Скачати 41.87 Kb.
|
Зміст М. Зі збільшенням номера n |
|
§2 Основні властивості збіжних послідовностейТеорема 1. Збіжна послідовність обмежена. Доведення. Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Припустимо ![]() ![]() ![]() ![]() На практиці при знаходженні границь числових послідовностей часто використовується наступна теорема про арифметичні дії над границями. Теорема 2. Нехай послідовності ![]() ![]() ![]() ![]() ( ![]() ![]() ![]() 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() 4) ![]() Доведення. 1) Оскільки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() де ![]() ![]() Додаючи ці рівності, отримаємо. ![]() За лемою 1(§1) ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Як і в попередньому пункті, ![]() ![]() За лемами 1-3 (§1) і наслідками до них ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Наслідок. Якщо послідовність ![]() ![]() ![]() ![]() Властивість (4) рекомендуємо довести самостійно. Теорема 3. (про три послідовності). Нехай задані послідовності ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тоді, якщо послідовності ![]() ![]() ![]() ![]() Доведення. Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() Але тоді з умов теореми виконуються нерівності ![]() при всіх ![]() ![]() при всіх ![]() ![]() що й потрібно довести. Теорема 4. (про перехід до границі у нерівностях). Нехай задані збіжні послідовності ![]() ![]() ![]() ![]() Доведення. Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Нехай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() отже, при ![]() ![]() ![]() Зауважимо, що у випадку виконання для членів збіжних послідовностей ![]() ![]() ![]() Так само, як вище, лише ![]() Наприклад, ![]() ![]() ![]() ![]() Змінна ![]() ![]() ![]() Якщо ж ![]() називається неспадною. Змінна ![]() ![]() ![]() коли ж ![]() то змінна ![]() Всі ці чотири типи змінних, для яких характерним є змінювання в одному напрямку при зростанні ![]() Теорема 5. Будь-яка монотонна обмежена змінна має границю. Дамо геометричне пояснення цієї теореми, строге доведення виходить за межі цієї книги. Нехай маємо, наприклад, неспадну обмежену послідовність ![]() причому ![]() ![]() Приклад 3. Послідовність x1 =0,7, x2 =0,77, x3 =0,777, . . . , xn =0,77… (n раз) …7 є монотонно зростаючою, бо ![]() ![]() яке б не було ![]() ![]() Приклад4. Послідовність x1 =2, x2 =3/2, x3 =4/3, . . . , xn = ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() | §2 Основні властивості збіжних послідовностей Доведення. Нехай. Припускаючи в означенні 2 (§1), знайдемо такий номер, що при всіх виконується нерівність. Звідки при вказаних | ![]() | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... |
![]() | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... | ![]() | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... |
![]() | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... | ![]() | Програма фахового іспиту для вступників на освітньо-кваліфікаційний рівень " Магістр" (повна форма навчання) напрям підготовки 040201 Математика спеціальність 04020102 «Актуарна та фінансова математика» Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про збіжність монотонної послідовності та принцип вкладених... |
![]() | Перелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Прикладна математика» Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі... | ![]() | Перелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Соціальна інформатика» Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі... |
![]() | Програма фахового іспиту Збіжні послідовності та їх властивості. Критерій збіжності. Збіжність монотонних послідовностей | ![]() | Аналіз якості генерування випадкових послідовностей в пакеті rgui Пакет rgui містить стандартні функції для генерування псевдовипадкових послідовностей, що підпорядковуються багатьом законам розподілу.... |