Применение производных к исследованию функций
Скачати 154.67 Kb.
|
ГЛАВА 7: Применение производных к исследованию функций§ 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежуткеВ этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем изложении при доказательстве теорем будем опираться на эти теоремы как на очевидные факты. Теорема 1. (Про наибольшую и наименьшую стоимость функции). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она приобретает на этом промежутке по крайней мере один раз свою наибольшую и свою наименьшую стоимость. Строгое доказательство этой теоремы (как и следующей) основывается на теории действительных чисел. Мы ограничимся объяснением ее содержания, использовав при этом геометрическое изображение функций. Теорема гласит, что когда функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то существует на нем по крайней мере одна такая точка х1 (рис. 47), что для всех стоимостей х из промежутка a≤ x≤ b будет выполняться неравенство f(x)≤ f(x1). Стоимость f(x1) называется наибольшей стоимостью функции f(x) на промежутке [a, b] и обозначается буквой М f(x1)=М При тех же условиях теорема гласит о существовании, по крайней мере, одной точки x2 на промежутке [a, b], что для всех стоимостей х из рассмотренного промежутка будет выполняться неравенство f(x1)≤f(x). Стоимость f(x2) называется наименьшей стоимостью функции f(x2) на промежутке [a, b] и обозначается буквой m. Может показаться, что утверждение теоремы совсем очевидное и тривиальное. Но достаточно взять открытый промежуток (a, b) - и мы убедимся, что теорема становится неверной. Рассмотрим, например, непрерывную функцию f(x)= х2 (рис. 48) на открытом промежутке (-2, 2). Она приобретает наименьшую стоимость нуль в точке х=0, но нельзя указать такую точку, для которой функция имеет наибольшую стоимость. Действительно, какую бы не взяли мы точку х1 левее правого конца х=2 (или по правую сторону левого конца х=-2), всегда найдется другая точка, например, х2=  (посредине между х= х1 и х=2), в которой функция х= х2 имеет большую стоимость, чем в точке х= х1. Когда бы точки х=-2 и х=2 не были исключены, то есть, если бы мы рассматривали функцию в= х2 на замкнутом промежутке [-2, 2], существовала бы наименьшая стоимость функции 4 аж в двух точках х=-2 и х=2.Если взять, например, функцию у=х, что есть непрерывной в любом открытом промежутке, то нетрудно убедиться, что она не достигает в нем ни наибольшей, ни наименьшей стоимости. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет на его концах противоположные знаки, то есть f(a)∙ f(b)<0, то она, по крайней мере, один раз становится нулем внутри этого промежутка. Предположим, что f(x) непрерывная функция на промежутке [a, b] и что f(а)>0, а f(b)<0 (рис. 49) Теорема гласит, что существует по крайней мере одна точка  внутри промежутка [a, b] такая, что  . Из рис. 49 видно, что переход функции от добавочной стоимости f(а) к отрицательной f(b), принимая во внимание непрерывность кривой - графика непрерывной функции, - произойдет с обязательным пересечением оси Ох по крайней мере в одной точке ξ. Разрывные функции (рис. 50), вообще говоря, не имеют этого свойства. Из теоремы 2 как следствие следует третья важная теорема о непрерывности функции.Теорема 3. (о промежуточных стоимостях функции). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет на его концах неравные между собой стоимости f(а)=А и f(b)=B, то внутри промежутка она приобретает по крайней мере один раз любую стоимость С, содержащуюся между А и В. Доказательство. Пусть A Введем вспомогательную функцию  На промежутке [a, b] эта функция непрерывна, т.к. непрерывна на нем, по предположению, f(x). Но F(a)=f(a)-C=A-C<0 и F(b)=f(b)-C=B-C>0. Следовательно, по теореме 2, функция F(x) становится нулем при некотором  . Поэтому то есть  . Это и надо было доказать. Геометрическое содержание этой теоремы такое: любая прямая у=С, параллельная оси Ох, пересечет график функции f(x) по крайней мере в одной точке, если только С содержится между A=f(a) и B=f(b). На рис. 51 имеем три такие точки  Теорему 3 часто формулируют так: непрерывная функция, переходя от одной стоимости к другой, приобретает все промежуточные стоимости. Разрывная функция не имеет такого свойства. Между стоимостями А1 и В2 (рис. 50) нет стоимостей функции (она их приобретает), изображенной на этом рисунке. Теорему 2 можно применить к приближенному вычислению корней уравнения. Стоимость х= х0, при которой функция f(x) становится нулем, называется корнем функции или корнем уравнения f(x)=0. ^ Исследования функций с помощью производных основываются на некоторых основных теоремах дифференциального исчисления. ^ . Пусть функция  непрерывная на отрезке  , дифференцированная на интервале  и  . Тогда существует, по крайней мере, одна точка  такая, что  .Доказательство. По теореме Вейерштрасса непрерывная на функция приобретает на нем наибольшее значение М и наименьшее значение m.Если  , то - постоянная для всех  и за точку можно взять любую точку интервала .Если  , то по крайней мере одно из значений m или М достигается во внутренней точке с отрезку , то есть в точке, которая принадлежит интервалу . Пусть, например, в точке с функция приобретает наименьшее значение. Докажем, что  . Действительно, для довольно малых  точка  , причем Поэтому при   и  ,а при   і. Поскольку функция дифференцирована в точке с, то  . Теорема доказана.Геометрически теорема Ролля означает, что среди всех касательных к графику функции  найдется по крайней мере одна, параллельная оси Оx.В точке с функция приобретает наименьшее значение (рис. 52).^ . Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцированная на интервале (a; b). Тогда существует, по крайней мере, одна точка такая, что .Доказательство. Рассмотрим на вспомогательную функцию .Очевидно,  удовлетворяет все требования теоремы Ролля. Она непрерывная на как разность двух непрерывных на функций и  ; дифференцированная на , причем  и  .Следовательно, по теоремой Ролля существует, по крайней мере, одна точка  такая, что  , то есть .Откуда , что и нужно было доказать.Геометрически теорема Лагранжа означает, что среди всех касательных к графику функций найдется, по крайней мере, одна, параллельная секущей АВ, которая соединяет точки  и  . Действительно (рис. 53), отношение  есть угловым коэффициентом секущей АВ, а  - угловым коэффициентом касательной к графику, проведенной в точке  . Эти коэффициенты равны, следовательно, касательная и секущая АВ действительно параллельны.Замечание 1. Теорема Ролля есть частным случаем теоремы Лагранжа, если .Замечание 2. Равенство  называется формулой Лагранжа. Ее можно записать и немного иначе. Очевидно, что  где  . Так вот,  , где .Положим  , будем иметь также ,где .Следствие. Пусть функция дифференцирована на промежутке Х і при любом  , тогда на Х - постоянная. Действительно, пусть  - фиксированная точка Х, а x - его произвольная точка. По теореме Лагранжа  , где с - некоторая точка, которая находится между и х. Поскольку  при любом , то , а потому  при всех .Теорема Коши. Пусть функции  и  непрерывные на отрезке [a;b] и дифференцированные на интервале (a;b), причем  во всех точках  . Тогда существует, по крайней мере, одна точка  такая, что .Доказательство. Сначала отметим, что  , поскольку в противоположном случае  , согласно с теоремой Ролля для функции найдется по крайней мере одна точка такая, что  . А это противоречит тому, что  во всех точках (a;b). Дальше рассмотрим на [a;b] вспомогательную функцию .Очевидно,  удовлетворяет все требования теоремы Ролля. Она непрерывная на [a;b] как разность двух непрерывных на [a;b] функций и  ; дифференцированная на (a;b), причем и.  Следовательно, по теореме Ролля существует, по крайней мере, одна точка такая, что  , то есть .Откуда, поскольку , получим формулу Коши, ,что и нужно доказать. Замечание. Теорема Лагранжа есть частным случаем теоремы Коши, если  .^ При исследовании функций часто возникает необходимость находить границы дроби  , числитель и знаменатель которой при  следуют к нулю или к бесконечности. Нахождение таких границ называют раскрытием неопределенностей. Наиболее простыми и эффективными методами раскрытия неопределенностей являются правила Лопиталя.Теорема 1. (первое правило Лопиталя). Пусть функции и  дифференцированные на интервале (a;b);  и  на (a;b). Тогда, если существует (конечная или бесконечная) граница ,то граница  также существует и  .Доказательство. Пусть  и  . Доопределим функции и в точке а, предположив  . Тогда они, очевидно, станут непрерывными на отрезке  и будут удовлетворять на нем все требования теоремы Коши предыдущего параграфа. А потому найдется такая точка  , которая .Если  , то и  . Переходя к границе в последнем равенстве, имеем ,что и нужно доказать. Замечание 1. Теорема 1 доказана для правых границ. Она остается верной и для левых, и к границе вообще. Замечание 2. Утверждение теоремы 1 остается в силе, если  . Действительно, возьмем, например,  . Предположим,  и пусть  , тогда .При раскрытии неопределенностей другого типа действует теорема, которая приводится без доказательства. Теорема 2. (второе правило Лопиталя). Пусть функции и дифференцированные на интервале (a;b);  и на (a;b). Тогда, если существует (бесконечная или конечная) граница , то граница также существует и .Замечания, представленные к теореме 1, остаются в силе и для теоремы 2. Случается, что для производных и  выполняются условия одной из теорем, тогда правила Лопиталя можно применять повторно: .Вообще, при выполнении соответствующих условий эту процедуру можно применять несколько раз. Теорема 1 и 2 применяются к случаям, когда обе функции и при следуют одновременно к нулю или к бесконечности.Соответственно, нахождение  называют раскрытием неопределенностей типа  или  .С помощью тождественных преобразований к основным случаям или можно свести и неопределенности других типов:  .Неопределенность  , то есть произведение  , где  , сводится к виду или по формулам или  .Неопределенность  сводится к виду с помощью преобразования .Неопределенности  имеют место при рассмотрении функций  , если функция следует соответственно 0,1 и  , а - соответственно 0,1 и 0, когда . Как правило, используется равенство и дело сводится к раскрытию неопределенности вида в показателеПример 1. Найти следующие границы: а)  ;б)  ;в)  .∆ а) Числитель и знаменатель следуют к нулю, если  , а потому имеем неопределенность типа . Используем правило Лопиталя, то есть рассмотрим границу отношения производных заданных функций: ,поскольку  и  , если .б) Неопределенность типа . Применяя дважды формулу Лопиталя, получим: .На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться тождественными преобразованиями, которые упрощают отношения, а также комбинируют это правило с любыми другими приемами вычисления границ. в)  .Освободим знаменатель дроби от множителя  , поскольку он имеет границу 1 при . Разложим числитель, как разность кубов и освободим числитель от множителя  , который имеет границу 3 при . После таких упрощений получим .Используя первую важную границу, получим конечный ответ  , уже без правила Лопиталя. ▲Пример 2. Найти границы а)  ;б)  ;в)  ;г)  ;д)  .∆ а) Здесь мы имеем неопределенность типа . Представим произведение в виде частного, а потом, получив неопределенность типа ,применим правило Лопиталя: .б) Это неопределенность типа . Для того, чтобы найти границу функции, приведем дроби к общему знаменателю, а потом, получив неопределенность типа , применим правило Лопиталя: .в) Это неопределенность типа  . Обозначим данную функцию через y , то есть  , и прологарифмируем ее: .Вычислим границу логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность типа ): .Следовательно,  .г) Это неопределенность типа  . Положим,  , и прологарифмируем:  ;Применив правило Лопиталя, получим:  .Освободим знаменатель от множителя  , поскольку он следует к 1, если  ; .То есть  .д) Это неопределенность типа  . Введем обозначения .Тогда  является неопределенностью типа  . Преобразуем выражение  до вида .Согласно правила Лопиталя, получим:  .Следовательно,  . ▲^ 4.1. Условия монотонности функций Определение 1. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х, если для любых  выполнено неравенство  (соответственно  ).Теорема 1 (достаточные условия монотонности). Если функция дифференцирована на промежутке Х и  на Х, то функция возрастающая (убывающая) на этом промежутке.Доказательство. Пусть для конкретности  на Х і  - любые точки с Х, причем  . По формуле Лагранжа  , где  .Поскольку  и  , то  или , то есть функция возрастает на Х.Случай, когда  на Х, исследуется аналогично.^ Определение 2. Точка называется точкой строгого локального минимума (максимума) функции , если при всех  с некоторого  -окружения точки выполняется неравенство  .Аналогично, если в некотором -окружении точки выполняется неравенство ,то точка называется точкой локального минимума (максимума). Часто для сокращения слово локальный не употребляют.Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума, а значение функции в этих точках - ее экстремумами. ^ Если точка есть точкой экстремума функции и в этой точке функция дифференцирована, то  .Доказательство. Пусть для конкретности - точка максимума, тогда при довольно малых  и  , а, следовательно, Поскольку же функция дифференцирована в точке , то .Случай, когда - точка минимума, исследуется аналогично.Теорема 2 имеет простое геометрическое содержание: касательная к графику дифференцированной функции в соответствующей точке параллельна оси Ох. Замечание 1. Если  , то отсюда еще не следует, что - точка экстремума. Например, для функции  производная  и  . Тем не менее  , очевидно, не является точкой экстремума.Замечание 2. Точка , в которой функция недифференцированная, также может быть точкой экстремума. Например, функция  не имеет производной в точке , но эта точка является для нее точкой минимума.Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными. Стационарные точки, а также точки, где функция определена, но ее производная не существует, называются критическими. Именно среди них следует искать точки экстремума. ^ Пусть функция непрерывная в некотором -окружении точки :  , дифференцированная в нем, кроме, возможно, самой точки . Тогда, если  при  и при  , то точка является точкой строгого минимума (максимума).Коротко эту теорему формулируют таким образом: если в точке производная изменяет знак с минуса на плюс (с плюса на минус), то - точка строгого минимума (максимума)Доказательство. Пусть для конкретности при и при .Сначала рассмотрим  . Применим формулу Лагранжа к функции на отрезке  . Имеем ,где  . Поскольку  и , то или  при .Если же  , то, применяя формулу Лагранжа к функции на отрезке  , будем иметь ,где  . Поскольку  и  , то или при .Таким образом, для любого из - окружения точки  , а это и означает, что точка является точкой строгого минимума.Случай изменения знака производной с плюса на минус исследуется аналогично. Замечание. Если имеет одинаковые знаки на интервалах  и  , то не является точкой строгого экстремума. |
Схожі:
 | Применение производных к исследованию функций § 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке В этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем... | | Дифференцированность элементарных функций В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные... |
| Дифференцированность элементарных функций В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные... | | §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции |
| §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции | | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени |
| Функций Функция psigmf представляет собой произведение двух сигмоидных функций принадлежности | | Практическая работа № Тема: Построение графиков в системе Цель: Закрепить знания по применению MathCad для построения графиков функций, научиться находить экстремумы функций |
| Тема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех... | | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций |