Міжнародний соломонів університет icon

Міжнародний соломонів університет




НазваМіжнародний соломонів університет
Сторінка3/5
Дата05.09.2012
Розмір0.56 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5

Теорема 2.8. Замкнена підмножина компактного простору є компактною.


Наслідок 2.2. Замкнена підмножина компакту є компактом.


Теорема 2.9. Компакт замкнений у будь-якому хаусдорфовому просторі, який його містить.


Теорема 2.10. Нехай – компактний простір, , – послі- довність в . Тоді існує збіжна підпослідовність , .

Для просторів зі зліченною базою існує обернена теорема.


Теорема 2.11. Нехай – хаусдорфів простір зі зліченною базою і з будь-якої послідовності можна вибрати збіжну послідовність. Тоді
– компакт.


Теорема 2.12. Будь-який компакт є нормальним простором.

Тепер розглянемо неперервне відображення компактних множин.

Теорема 2.13. Неперервний образ компактного простору є компактним простором.


Теорема 2.14. Взаємно однозначне і неперервне відображення компакта на хаусдорфів простір є гомеоморфізмом.

Доведемо для прикладу цю теорему. Виходячи з її умови досить довести неперервність . Скористуємося наслідком 2.1. Нехай – замкнена множина в і – її образ. Із наслідку 2.2 множина є компактом. За теоремою 2.13 множина також є компактом. Із теореми 2.9 витікає, що – замкнена множина. Теорему доведено.


Теорема 2.15. Нехай – компактний простір, – неперервна в ньому числова функція. Тоді – обмежена на і досягає свого максимуму та мінімуму.

Доведення. Образ є компактною підмножиною простору . Із курсу математичного аналізу відомо, що в компактними є обмежені й замкнені множини. Звідси витікає, що множина має верхню й нижню межі, тобто існує і .

Якщо множина , яка лежить у хаусдорфовому просторі, не замкнена, то вона не може бути компактною (теорема 2.9). Однак, для опису компактності існує поняття передкомпактності.


Визначення 2.7. Множина , яка лежить у деякому топологічному просторі , називається передкомпактною, якщо її замикання в є компактним.


Приклад 2.5. Будь-яка обмежена множина на прямій є передкомпактною, оскільки її замикання – завжди компакт.


2.6. Компактність у метричному просторі


У метричних просторах існують досить конструктивні критерії компакт-ності. В метричному випадку компактність тісно пов’язана з поняттям цілком обмеженості.

Нехай – підмножина метричного простору з метрикою . Множи-на називається -сіткою для , якщо для будь-якої точки існує точка така, що

.

Множина не обов’язково міститься в . Вона може навіть мати з порожній перетин. Однак, маючи для деяку -сітку , можна побудувати -сітку .

Наприклад, цілочислові точки утворюють на площині -сітку.

Множина називається цілком обмеженою, якщо для неї при будь-якому існує скінченна -сітка.

Цілком обмежена множина повинна бути обмеженою. Обернений висно-вок може бути неправильним.

Очевидно, що якщо множина цілком обмежена, то і її замикання теж цілком обмежене.


Теорема 2.16. Для того, щоб множина , яка лежить у повному метрич-ному просторі, була передкомпактною, необхідно і достатньо, щоб вона була цілком обмеженою.

Таким чином, у повних метричних просторах замкнені цілком обмежені множини будуть компактними.


Приклад 2.6. У просторі компактними є замкнені обмежені множини й тільки вони.


Приклад 2.7. Одинична сфера в





є обмеженою, але не цілком обмеженою множиною. Тому, не зважаючи на те, що замкнена, вона не є компактною. Дійсно, розглянемо точку з вигляду




Відстань між будь-якими і , дорівнює . Тому для не може бути -сітки при .

У цьому ж просторі розглянемо множину всіх точок таких, що , , …, , … . Ця множина називається основним паралелепіпедом або гільбертовою цеглиною. Можна показати, що вона цілком обмежена, а оскільки вона є замкненою, то – компакт.

Приклад 2.8. Розглянемо критерій передкомпактності у просторі .

Сім’я функцій , визначених на , називається рівномірно обме-женою, якщо існує таке число , що




для всіх , .

Сім’я називається одностайно неперервною, якщо для кожного знайдеться таке, що




для всіх таких, що для всіх .


Теорема 2.17. (Арцела). Для того, щоб сім’я була передкомпактною
у , необхідно й достатньо, щоб вона була рівномірно обмеженою і одностайно неперервною.

Теорема Арцела використовується для доведення теореми Пєано про існування розв’язку диференціального рівняння. У теоремі Пєано йдеться про те, що розв’язок диференціального рівняння існує, якщо функція неперервна. При цьому не потрібна ліпшицевість функції по , але й не гарантується єдиність розв’язку.

На випадок метричних просторів можна перенести поняття рівномірної неперервності.

Відображення , де – метричний простір з метрикою і – метричний простір з метрикою , називається рівномірно неперервним, якщо для будь-якого існує таке , що як тільки . Тут залежить тільки від і не залежить від , .


Теорема 2.18. Неперервне відображення метричного компакту в мет-ричний простір є рівномірно неперервним.

Розділ 3
^ ЛІНІЙНІ НОРМОВАНІ ПРОСТОРИ



3.1. Лінійні простори


Поняття лінійного простору є одним із головних у математиці. Такі прос-тори розглядаються в курсі лінійної алгебри. Однак, лінійна алгебра має справу лише зі скінеченновимірними просторами. Тут же будуть розглядатися також і нескінченновимірні простори.


Визначення 3.1. Множина називається лінійним або векторним прос-тором, якщо вона задовольняє наступним умовам:

I. Для будь-яких двох елементів однозначно визначений третій елемент , який називається їх сумою і позначається , причому:

1) (комутативність);

2) (асоціативність);

3) в існує такий елемент 0, що для всіх (існування нуля);

4) для кожного існує такий елемент , що (існування протилежного елемента).

II. Для будь-якого числа і будь-якого елемента визначений елемент (добуток числа на елемент ), причому:

1);

2);

3);

4).

В залежності від того, який запас чисел (дійсні чи комплексні) викорис-товується, розрізняють дійсні і комплексні лінійні простори. У загальному випадку можна розглядати лінійні простори над довільним полем. Всюди, де не оговорено протилежне, зроблені нижче побудови справедливі як для дійсних, так і для комплексних просторів.


Приклад 3.1. Пряма лінія , тобто сукупність дійсних чисел зі звичай-ними арифметичними операціями, представляє собою лінійний простір.


Приклад 3.2. Сукупність можливих наборів з дійсних чисел , де додавання і множення на число визначається формулами


,

,


є лінійним простором. Він називається -вимірним дійсним арифметичним простором і позначається . Аналогічно комплексний -вимірний арифме-тичний простір визначається як сукупність наборів комплексних чисел з множенням на будь-які комплексні числа. Такий простір позначається .


Приклад 3.3. Неперервні (дійсні або комплексні) функції, визначені на відрізку зі звичайними операціями додавання і множення на число, утворюють лінійний простір .


Приклад 3.4. Простір , в якому елементами є послідовності чисел (дійсних або комплексних), що задовольняють умову:

,

з операціями


,





є лінійним простором.


Приклад 3.5. Збіжні послідовності з тими самими опе-раціями, що й у прикладі 3.4, утворюють лінійний простір. Позначається як .


Приклад 3.6. Послідовності, збіжні до нуля, утворюють лінійний простір, Позначається як .


Приклад 3.7. Сукупність усіх обмежених послідовностей із тими самими операціями, що й у прикладі 3.4, утворює лінійний простір .


Приклад 3.8. Сукупність можливих числових послідовностей з тими самими операціями утворює лінійний простір.

Важливим поняттям є ізоморфізм лінійних просторів.


Визначення 3.2. Лінійні простори і називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначне відображення простору на простір , що для будь-яких і числа виконується умова


,

.

Ізоморфізм простору можна розглядати як різні реалізації одного й того самого простору. Прикладом ізоморфних просторів можуть бути -вимірний простір і простір усіх многочленів степені, меншої , з дійсними коефіцієнтами.

Розглянемо питання про вимірність просторів. Елементи лінійного простору називаються лінійно залежними, якщо існують числа , які не всі дорівнюють нулю такі, що


. (3.1)


У протилежному випадку ці елементи називаються лінійно незалежними, тобто лінійно незалежні, якщо з (3.1) виходить .

Нескінченна система елементів простору називається лінійно незалежною, якщо будь-яка її скінченна підсистема лінійно незалежна.

Якщо в можна знайти лінійно незалежних елементів, а будь-які елементів цього простору лінійно залежні, то говорять, що простір має вимірність , . Базисом в -вимірному просторі називається будь-яка лінійно незалежна система, складена з елементів.

Якщо в можна визначити систему з довільного скінченного числа лінійно незалежних елементів, то говорять, що простір нескінченно-вимірний.

У прикладі 3.1 простір одновимірний, у прикладі 3.2 простори
і -вимірні, в решті прикладів простори нескінченновимірні.

Непорожня підмножина лінійного простору називається підпрос-тором, якщо вона сама утворює лінійний простір по відношенню до визначених в операцій. Інакше кажучи, є підпростором, якщо для будь-яких і чисел , виконується .

У будь-якому лінійному просторі існує простір, складений з нуля – нульовий простір. Інакше, простір можна розглядати як свій підпростір. Підпростір, який відрізняється від і містить хоча б один ненульовий елемент, називається власним.


Приклад 3.9. Нехай – лінійний простір, , . Сукупність еле-ментів , де пробігає всі числа, утворює одновимірний підпростір. Якщо, то цей підпростір буде власним.


Приклад 3.10. Розглянемо в просторі неперервних функцій множину всіх многочленів. Множина є власним підпростором в .

Приклад 3.11. Розглянемо простори , , , і (приклади
3.4 – 3.8). Кожен із них є власним підпростором наступного.

Нехай довільна непорожня множина елементів лінійного простору . Найменший підпростір, який містить , називається підпростором, породженим множиною або лінійною оболонкою множини і позначається або .


^ 3.2. Поняття норми


Визначення 3.3. Нехай – лінійний простір. Відображення, яке зіставляє кожному елементу число , називається нормою, якщо виконуються такі умови:

1), причому тоді й тільки тоді, коли ;

2), ;

3), де , – число.

Лінійний простір, у якому задана деяка норма, називається нормованим. Будь-який нормований простір стає метричним, якщо в ньому ввести відстань


. (3.2)


Повний нормований простір називається банаховим простором або -прос-тором.


Приклад 3.12. Пряма лінія стає нормованим простором, якщо вважати .

Простори можна зробити нормованими, а потім увести відстань за фор-мулою (3.2). Наведемо кілька прикладів.


Приклад 3.13. У дійсному -вимірному просторі впровадимо

.

Приклад 3.14. У просторі впровадимо

.


Приклад 3.15. У просторі впровадимо


.


Приклад 3.16. У просторі впровадимо


.


Приклад 3.17. У просторі обмежених послідовностей впровадимо


.


Приклад 3.18. У просторі впровадимо

.


Раніше було визначено поняття підпростору. У нормованих просторах най-важливішими є замкнені підпростори. У скінченновимірному нормованому просторі будь-який підпростір замкнений. У нескінченновимірному випадку це не так. Наприклад, у підпростір не замкнений.

Таким чином, підпростором нормованого простору називаються тільки замкнені підпростори. Довільний підпростір, який може бути не замкненим, називають лінійним многовидом.

Підпростором, що породжений множиною елементів , називають найменший замкнений простір, який містить . Інакше він називається лінійним замиканням множини .

Систему елементів, яка лежить у нормованому просторі , називають повною, якщо породжений нею підпростір (замкнений), співпадає з усім . Наприклад, в силу теореми Вейерштрасса сукупність функцій





є повною у просторі неперервних функцій .


^ 3.3. Евклідові простори


Визначення 3.4. Скалярним добутком у дійсному лінійному просторі називається дійсна функція , визначена для кожної пари елементів , яка задовольняє умовам:

1);

2);

3);

4), причому тільки при .

Лінійний простір із введеним у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором.


Визначення 3.5. Повний евклідів простір нескінченного числа вимірів називається гільбертовим.

В евклідовому просторі вводиться норма за допомогою формули


.


Справедлива нерівність Коші-Буняковського


.


Наявність скалярного добутку дозволяє ввести не тільки довжину вектора (норму), але й кут між векторами. Кут між і визначається за формулою


.


Якщо , тобто , то вектори і називаються ортого-нальними.

Система ненульових векторів називається ортогональною, якщо при .

Якщо вектори ортогональні, то вони лінійно незалежні.

Якщо ортогональна система є повною, тобто найменший простір, який її містить, співпадає з усім простором , то вона називається ортогональним базисом. Якщо




то вона називається ортогональною нормованою або ортонормованою. Зрозуміло, що якщо ортогональна, то буде ортонормованою.


Приклад 3.19. -вимірний простір зі скалярним добутком

,

де , є добре відомим прикладом евклідового простору.

Ортонормований базис (один із нескінченного числа можливих) утворює вектори




Приклад 3.20. Простір зі скалярним добутком



є гільбертовим простором. Найпростіший ортонормований базис утворюють вектори




Приклад 3.21. Простір неперервних функцій зі скалярним добутком



є евклідовим простором, але не гільбертовим, оскільки він не повний. Серед різних ортогональних базисів найважливішим є тригонометрична система


, , , .

Приклад 3.22. Простір функцій, інтегрованих з квадратом і з тим самим скалярним добутком, що й у прикладі 3.21, є гільбертовим простором. Ортогональним базисом у ньому служить та сама тригоно-метрична система, що й у прикладі 3.21.

Має місце наступний факт. У сепарабельному евклідовому просторі будь-яка ортогональна система не більше ніж зліченна. Зазначимо, що всі простори у прикладах 3,20 – 3,22 сепарабельні.


Теорема 3.1. (Про ортогоналізацію). Нехай





лінійно незалежна система векторів в евклідовому просторі . Тоді в існує система елементів

, (3.3)

яка задовольняє умовам:

1) система (3.3) ортонормована;

2) кожен елемент можна представити у вигляді


,

причому ;

3) кожен елемент можна представити у вигляді


,

причому .


Наслідок 3.1. У сепарабельному евклідовому просторі завжди існує ортонормований базис.


Визначення 3.6. Два евклідові простори і називаються ізоморф-ними, якщо існує таке взаємно однозначне відображення в , що вико-нуються умови:

1);

2);

3).


Теорема 3.2. Будь-який сепарабельний гільбертів простір ізоморфний простору .

Таким чином, простір функцій , який розглядався в прикладі 3.22, ізоморфний простору послідовностей .

Справедливе твердження: для того, щоб нормований простір був евклі-довим, необхідно й достатньо, щоб для будь-яких виконувалась рівність

.


Ця рівність не виконується для , , , , .


^ 3.4. Підпростори в гільбертовому просторі


Як правило, у функціональному аналізі розглядають сепарабельні гільбертові простори. Позначають їх буквою .

Як і раніше, підпростори гільбертового простору розуміють як замк-нені простори.


Теорема 3.3. В кожному підпросторі міститься ортонормована система , лінійне замикання якої співпадає з .

Позначимо через M множину всіх елементів , ортогональних до всіх елементів , тобто


M .


Множина M називається ортогональним доповненням підпростору в . Не важко побачити, що M теж є підпростором.


Теорема 3.4. Нехай – лінійний підпростір в . Тоді будь-який елемент єдиним чином можна представити у вигляді , де , M.

Ця теорема є прямим узагальненням аналогічного результату для скінчен-новимірного випадку.

Кажуть, що пряма сума підпросторів і ^ M і пишуть:


M.


Поняття прямої суми може бути узагальнене для будь-якого скінченого
і навіть зліченного числа підпросторів.

Кажуть, що є прямою сумою своїх підпросторів


,

якщо:

1) всі попарно ортогональні;

2) будь-який елемент єдиним чином можна представити у вигляді


,


де . Причому, якщо ряд нескінченний, то є рядом, який збігається.

Має місце рівність

.


Із теореми 3.4 витікають наступні факти.

  1. Доповненням до M є .

  2. Кожна ортонормована система може бути розширена до системи, повної в .



^ 3.5. Комплексні евклідові простори


При визначенні комплексного евклідового простору вноситься поправка до першої аксіоми (див. визначення 3.4), а саме, припустимо


.


Якщо раніше з другої і першої аксіом витікало


і ,


то тепер маємо


, але .


Тепер – комплексне число.

Повний комплексний нескінченновимірний евклідів простір називається гільбертовим. Як правило, припускається також, що він буде сепарабельним.


Приклад 3.23. Комплексний простір . На відміну від дійсного простору у цьому випадку скалярний добуток вводиться за формулою

.

Приклад 3.24. У комплексному просторі скалярний добуток задається формулою

.


У комплексному випадку є дійсним числом, . Норму вводять за формулою

.


Теорема 3.5. Всі сепарабельні комплексні гілбертові простори ізоморфні комплексному простору .

Як і раніше, можна показати, що в комплексному випадку простори , , , , не є евклідовими.
1   2   3   4   5

Схожі:

Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет кафедра мов павленко І. М. Ділова англійська мова для студентів четвертих курсів Київ мсу 2002
Ділова англійська мова. Навчальний посібник. Упорядник І. М. Павленко. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2002. – 182 с
Міжнародний соломонів університет iconБіологічний англійський. Навчальний посібник. Упорядник Н. О. Арістова. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2000 р. Упорядник арістова н. О. Затверджено на засіданні кафедри мов 2002 протокол № Друкується за редакцією упорядника
Біологічний англійський. Навчальний посібник. Упорядник Н. О. Арістова. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2000 р
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів університет
Місце І значення навчальної дисципліни
Міжнародний соломонів університет iconМіністерство освіти І науки України Міжнародний Соломонів університет Факультет соціології Затверджено Ректор мсу проф. Розенфельд О.І. “ ” 2001 р. Звіт по результатам самоаналіза роботи факультету соціології в 1998/99 та 1999/2000 роках Київ-2000
Міністерство освіти І науки України Міжнародний Соломонів університет Факультет соціології Затверджено Ректор мсу проф. Розенфельд...
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет
У світі існують різні політичні системи – парламентського та президентського типів президентсько-парламентські та інші
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет програма курсу
Вступ. Геоботаніка як система знань про рослинний покрив. Предмет, об'єкт І завдання геоботаніки
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет програма курсу
Вступ. Геоботаніка як система знань про рослинний покрив. Предмет, об'єкт І завдання геоботаніки
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів Університет Кафедра історії
Вступ: джерела, періодизація, зміст курсу; внесок єврейського народу в історію світової цивілізації та культури
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний Соломонів університет Кафедра фінансів
Навчально-методичний комплекс з курсу «Глобальні ринки» / Уклад. О.І. Розенфельд, В. А. Лизогуб, В. А. Рихлов. К.: Мсу, 2007. – 30...
Міжнародний соломонів університет iconInna pavlenko business english
Ділова англійська мова. Навчальний посібник. Упорядник І. М. Павленко. – Київ: Міжнародний Соломонів університет, 2002. – 182 с
Міжнародний соломонів університет iconМіжнародний соломонів університет
Эквивалентность двух условий означает, что совпадают их множества истинности: АВ означает АВ и ВА
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи