Скачати 154.67 Kb.
|
ГЛАВА 7: Применение производных к исследованию функций§ 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежуткеВ этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем изложении при доказательстве теорем будем опираться на эти теоремы как на очевидные факты. Теорема 1. (Про наибольшую и наименьшую стоимость функции). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она приобретает на этом промежутке по крайней мере один раз свою наибольшую и свою наименьшую стоимость. Строгое доказательство этой теоремы (как и следующей) основывается на теории действительных чисел. Мы ограничимся объяснением ее содержания, использовав при этом геометрическое изображение функций. Теорема гласит, что когда функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b], то существует на нем по крайней мере одна такая точка х1 (рис. 47), что для всех стоимостей х из промежутка a≤ x≤ b будет выполняться неравенство f(x)≤ f(x1). Стоимость f(x1) называется наибольшей стоимостью функции f(x) на промежутке [a, b] и обозначается буквой М f(x1)=М При тех же условиях теорема гласит о существовании, по крайней мере, одной точки x2 на промежутке [a, b], что для всех стоимостей х из рассмотренного промежутка будет выполняться неравенство f(x1)≤f(x). Стоимость f(x2) называется наименьшей стоимостью функции f(x2) на промежутке [a, b] и обозначается буквой m. Может показаться, что утверждение теоремы совсем очевидное и тривиальное. Но достаточно взять открытый промежуток (a, b) - и мы убедимся, что теорема становится неверной. Рассмотрим, например, непрерывную функцию f(x)= х2 (рис. 48) на открытом промежутке (-2, 2). Она приобретает наименьшую стоимость нуль в точке х=0, но нельзя указать такую точку, для которой функция имеет наибольшую стоимость. Действительно, какую бы не взяли мы точку х1 левее правого конца х=2 (или по правую сторону левого конца х=-2), всегда найдется другая точка, например, х2= ![]() Если взять, например, функцию у=х, что есть непрерывной в любом открытом промежутке, то нетрудно убедиться, что она не достигает в нем ни наибольшей, ни наименьшей стоимости. Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет на его концах противоположные знаки, то есть f(a)∙ f(b)<0, то она, по крайней мере, один раз становится нулем внутри этого промежутка. Предположим, что f(x) непрерывная функция на промежутке [a, b] и что f(а)>0, а f(b)<0 (рис. 49) Теорема гласит, что существует по крайней мере одна точка ![]() ![]() Теорема 3. (о промежуточных стоимостях функции). Если функция f(x) непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и имеет на его концах неравные между собой стоимости f(а)=А и f(b)=B, то внутри промежутка она приобретает по крайней мере один раз любую стоимость С, содержащуюся между А и В. Доказательство. Пусть A Введем вспомогательную функцию ![]() На промежутке [a, b] эта функция непрерывна, т.к. непрерывна на нем, по предположению, f(x). Но F(a)=f(a)-C=A-C<0 и F(b)=f(b)-C=B-C>0. Следовательно, по теореме 2, функция F(x) становится нулем при некотором ![]() ![]() то есть ![]() Геометрическое содержание этой теоремы такое: любая прямая у=С, параллельная оси Ох, пересечет график функции f(x) по крайней мере в одной точке, если только С содержится между A=f(a) и B=f(b). На рис. 51 имеем три такие точки ![]() Теорему 3 часто формулируют так: непрерывная функция, переходя от одной стоимости к другой, приобретает все промежуточные стоимости. Разрывная функция не имеет такого свойства. Между стоимостями А1 и В2 (рис. 50) нет стоимостей функции (она их приобретает), изображенной на этом рисунке. Теорему 2 можно применить к приближенному вычислению корней уравнения. Стоимость х= х0, при которой функция f(x) становится нулем, называется корнем функции или корнем уравнения f(x)=0. ^ Исследования функций с помощью производных основываются на некоторых основных теоремах дифференциального исчисления. ^ . Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. По теореме Вейерштрасса непрерывная на ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поэтому при ![]() ![]() ![]() а при ![]() ![]() ![]() Поскольку функция ![]() ![]() Геометрически теорема Ролля означает, что среди всех касательных к графику функции ![]() В точке с функция ![]() ^ . Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Рассмотрим на ![]() ![]() Очевидно, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, по теоремой Ролля существует, по крайней мере, одна точка ![]() ![]() ![]() Откуда ![]() Геометрически теорема Лагранжа означает, что среди всех касательных к графику функций ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание 1. Теорема Ролля есть частным случаем теоремы Лагранжа, если ![]() Замечание 2. Равенство ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Положим ![]() ![]() где ![]() Следствие. Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема Коши. Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. Сначала отметим, что ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, ![]() ![]() ![]() ![]() и. ![]() Следовательно, по теореме Ролля существует, по крайней мере, одна точка ![]() ![]() ![]() Откуда, поскольку ![]() ![]() ![]() что и нужно доказать. Замечание. Теорема Лагранжа есть частным случаем теоремы Коши, если ![]() ^ При исследовании функций часто возникает необходимость находить границы дроби ![]() ![]() Теорема 1. (первое правило Лопиталя). Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() то граница ![]() ![]() Доказательство. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() что и нужно доказать. Замечание 1. Теорема 1 доказана для правых границ. Она остается верной и для левых, и к границе вообще. Замечание 2. Утверждение теоремы 1 остается в силе, если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При раскрытии неопределенностей другого типа действует теорема, которая приводится без доказательства. Теорема 2. (второе правило Лопиталя). Пусть функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечания, представленные к теореме 1, остаются в силе и для теоремы 2. Случается, что для производных ![]() ![]() ![]() Вообще, при выполнении соответствующих условий эту процедуру можно применять несколько раз. Теорема 1 и 2 применяются к случаям, когда обе функции ![]() ![]() ![]() Соответственно, нахождение ![]() ![]() ![]() С помощью тождественных преобразований к основным случаям ![]() ![]() ![]() Неопределенность ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Неопределенность ![]() ![]() ![]() Неопределенности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и дело сводится к раскрытию неопределенности вида ![]() Пример 1. Найти следующие границы: а) ![]() б) ![]() в) ![]() ∆ а) Числитель и знаменатель следуют к нулю, если ![]() ![]() ![]() поскольку ![]() ![]() ![]() б) Неопределенность типа ![]() ![]() На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться тождественными преобразованиями, которые упрощают отношения, а также комбинируют это правило с любыми другими приемами вычисления границ. в) ![]() Освободим знаменатель дроби от множителя ![]() ![]() ![]() и освободим числитель от множителя ![]() ![]() ![]() Используя первую важную границу, получим конечный ответ ![]() Пример 2. Найти границы а) ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() д) ![]() ∆ а) Здесь мы имеем неопределенность типа ![]() ![]() ![]() б) Это неопределенность типа ![]() ![]() ![]() в) Это неопределенность типа ![]() ![]() ![]() Вычислим границу логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (здесь имеем неопределенность типа ![]() ![]() Следовательно, ![]() г) Это неопределенность типа ![]() ![]() ![]() Применив правило Лопиталя, получим: ![]() Освободим знаменатель от множителя ![]() ![]() ![]() То есть ![]() д) Это неопределенность типа ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() Согласно правила Лопиталя, получим: ![]() Следовательно, ![]() ^ 4.1. Условия монотонности функций Определение 1. Функция ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема 1 (достаточные условия монотонности). Если функция ![]() ![]() ![]() Доказательство. Пусть для конкретности ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Случай, когда ![]() ^ Определение 2. Точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Аналогично, если в некотором ![]() ![]() ![]() то точка ![]() Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума, а значение функции в этих точках - ее экстремумами. ^ Если точка ![]() ![]() ![]() Доказательство. Пусть для конкретности ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку же функция ![]() ![]() ![]() Случай, когда ![]() Теорема 2 имеет простое геометрическое содержание: касательная к графику дифференцированной функции в соответствующей точке параллельна оси Ох. Замечание 1. Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Замечание 2. Точка ![]() ![]() ![]() ![]() Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными. Стационарные точки, а также точки, где функция определена, но ее производная не существует, называются критическими. Именно среди них следует искать точки экстремума. ^ Пусть функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Коротко эту теорему формулируют таким образом: если в точке ![]() ![]() Доказательство. Пусть для конкретности ![]() ![]() ![]() ![]() Сначала рассмотрим ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если же ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, для любого ![]() ![]() ![]() ![]() Случай изменения знака производной с плюса на минус исследуется аналогично. Замечание. Если ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | Применение производных к исследованию функций § 1 Общие свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке В этом параграфе приводим без доказательства две теоремы, которые выражают важные свойства, присущие непрерывным функциям. В дальнейшем... | ![]() | Дифференцированность элементарных функций В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные... |
![]() | Дифференцированность элементарных функций В предыдущем параграфе рассмотрены правила вычисления производных для функций одной переменной. Они разрешают находить производные... | ![]() | §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции |
![]() | §4 Применение функций в экономике Спектр использования функций в экономике довольно широкий. Наиболее часто используются в экономике такие функции | ![]() | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных финансовых и текстовых функций, функций даты и времени |
![]() | Функций Функция psigmf представляет собой произведение двух сигмоидных функций принадлежности | ![]() | Практическая работа № Тема: Построение графиков в системе Цель: Закрепить знания по применению MathCad для построения графиков функций, научиться находить экстремумы функций |
![]() | Тема Природа и состав функций менеджмента Понятие и классификация функций управления В целом область деятельности, называемая менеджментом фирмы, может быть разделена на отдельные функции, которые сосредоточены в трех... | ![]() | Практическая работа № Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций. Цель: Научиться выполнять вычисления с использованием функций Тема: ms excel. Использование основных математических, статистических и логических функций |