю функції якості

.

Визначення нижньої границі функції якості

. – можливі шляхи пересування комівояжера





.

8. Аналіз підмножини 143



Визначення верхньої границі функції якості



Визначення нижньої границі функції якості





.

9. Аналіз підмножини 145



Визначення верхньої границі функції якості



Визначення нижньої границі функції якості







.

10. Відсівання безперспективних підмножин

.

Підмножина ^ V143 є безперспективною.В силу того, що верхня границя функції якості на підмножинах V142 й V145 збігаються між собою, то далі порівнюють між собою нижні границі функції якості і тому що Н142 > Н145, то рекордом є підмножина 145. При цьому 145 буде містити в собі 2 непересічні підмножини .

11. Аналіз підмножини 1452



Визначення верхньої границі функції якості



Визначення нижньої границі функції якості







.

12. Аналіз підмножини 1453



Визначення верхньої границі функції якості



Визначення нижньої границі функції якості







.

13. Відсівання безперспективних підмножин

.

14. У такому випадку

.

Оптимальна матриця переміщень буде представлена в такий спосіб



Таким чином, оптимальний маршрут колобка буде представлений наступними відвідуваннями: дід і баба  ведмідь  лисиця  заєць  вовк  дід і баба. При цьому .


Дерево розв’язків


0 крок 12131415 1 крок2 крок

142


143


145

3 крок

1452


1453



14523


^ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ ВИКОНАННЯ

КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ


Навчальним планом по|с| дисципліні "Дослідження операцій" передбачене виконання контрольної роботи. Кількість задач контрольної роботи визначається викладачем. Перед рішенням задач необхідно освоїти відповідний розділ теоретичного матеріалу.

При виконанні контрольної роботи студент повинен дотримувати наступних правил:

  1. Кількість завдань|задач| контрольної роботи визначається викладачем.

  2. Титульна сторінка роботи оформляється за зразком, зазначеним деканатом|нижеследующим|.

  3. Контрольна робота виконується|исполняется| в зошиті, в якому|какой| необхідно залишити поля для зауважень рецензента й кілька чистих аркушів для доповнень і відповідей на ці зауваження.

  4. Рішення кожної задачі потрібно починати із приведення її повної умови.

  5. Розв’язування задач необхідно супроводжувати поясненнями, графіками й посиланнями на відповідні теоретичні поняття й формули.

  6. Якщо контрольна робота після перевірки не зарахована, потрібно виправити помилки, зазначені викладачем. Це необхідно робити наприкінці роботи (або в окремому зошиті), написавши спочатку титул “Робота над помилками”. Вносити зміни|смены| в текст уже перевіреної роботи категорично|категорично| забороняється. Дороблена контрольна робота посилається для повторного огляду разом з першим варіантом.

  7. Студент, що не виконав|исполнил,проделал| контрольну роботу, до|до| заліку (іспиту) не допускається.



ЛІТЕРАТУРА


6. ЛІТЕРАТУРА


6.1. Основна

  1. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. - М.: Банки и биржи, 1997.

  2. Вагнер Г. Исследование операций.- В 3 - х томах. - М.: Мир, 1973.

  3. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология.– М. Наука, 1980.

  4. Горелик В.А., Ушаков В.А. Исследование операций. - М.: Машиностроение, 1996.

  5. Зайченко Ю.П. Исследование операций. - К.: Высшая школа, 1985.

  6. Зайченко Ю.П., Шумилова С.А. Исследование операций (сборник задач). – К.: Высшая школа, 1984.


6.2. Додаткова

  1. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995.

  2. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.:Мир, 1967.

  3. Щедрин Н.И., Кархов А.Н. Математические методы программирования в экономике. - М.: Статистика, 1974.

  4. Швачич Г.Г. Лінійна алгебра в розрахунках середовища МАТНСАD: Підручник. - Дніпропетровськ: ДАУБП, 2000.



Додаток 1


^ ТАБЛИЦЯ ВАРІАНТІВ ЗАВДАНЬ


Для визначення Вашого номера варіанта контрольної роботи необхідно число, що утворюється двома останніми цифрами номера залікової книжки, поділити на 30. Залишок від ділення відповідає потрібному номеру варіанта. Наприклад,

- номер Вашої залікової книжки 001271, тоді 71 : 30 = 2х30 +11 (залишок), номер варіанта 11.

- номер Вашої залікової книжки 001208, тоді 08 : 30 = 0х30 + 8 (залишок), номер варіанта 8.


№ варіантаНомера задач01.62.103.44.15.66.67.18.79.310.611.712.1013.211.32.23.94.25.46.27.28.99.110.311.412.913.521.102.83.44.45.36.47.68.89.610.111.112.513.231.22.43.34.55.16.87.18.49.210.411.812.113.741.42.63.104.75.96.97.48.69.510.711.512.613.951.92.53.54.85.76.37.78.59.410.811.212.213.461.22.33.94.95.86.17.58.19.910.611.912.813.671.52.13.44.65.26.77.88.39.810.511.612.413.181.42.93.84.35.56.57.68.29.710.111.312.313.391.102.73.34.105.46.107.38.109.510.911.112.713.2101.82.103.44.25.66.57.108.99.310.211.512.713.4111.62.13.94.55.106.47.48.59.210.411.912.513.6121.12.53.24.85.26.67.28.19.110.811.412.313.8151.82.93.74.35.46.17.58.79.410.611.812.813.5141.32.73.64.65.96.37.88.59.810.111.712.613.9151.42.53.14.95.66.77.48.39.610.511.212.1013.1161.62.33.84.15.76.97.68.49.1010.311.612.413.10171.72.23.104.45.36.87.78.89.1010.711.312.213.9181.102.83.14.75.16.57.98.69.410.211.112.113.7191.42.43.64.85.56.27.28.29.510.611.1012.913.10201.92.63.74.95.36.107.18.109.910.411.212.513.5211.42.53.94.65.16.67.68.49.310.811.112.1013.6221.72.23.54.35.66.17.68.99.210.1011.312.413.4231.32.83.44.25.46.77.38.39.110.211.412.513.2241.12.103.94.15.56.27.48.29.610.111.612.613.3251.62.13.34.45.46.97.88.49.810.411.512.213.8261.52.33.14.75.96.47.68.69.710.511.1012.713.10271.102.43.54.105.76.37.48.79.1010.311.912.813.4281.12.93.24.25.86.107.18.59.510.611.112.413.5291.82.73.64.55.56.97.28.19.710.711.412.113.6


ЗАДАЧА 1

Із листів металу розміру mxn необхідно виготовити N заготовок розміру m1xn1 та М заготовок розміру m2xn2. Скласти модель оптимізації розкроювання металу за мінімумом загальних відходів.


№ зад.mnNm1n1Mm2n21.1.71490056500341.2.61480035400241.3.51570024300331.4.61560034400351.5.71650035300241.6.81740046400351.7.91830057400241.8.81935068370571.9.92050057400461.10.10205005645035

ЗАДАЧА 2

В столярній майстерні мають в достатній кількості колод довжиною l метрів. Колоди необхідно розпиляти на заготовки двох видів: довжиною l1 та довжиною l2 метрів відповідно. Кожної подоби необхідно заготовити не менше m та n штук відповідно.

Скласти модель оптимізації розпилювання колод за:

  • мінімумом загальних відходів;

  • мінімумом числа використаних колод.


№ зад.ll1l2mn2.1421,550802.253240702.362,41,23502.4631,840302.562,53,250402.6631,540802.763,41,250802.851,20,840602.951,40,730202.1051,60,54050


ЗАДАЧА 3

Знайти оптимальний розв’язок задачі цілочисельного лінійного програмування:

  • використовуючи алгоритм Гоморі;

  • знявши умови цілочисельності, ЗЛП розв’язати графічним методом та використовуючи нерівність Гоморі показати, яким чином проходить правильне відтинання.

3.1. 3.2.



3.3. 3.4.



3.5. 3.6.



3.7. 3.8.




3.9. 3.10.




ЗАДАЧА 4

Розв’язати задачу дробово-лінійного програмування


4.1. 4.2.




4.3. 4.4.



4.5. 4.6.




4.7. 4.8.



4.9. 4.10.




ЗАДАЧА 5

За методом Лагранжа знайти точку умовного екстремуму функції


5.1. 5.2.




5.3. 5.4.




5.5. 5.6.




5.7. 5.8.



5.9. 5.10.




ЗАДАЧА 6


Розв’язати задачу нелінійного програмування графічним методом


6.1. 6.2.



6.3. 6.4.




6.5. 6.6.




6.7. 6.8.


  • 6.9. 6.10.




ЗАДАЧА 7


Задачу нелінійного програмування розв’язати методом Франка-Вульфа


7.1. 7.2.




7.3. 7.4.



7.5. 7.6.




7.7. 7.8.




    1. 7.10.




ЗАДАЧА 8

Задана система масового обслуговування (СМО). Необхідно:

  1. Описати можливі стани системи S0, S1, S2, …

  2. Створити розмічений граф станів.

  3. Записати рівняння Колмогорова для СМО та обчислити граничні ймовірності станів.




  1. Використовуючи граничні ймовірності, знайти характеристики ефективності СМО:

  • найймовірніший стан системи;

  • середнє число запитів;

  • середній час знаходження запиту в СМО;

  • середню довжину черги;

  • середній час знаходження у черзі;

  • ймовірність того, що запит буде відмовлено;

  • ймовірність того, що запит відразу буде обслуговуватися;

  • ймовірність простою СМО;

  • абсолютну пропускну здатність СМО;

  • відносну пропускну здатність СМО.





зад.

Характеристика СМОІнтенсивність потоку надходження запитів  (на годину)Середній час обслуговування одного запиту (хв.)8.1.Одноканальна СМО з максимальною чергою 4 запити3128.2.Двохканальна СМО з відмовленнями10128.3.Двохканальна СМО з максимальною чергою 3 запити568.4.Трьохканальна СМО з відмовленнями10 (на добу)2 (години)8.5.Двохканальна СМО з нескінченною чергою468.6.Трьохканальна СМО з чергою 2 запити2208.7.Двохканальна СМО з максимальною чергою в 1 запит5108.8.Чотирьохканальна СМО з відмовленнями3308.9.Одноканальна СМО з нескінченною чергою658.10.Чотирьохканальна СМО з максимальною чергою в 1 запит 124


ЗАДАЧА 9

Гра задається матрицею виграшів А. За умови наявності сідлової точки розв’язати матричну гру в чистих стратегіях


9.1. 9.2.

9.3. 9.4.


9.5. 9.6.


9.7. 9.8.


9.9. 9.10.


ЗАДАЧА 10

Знайти розв’язок гри, що задається матрицею виграшів А. Дати графічну інтерпретацію розв’язку

10.1. 10.2.


10.3. 10.4.


10.5. 10.6.

10.7. 10.8.


10.9. 10.10.


ЗАДАЧА 11


Гра задається матрицею виграшів А. Перевірити наявність сідлової точки. Скласти пару подвійних задач лінійного програмування, еквівалентних даній грі. Розв’язати одну із задач та по її оптимальному розв’язку оцінити оптимальний розв’язок другої


11.1. 11.2.


11.3. 11.4.


11.5. 11.6.


11.7. 11.8.


11.9. 11.10.


ЗАДАЧА 12


Створити мережу мінімальної вартості, що з’єднує всі пункти заданої мережі


12.1 12.2


12.3 12.4


12.5


Визначити найкоротший шлях в мережі


12.6. 12.7.


12.8. 12.9.


12.10.



ЗАДАЧА 13


13.1. Компанія “Меблі для вас” продає 400 ліжок в рік, причому витрати зберігання дорівнюють 1000 грн. за одиницю на добу, а витрати замовлення – 40000 грн. Кількість робочих днів – 250, а час виконання замовлення – 6 днів.

Який обсяг замовлення є оптимальним? Чому дорівнює точка відновлення запасу? Яким буде оптимальний розмір замовлення, якщо витрати зберігання зростуть до 1500 грн.?


13.2. Компанія “Хімпласт” пропонує наступні знижки на лінолеум в рулонах:


Обсяг замовленняДо 9 рулонівВід 10 до 50 рулонів50 та більше рулонівЦіна за один рулон, тис. грн.1817,517,25

Витрати замовлення лінолеуму магазина “Все для будинку” у компанії “Хімпласт” дорівнюють 45 тис. грн. Річні витрати зберігання складають 50% від ціни. Річний попит на лінолеум в магазині складає 100 рулонів. Яку кількість рулонів необхідно придбати?


13.3. Меки Мессер є власником невеликого підприємства, яке випускає електричні ножі. Денний попит на ножі складає приблизно 40 одиниць. Фіксовані витрати на виробництво дорівнюють 100000 грн. на рік, а річні витрати зберігання - 8000 грн. Яке максимальне замовлення слід мати на складі?


13.4. Меблевий салон “Антік” продає в рік близько 1000 спальних гарнітурів за ціною 50 тис. грн. за гарнітур. Розміщення одного замовлення на постачання гарнітурів коштує 40 тис. грн. Річна вартість зберігання гарнітура складає 25% його ціни. Салон може одержати 3%-у знижку у постачальника, якщо розмір замовлення складає не менше 200 гарнітурів.

Чи слід салону замовляти 200 або більше гарнітурів і користуватися знижкою?

13.5. Компанія “Урал” купує у виробника лобові стекла вантажних автомобілів для роздрібного продажу. Протягом року, за 200 робочих днів, реалізується близько 10000 стекол. Витрати замовлення для компанії складають 400000 грн., щоденні витрати зберігання одиниці продукції - 6000 грн.

Виявити оптимальний обсяг замовлення. Чому дорівнюють мінімальні річні сукупні витрати?

13.6. Оптова ціна на аудіо колонки для авто магнітоли становить 90 грн. У разі замовлення від 75 до 90 колонок ціна знижується до 75 грн. При замовленні більше 100 колонок ціна знижується до 55 грн. Витрати замовлення для компанії “Фобос”, що є виробником колонок, дорівнюють 45 грн. за одиницю, річні витрати зберігання складають 5% від вартості колонки. Щоденний обсяг попиту протягом 250 днів реалізації в році – 25 колонок.

Виявити оптимальний обсяг замовлення. Чому дорівнюють мінімальні середні щоденні витрати?

13.7. Річне замовлення на тостер “Слава” для салону “У каміна” становить 3000 одиниць, або 10 одиниць в день. Витрати замовлення дорівнюють 25000 грн., а витрати зберігання – 400 грн. в день. Оскільки тостер “Слава” є дуже популярним серед покупців, то у разі відсутності товару покупці згодні почекати, поки не підійде наступне замовлення. Проте витрати, пов'язані з дефіцитом, становлять 750 грн. за тостер в день.

Скільки тостерів замовлятиме салон “У каміна”? Який розмір дефіциту? Чому дорівнюють сукупні витрати?

13.8. Річний попит на сир “Вітаум” складає 500 головок сиру. Витрати замовлення – 40000 грн. за замовлення. Витрати зберігання – 5000 грн. на рік. Упущений прибуток унаслідок дефіциту складає 100000 грн. на рік за одну головку сиру.

Скільки головок сиру слід замовляти, щоб мати при цьому мінімальні загальні витрати?

Знайти точку відновлення запасу, якщо час виконання замовлення становить 10 днів, а число робочих днів в році – 250.

13.9. Кароль Бек є торговим агентом компанії VOLVO. Річний попит на останню марку автомобіля оцінюється в 4000 одиниць. Ціна автомобіля 42000 дол., а річні витрати зберігання складають 10 % від ціни. Кароль зробив аналіз витрат замовлення і визначив, що середні витрати дорівнюють 10000 дол. на замовлення. Час виконання замовлення - 8 днів. Протягом цього часу щоденний попит на автомобіль складає 20 одиниць.

Виявити оптимальний обсяг замовлення, який мінімізує річні сукупні витрати.

13.10. Магазин "Міккі" продає іграшкові гоночні машинки і пропонує наступні знижки на партії товару достатнього обсягу:


Обсяг замовленнядо 999 од.від 1000од. до 1999 од.більше 2000 од.Розмір знижки, %035Ціна зі знижкою,

ум. од.54,84,75

Витрати замовлення складають 4900 ум. од. Річний попит становить 5000 одиниць. Річні витрати збереження у відношенні до ціни складають 20%. Визначити обсяг замовлення, при якому загальні витрати будут мінімальними.


Навчальне видання


Методичні вказівки щодо вивчення

дисципліни "Дослідження операцій"


Підписано до друку ________ Формат 60х84/16. Розум. друк. арк.

Оперативна поліграфія. Зам. № ____. Тираж ____ прим.


Нметау

49005, м. Дніпропетровськ, ін. Гагаріна,4.


Схожі:

По дисципліні «дослідження операцій» iconКонтрольні домашні завдання по дисципліні «Дослідження операцій»

По дисципліні «дослідження операцій» iconКонтрольні домашні завдання по дисципліні «Дослідження операцій»

По дисципліні «дослідження операцій» iconI. Предмет І задачі дослідження операцій
Навчальний посібник являє собою конспект лекцій для студентів економічних фахів по однойменній дисципліні. У кожній главі розглядаються...
По дисципліні «дослідження операцій» iconПо дисципліні «дослідження операцій»
У ній найбільше чітко реалізуються основні ідеї вивчення математичних дисциплін на економічних спеціальностях|экономичном| – ідеї...
По дисципліні «дослідження операцій» iconТематичнийпла н по видах занять з курсу "Дослідження операцій"
Операція, основні поняття І якості. Прямі та зворотні задачі. Управління операцією, оцінка якості. Математичні моделі операцій. Допустимі...
По дисципліні «дослідження операцій» iconЗвіт до лабораторної роботи №5 «Дослідження залежності показників діяльності людини-оператора від структур алгоритмів діяльності та способів виконання операцій»
...
По дисципліні «дослідження операцій» iconЗвіт до лабораторної роботи №5 «Дослідження залежності показників діяльності людини-оператора від структур алгоритмів діяльності та способів виконання операцій»
...
По дисципліні «дослідження операцій» iconПара 6/18/2013
Дослідження операцій в транспортних системах, корп. 4, ауд. 1-7А, Пристінський М. Г., Екзамен
По дисципліні «дослідження операцій» iconМетодичні вказівки щодо виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни " дослідження операцій" для студентів заочної форми навчання
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи з навчальної дисципліни „Дослідження операцій” для студентів заочної форми навчання...
По дисципліні «дослідження операцій» iconПитання з дисциплини «дослідження операцій»
Розподіл капіталовкладень між підприємствами; постановка задачі, функціональні рівняння
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи