Высшая математика т. 1
Скачати 156.29 Kb.
|
|
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА т.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ Содержание Предисловие Глава І. Матрицы. Определители матрицы. Системы уравнений первой степени. §1 Основные понятия §2 Определители матриц второго порядка §3 Определители матриц третьего порядка §4 Определители матриц высших порядков §5 Решения систем n уравнений с n неизвестными §6 Ранг матрицы, теорема про совместимость систем уравнений первой степени §7 Основные операции с матрицами §8 Обернутая матрица, решение матричных уравнений Глава ІІ. Векторная алгебра §1 Основные понятия §2 Линейные операции с векторами §3 Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов §4 Проекция вектора на ось. Прямоугольная декартова система координат в пространстве §5 Скалярное произведение векторов §6 Векторное произведение векторов §7 Мешанное достижение векторов §8 Линейное пространство Глава ІІІ. Аналитическая геометрия §1 Соответствие между геометрическими образами и уравнениями §2 Линейные образы - площадь и прямая §3 Линии второго порядка §4 Преобразование координат на площади. Применение преобразования координат к упрощению уравнений кривых второго порядка §5 Цилиндрические поверхности с образующими, параллельными, координатным осям; поверхности второго порядка §6 Полярная система координат на площади: Цилиндрическая и сферическая система координат в пространстве ^ §1 Основные понятияОдной из самых важных задач математики является исследование и решение систем уравнений 1-й степени. Пусть такая система содержит m неизвестных Х1, Х2, ... , Хm, связанных n уравнениями 1-й степени (число уравнений может и не совпадать с числом неизвестных). В общем виде эту систему можно записать так: a11x1+a12x2+... +a1mxm=b1 a21x1+a22x2+... +a2mxm=b2 …………………………... (1) an1x1+an2x2+... .. +anmxm=bn В системе (1) b1, b2, ... , bn - заданные свободные члены, aik (i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m) - заданные коэффициенты при неизвестных. При этом первый индекс в aik означает номер уравнения в системе, а второй - номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. То есть, aik - коэффициент, который стоит в і-м уравнении системы при неизвестном Хк. Аналогично bi означает свободный член в і-м уравнении системы. Решением системы (1) называется такая совокупность чисел Х1, Х2, ... , Хm, что, будучи подставленная во все уравнения системы (1), превращает эти уравнения в числовые равенства. Запишем таблицу, составленную из коэффициентов при неизвестных в системе (1):  (2)Такую таблицу будем рассматривать, как единое целое и будем называть основной матрицей системы. Таблица  (3),которая содержит и столбец , составленный из свободных членов системы (1), называется расширенной матрицей системы. Очевидно, что само существование решения системы (1), так и возможные числовые значения элементов решения полностью определяются матрицами (2) и (3). А потому естественно, рассмотрим некоторые общие свойства матриц. ^ (или просто матрицей) называется прямоугольная таблица чисел. Отдельные числа этой таблицы называются элементом матрицы. Элементы матрицы А обозначают символом aik, где и - номер строки, а k - номер столбца, в котором стоит выбранный элемент. Если матрица содержит n строк и m столбцов, тогда говорят, что матрица имеет размерность nxm. Особенно часто приходится иметь дело с матрицами, в которых число строк равно числу столбцов. Такие матрицы называются квадратными. Число строк (а, отсюда, и число столбцов) квадратной матрицы называется порядком матрицы. ^ Для квадратной матрицы вводится новое понятие - определитель матрицы. Определитель квадратной матрицы будем обозначать символом det A, и определим его индуктивным путем. ^ (то есть матрицей, которая состоит из одного элемента, одного числа) называется само число, которое образовывает заданную матрицу. Определителем матрицы 2-го порядка  называется число, вычисленное по такому правилу: det A=a11a22-a12a21.Диагональ квадратной матрицы, которая идет от левого верхнего элемента таблицы до правого нижнего, называется главной диагональю матрицы. Диагональ, которая идет от правого верхнего элемента до левого нижнего, называется побочной диагональю матрицы. Таким образом, для вычисления определителя матрицы 2-го порядка нужно из произведения элементов, которые находятся на главной диагонали матрицы, вычесть произведение элементов, которые находятся на побочной диагонали. Для определителя матрицы вводится символ  .Таким образом,  (1)Как видно из (1), определитель матрицы 2-го порядка представляет собой алгебраическую сумму двух слагаемых. Каждый из слагаемых является достижением двух элементов, при чем в него входит один элемент первой строки и один элемент 2-й строки, один элемент 1-го столбца и один элемент 2-го столбца заданной матрицы. Со знаком «+» берется произведение элементов главной диагонали и со знаком «-» - произведение элементов побочной диагонали. Из определения (1) легко получить ряд свойств определителей матриц. Свойство 1. При перестановке строк матрицы на место столбцов и наоборот определитель матрицы не изменяется. Пусть задана матрица , а матрица  получена из А перестановкой строк на место столбцов (такая матрица А* называется часто транспонированной по отношению к матрице А). Тогда Свойство 2. При перестановке двух столбцов (или строк) абсолютное значение определителя матриц не изменяется, а знак изменяется на противоположный. Пусть задана матрица  , полученная из А перестановкой столбцов. Тогда Свойство 3. Если матрица имеет два одинаковых столбца (строки), тогда определитель матрицы равен нулю. Свойство 4. Если все элементы любого столбца (строки) матрицы умножить на одно и то ж число, тогда определитель матриц окажется умноженным на то же число. Свойство 5. Если все элементы любого столбца (строки) матрицы равны нулю, тогда определитель матрицы равен нулю. Свойство 6. Пусть все элементы любого столбца (строки) матрицы А представляют собой сумму двух элементов и пусть соответствующие столбцы матриц А1 и А2 состоят из таких элементов:  ,  ,  ,тогда det A=det A1+detA2 Такое утверждение, как и утверждение 3, 4, 5, доказывается непосредственной проверкой. Свойство 7. Определитель матрицы не изменяется, если к элементам любого столбца (строки) матрицы прибавить величины, пропорциональные элементам второго столбца (строки). Пусть и  .Тогда  ^ Пусть задана любая матрица порядка n  Выберем произвольный элемент aik этой матрицы и вычеркнем из матрицы А ту строку и тот столбец, в которых содержится этот элемент, (то есть вычеркнем і-ую строку и k-ий столбец). Тогда получим матрицу (n-1)-го порядка. Будем называть ее субматрицей матрицы А, что отвечает элементу aik , и обозначим ее символ Дik Определитель субматрицы Дik назовем минором матрицы А, что отвечает элементу aik, и обозначим символом Мik. Отсюда Мik=det Дik. (1) Пусть исходная матрица А была матрицей 3-го порядка. Тогда девять ее возможных субматриц Д11, Д12, Д13, Д21, Д22, Д23, Д31, Д32, Д33, которые отвечают различным элементам матрицы А, будут матрицами 2-го порядка. Определение. Определителем матрицы 3-го порядка  называется число, определенное по такому правилу:  (2)Поскольку для матрицы А   ,тогда M11=det D11=a22a33-a23a32 M12=det D12=a21a33-a23a31 M13=det D13=a21a32-a22a31 Отсюда det A=a11(a22a33-a23a32)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31) det A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31 (3) Как видно из полученной формулы, определитель матрицы 3-го порядка представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых. Каждое слагаемое является произведением трех элементов по одному из каждой строки и каждого столбца. Первое из слагаемых, взятых со знаком «+», представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы. Последние два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основой, параллельной главной диагонали.  Произведения, которые входят со знаком «-», содержат элементы, расположенные на побочной диагонали, и элементы, расположенные в вершинах треугольников с основой параллельной побочной диагонали.  Непосредственной проверкой можно удостовериться в том, что все свойства, установленные для определителей матриц 2-го порядка, имеют место и для определителей 3-го порядка. ^ Определители матриц 4-го и более высоких порядков будем вводить аналогично определителям матриц 3-го порядка. Пусть задана матрица Определение. Определителем матрицы А порядка n называется число, вычисленное по такому правилу:  (1)В соответствии со сказанным ранее в этой формуле Mik есть минор матрицы А, который отвечает элементу aik, то есть определитель субматрицы Дik, полученный из матрицы А вычеркиванием і-той строки и k-го столбца. Правило (1) является очевидным обобщением правила (2, (3). Оно дает возможность свести вычисление определителей матриц 4-го порядка к вычислениям определителей 3-го порядка и т.п. Вычисление определителя матрицы высокого порядка по формуле (1) - операция довольно трудоемкая. А потому важно, используя свойства определителей матриц, сократить вычисление. Поскольку определители матриц введены на основе принципа индукции, тогда естественно надеяться, что свойства определителей матриц высших порядков будут те же, что определители 2-го порядка. Примем без доказательства следующие два утверждения о свойствах определителей матриц порядка n (эти свойства были проверены для определителей матриц 2-го порядка, а свойство 1 также и для матриц 3-го порядка) Свойство 1. При перестановке строк матрицы на место столбцов определитель матриц не изменяется Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) матрицы абсолютное значение определителя матриц не изменяется, а знак изменяется на противоположный. Первое свойство дает возможность все положения, установленные для строк матрицы, переносить на ее столбцы. Из него, например, выходит, что возможно определитель матрицы вычислять и по формуле det A = a11M11 -a21M21+ ... + (-1)n-1 an1Mn1 (2), то есть выполнять разложение определителя матрицы не только по элементам первой строки, но и по элементам первого столбца. На основе данных утверждений выведем основную формулу для разложения определителя матрицы по элементам любой строки или столбца: det A=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+... +(-1)i+nainMin= (-1)1+ka1kM1k+(-1)2+ka2kM2k+... +(-1)n+k ankMnk (3) Первая часть утверждения представляет собой разложение определителя по элементам і-й строки, вторая половина - расписание по элементам k-го столбца. Доказательство. Пусть задана матрица n-го порядка  Переставим і-ю и (і-1)-ю строку матрицы А, потом переставим новую (i-1)-ю строку с (і-2)-й строкой и т.д. до тех пор, пока исходная і-я строка не станет 1-ю строкой. Тогда получим новую матрицу.  Матрица А получена из А в результате (і-1) перестановок строк. Каждая такая перестановка у определителя матрицы изменяет только знак. Следовательно, (-1)і-1det A=det A Субматрица Дік матрицы А, которая отвечает элементу аік, полностью совпадает с субматрицей Дік, которая отвечает элементу аік матрицы А. Поэтому det Dik =det Dik=Mik , и на основе определения (1) получим det A=ai1Mi1-ai2Mi2+... +(-1)n-1ainMin Таким образом det=(-1)i-1det=(-1)i+1det=(-1)i+1ai1Mi1+(-1)i+2ai2Mi2+... +(-1)i+nainMin и первая половина формулы (3) получена. Вторую половину формулы получим, используя возможность перестановки строк на место столбцов. Для упрощения записи формул разложения удобно ввести понятие «алгебраическое дополнение, которое отвечает заданному элементу матрицы». Определение. Алгебраическим дополнением элемента аік матрицы А называется минор Мік этой матрицы, умноженный на (-1)и+к: Алгебраическое дополнение элемента аік матрицы А обозначается, как правило, символом Аік. Следовательно, Аік=(-1)и+кМік (4) Теперь формулу разложения (3) можно записать в таком виде det=ai1Ai1+ai2Ai2+... +ainAin=a1kA1k+a2kA2k+... +ankAnk (5) Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) матрицы на соответствующее алгебраическое дополнение. Для сокращения записи часто вводится специальное обозначение суммы ряда слагаемых. Сумму 1+2+... +n будем записывать символом  . Знак в такой записи является символом суммирования, запись k=1 под знаком суммы и n над знаком означает, что индекс к в отдельных слагаемых принимает значение от k=1 до k=n. Очевидно, что если р любое число, тогда  ,то есть постоянный множитель можно вынести за знак суммы. Укажем еще, что  (ак+bк)ск= акск+ bкск.Действительно (ак+bк)ск=(а1+b1)с1+(а2+b2)с2+...+(аn+bn)сn=(а1с1+b1с1+а2с2+b2с2+...+аncn+bnсn)==(а1с1+а2с2+...+аnсn)+(b1с1+b2с2+...+bnсn)=  + С помощью символа суммирования формулу (5) записывают в виде det A= aikAik= aikAik. (5)С помощью формулы разложения легко установить другие свойства определителей матриц любого порядка. Свойство 3. Если матрица имеет две одинаковых строки (или столбца), тогда определитель матрицы равен нулю. Доказательство. Пусть в матрице А совпадают  -я и s-я строка. Переставим в этой матрице s-ю строку на место -й и наоборот. Поскольку эти строки одинаковы, тогда ни сама матрица, ни ее определитель не изменятся. Но вместе с тем при перестановке в матрице двух любых строк определитель матрицы изменит свой знак, то есть det A= -det A, и потому det A=0.Свойство 4. Если все элементы любой строки (или столбца) матрицы помножить на одно и то же число, тогда определитель матрицы станет умноженным на то же число. Доказательство. Рассмотрим матрицы  ,  Раскладывая определитель этих матриц по элементам і-й строки, получаем detA= aikAik det A=paikAik=paikAikСледовательно, det A=pdet. Свойство 5. Если все элементы любой строки (или столбца) матрицы равны нулю, тогда определитель матрицы равен нулю. Доказательство. Раскладывая определитель матрицы по элементам строки, все элементы которой равны нулю, получим высказанное утверждение. Свойство 6. Пусть все элементы любой строки (или столбца) матрицы А представляют собой сумму двух слагаемых, и пусть соответствующие строки матриц А1 и А2 состоят из этих слагаемых:  ,  ,  тоді detA=detA1+detA2. Доказательство. Раскладывая определители матриц А1, А2, А по элементам і-й строки, получим det A= (aik+ )Aik=aikAik+ Aik=detA1+detA2.Свойство 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам любой строки (или столбца) матрицы прибавить величины, пропорциональные элементам второй строки (столбца) той же матрицы. Доказательство. Рассмотрим матрицы    и матрицу В, полученную заменой в матрице А і-й строки -й строкой ( )Согласно доказанному ранее  . Но в матрице В строка a 1, a2,... , a n входит дважды (на і-м и на -м местах), и потому det=0, то есть det=det.Установленные свойства дают практический метод вычисления определителей матриц высоких порядков. Покажем на нескольких примерах содержание этого метода. Пример 1. Задана матрица  Найти det A. Решение. Преобразуем заданную матрицу так, чтобы в одной строке или в одном столбце все элементы, кроме одного, стали равными нулю. Преобразования при этом проводим такие, чтобы определитель матрицы не изменялся. Для этого к элементам 1-й и 3-й строки прибавляем удвоенные элементы 2-й строки.  Раскладывая определитель по элементам 2-го столбца по формуле (3), получим  Пример 2. Задана матрица  Найти det A. Решение. Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы 3-й строки, кроме одного, превращались в ноль. Для этого к элементам 1-го столбца прибавим элементы 3-го, умноженные на -4, а к элементам 2-го столбца прибавляем элементы 3-го, умноженные на 2. Тогда получим  Прибавляем к элементам первой строки элементы 2-й строки, умноженные на -2, и к элементам 3-й элементы 2-й, умноженные на -3. Тогда  Докажем, на довершение, еще одну существенную теорему, которую назовем теоремой про алгебраические дополнения. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) матрицы на алгебраическое дополнение, соответствующие элементам второй строки (или столбца) этой же матрицы, равна нулю. Доказательство. Пусть задана матрица  Рассмотрим вспомогательную матрицу  ,полученную из матрицы А заменой элементов -й строки числами h1, h2,... hn .Раскладывая det A1 по элементам -й строки, получим det A1= где  - алгебраические дополнения, соответствующие элементам -й строки как матрицы А1, так и матрицы А. Полагая hk=аік, получим матрицу, у которой две строки полностью совпадают. Поэтому при  определитель этой матрицы, то есть аік, должен равняться нулю. Теорема доказана.Объединяя доказанную теорему и формулу (5), можно записать аік = (6)Аналогично, проводя разложение по элементам і-го столбца, имеем аік = (7)^ 1.1. Вычислите определитель второго порядка   1.2. Вычислите определитель третьего порядка  С  огласно правила треугольника, имеем 1.3. Вычислите определитель третьего порядка  Р азложив определитель по элементам 1-й строки, получим 1.4. Вычислите предыдущий пример иначе, применив свойства определителей. К элементам 1-й строки прибавим соответствующие элементы 2-й строки, умноженные на 5, а к элементам 3-й строки - соответствующие элементы 2-й строки, умноженные на 7. Разложив определитель по элементам 1-го столбца, получим  1.5. Вычислите определитель  В ыполним такие действия: 1) к элементам 1-й строки прибавим умноженные на -3 соответствующие элементы 2-й строки; 2) к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки; 3) к элементам 4-й строки прибавим соответствующие элементы 2-йо строки, умноженные на -1. Тогда исходный определитель преобразуется до вида. Разложив этот определитель по элементам 1-го столбца, имеем  Прибавим к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и вычтем из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, получим  Разложим определитель по элементам 1-го столбца.  1.6. Вычислите определитель пятого порядка  Д ля преобразования в ноль всех элементов (кроме одного) любой строки или столбца, выбираем ту строку или столбик, который состоит из наименьших чисел. В определителе таким будет второй столбик. Оставим в нем без изменений элемент а22=-1, а все другие обратим в нули. Для этого выполним: (Ір+(-2)IIр, IIIp+3 IIр, ІVр+2 Пр).Получим:  Разложим определитель по элементам второго столбца.  В полученном определителе уже 4-го порядка из наименьших элементов состоит 4-я строка. Обратим в нули все ее элементы, кроме а42=-1. Для этого выполним (Іст+(-3)ІІст, ІІІст+2 ІІст, ІVст+3 ІІст). В результате получим:  Разложим определитель по элементам четвертой строки  (Мы вынесли за знак определителя общий множитель из элементов второй строки и общий множитель из элементов третьей строки). Для уменьшения элементов этого определителя прибавим первый столбец к второму и третьему:  П оследний определитель разложили по элементам третьего столбца.1.7. Вычислить определитель n-го порядка, сведя его до треугольного вида:  .Δ Вычтем І строку из всех других.  К І столбцу прибавим сумму всех других. |
