Міжнародний соломонів університет icon

Міжнародний соломонів університет




НазваМіжнародний соломонів університет
Сторінка2/5
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5
^

Розділ 2
ТОПОЛОГІЧНІ ПРОСТОРИ




2.1. Визначення


Основні поняття теорії метричних просторів (гранична точка, замикання тощо) були введені в попередньому розділі, базуючись на понятті околу чи, по суті, на понятті відкритої множини. Ці останні поняття визначались за допомогою метрики, заданої в просторі, який розглядався. Можна піти іншим шляхом і без введення метрики визначити відкриті множини за допомогою системи аксіом. Цей шлях приводить до поняття топологічного простору. При цьому метричний простір буде частковим випадком топологічного.


Визначення 2.1. Нехай – деяка множина. Топологією в називається будь-яка система її підмножин, яка задовольняє умовам:

1) ,  ;

2) якщо , , – довільна множина індексів, то ;

3) якщо , , то .

Пара називається топологічним простором. Часто будемо позна-чати його просто буквою .

Множини з називаються відкритими.

Якщо , то множину називаємо замкненою. З аксіом 1) – 3) витікає, що ,  – замкнена множина, а будь-який перетин і кінцеве об’єд-нання замкнених множин знову ж таки замкнена множина.

Як і в розділі 1 вводимо наступні поняття.

^ Околом точки називають відкриту множину , яка містить точку . Точка називається точкою дотику множини , якщо кожен окіл точки містить хоча б одну точку з . Точка називається гранич-ною точкою множини , якщо кожен окіл містить хоча б одну точку з , відмінну від . Сукупність усіх точок дотику називається замиканням множини і позначається через . Неважко довести, що замкнені множи-ни і тільки вони задовольняють умові , тобто є найменшою за включенням замкненою множиною, яка містить .

Таким чином, нові поняття узгоджуються з поняттями, введеними в розділі 1.

Приклад 2.1. В силу наслідку 1.1 відкриті множини в метричному просторі задовольняють аксіомам 1) – 3). Тому будь-який метричний простір є топологічним. При цьому кожна метрика (відстань) задає певну топологію. Однак, одну й ту саму топологію можуть задавати різні метрики. Наприклад, у просторах і із прикладів 1.3 – 1.6 топології однакові, тобто як топо-логічні простори вони не відрізняються.


Приклад 2.2. Нехай в усі точки є відкритими множинами. Такий прос-тір називається дискретним. У ньому відкриті і замкнені всі множини. При-кладом такого простору є метричний простір із прикладу 1.1.


Приклад 2.3. Другим крайнім випадком є тривіальна топологія, в якій від- критими є тільки множини і . У цій топології замикання будь-якої множи-ни співпадає з . Такий простір можна назвати простором «склеєних» точок.


Приклад 2.4. Нехай , тобто складається з двох точок. Вважа-ємо, що , . Тоді точка є відкритою множиною, а точка – замкненою. Замиканням множини є весь простір .

Топології можна порівнювати. Нехай на множині задано дві топології і , тобто визначено два топологічних простори і . Будемо говорити, що топологія сильніша за топологію , якщо .

Розглянемо топологічні простори і нехай – деяка підмножина. На задамо топологію у такий спосіб: будемо вважати, що тоді й тільки тоді, коли , де . Простір нази-вається топологічним підпростором простору .


^ 2.2. База і збіжність


У конкретних задачах буває зручно задати не весь набір відкритих множин, а тільки частину їх, за якою можна поновити всю множину . Наприклад, у метричних просторах спочатку було введено поняття відкритого шару, а потім визначено відкриті множини як такі, де кожна точка міститься зі своїм шаровим околом. Іншими словами, в метричному просторі відкриті тільки ті множини, які можна подати як об’єднання деякої сукупності відкритих шарів. Ці роздуми приводять до поняття бази.


Визначення 2.2. Сукупність відкритих множин називається базою топології простору , якщо будь-яка відкрита множина з може бути подана у вигляді об’єднання деякого числа множин із .

Наведемо кілька умов, які визначають базу.

Теорема 2.1. Для того, щоб система була базою топології у просторі , необхідно й достатньо, щоб виконувались наступні умови:

1) будь-яка точка міститься в деякому ;

2) якщо і , то існує така множина , що


.


Теорема 2.2. Для того, щоб система була базою топології простору , необхідно і достатньо, щоб для кожної відкритої множини і кожної точки існувала множина така, що .

Із теореми 2.2 витікає, що в метричному просторі сукупність усіх відкри-тих шарів утворює базу його топології.

Важливий клас топологічних просторів утворюють простори зі зліченною базою, тобто простори, у яких існує хоча б одна база, яка складається зі злі-ченної кількості множин.


Теорема 2.3. У просторі зі зліченною базою завжди існує скрізь щільна зліченна множина, тобто множина, замикання якої дає весь простір.

Топологічний простір зі скрізь щільною зліченною множиною, як і в розділі 1, називається сепарабельним.


Теорема 2.4. Метричний простір має зліченну базу тоді й тільки тоді, коли він сепарабельний.

Дійсно, нехай , зліченна скрізь щільна множина в мет-ричному просторі . Тоді зліченну базу утворюють шари , , .

Узагальнимо поняття збіжності.


Визначення 2.3. Нехай – топологічний простір. Послідовність , прямує до точки , якщо для будь-якого околу точки існує такий номер, що для всіх виконується . Позначається , , .


^ 2.3. Неперервні відображення


Поняття неперервного відображення, введеного в розділі 1, узагальню-ється на випадок топологічних просторів.

Визначення 2.4. Нехай і – два топологічні простори і нехай . Відображення називається неперервним у точці , якщо для будь-якого околу точки існує окіл точки такий, що для всіх маємо . Відображення назива-ється неперервним, якщо воно неперервне в кожній точці .


Теорема 2.5. Для того, щоб відображення було неперервним, необхідно й достатньо, щоб прообраз був відкритою множиною в для будь-якої відкритої множини в .


Наслідок 2.1. Для того, щоб відображення було неперервним, необхідно й достатньо, щоб прообраз був замкненою множиною в для будь-якої замкненої множини в .

У цьому випадку множину визначають як множину


.


Відображення називається відкритим, якщо воно переводить відкриту множину у відкриту, і замкненим, якщо воно переводить замкнену множину в замкнену.


Теорема 2.6. Нехай , , – топологічні простори і нехай , – неперервні відображення. Тоді відображення , задане формулою , є неперервним.

На топологічні простори поширюється поняття гомеоморфізму.

Відображення топологічного простору на топологічний простір називається гомеоморфізмом, якщо воно взаємно однозначне і відображення та неперервні. У цьому випадку простори і називаються гомеоморфними.


2.4. Метризація


Найпростіший спосіб задання топології полягає в тому, щоб описати всі відкриті множини або хоча б задати базу топології.

Задання метрики є одним із універсальних способів введення топології.

Розглянемо попередньо деякі питання відокремлення. Існує кілька аксіом відокремлення. Зупинимося на двох із них.


^ Аксіома Хаусдорфа. Будь-які дві точки і топологічного простору мають околи і , що не перетинаються.

Простори, в яких виконується аксіома Хаусдорфа, називаються хаусдор-фовими. Зокрема, у цих просторах будь-яка точка є замкненою множиною.


^ Аксіома нормальності. Нехай – довільні замкнені множини такі, що . Тоді існують дві відкриті множини і такі, що , і , тобто околи двох замкнених множини, що не перетинаються, також не перетинаються.

Такий простір називається нормальним.


Визначення 2.5. Топологічний простір називається метризуємим, якщо його топологію можна задати за допомогою будь-якої метрики.


Теорема 2.7. (Урисона). Для того, щоб топологічний простір зі зліченною базою був метризуємим, необхідно й достатньо, щоб він був нормальним.


2.5. Компактність


Фундаментальну роль у математичному аналізі грає такий факт: із будь-якого відкритого покриття відрізка можна виділити скінченне підпо-криття. Ця властивість узагальнюється в поняття компактності.


Визначення 2.6. Топологічний простір називається компактним, якщо будь-яке його відкрите покриття містить скінченне підпокриття.

Компактний топологічний хаусдорфів простір називається компактом.

1   2   3   4   5

Схожі:

Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет кафедра мов павленко І. М. Ділова англійська мова для студентів четвертих курсів Київ мсу 2002
Ділова англійська мова. Навчальний посібник. Упорядник І. М. Павленко. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2002. – 182 с
Міжнародний соломонів університет iconБіологічний англійський. Навчальний посібник. Упорядник Н. О. Арістова. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2000 р. Упорядник арістова н. О. Затверджено на засіданні кафедри мов 2002 протокол № Друкується за редакцією упорядника
Біологічний англійський. Навчальний посібник. Упорядник Н. О. Арістова. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2000 р
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів університет
Місце І значення навчальної дисципліни
Міжнародний соломонів університет iconМіністерство освіти І науки України Міжнародний Соломонів університет Факультет соціології Затверджено Ректор мсу проф. Розенфельд О.І. “ ” 2001 р. Звіт по результатам самоаналіза роботи факультету соціології в 1998/99 та 1999/2000 роках Київ-2000
Міністерство освіти І науки України Міжнародний Соломонів університет Факультет соціології Затверджено Ректор мсу проф. Розенфельд...
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет
У світі існують різні політичні системи – парламентського та президентського типів президентсько-парламентські та інші
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет програма курсу
Вступ. Геоботаніка як система знань про рослинний покрив. Предмет, об'єкт І завдання геоботаніки
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет програма курсу
Вступ. Геоботаніка як система знань про рослинний покрив. Предмет, об'єкт І завдання геоботаніки
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів Університет Кафедра історії
Вступ: джерела, періодизація, зміст курсу; внесок єврейського народу в історію світової цивілізації та культури
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів університет Кафедра фінансів
Навчально-методичний комплекс з курсу «Глобальні ринки» / Уклад. О.І. Розенфельд, В. А. Лизогуб, В. А. Рихлов. К.: Мсу, 2007. – 30...
Міжнародний соломонів університет iconInna pavlenko business english
Ділова англійська мова. Навчальний посібник. Упорядник І. М. Павленко. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2002. – 182 с
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет
Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АВ означает АВ и ВА
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи