§2 Основні властивості збіжних послідовностей
Скачати 41.87 Kb.
|
Зміст М. Зі збільшенням номера n |
|
§2 Основні властивості збіжних послідовностейТеорема 1. Збіжна послідовність обмежена. Доведення. Нехай  . Припускаючи в означенні 2 (§1)  , знайдемо такий номер , що при всіх  виконується нерівність  . Звідки при вказаних  . Припустимо  . Тоді, очевидно, що  при всіх  , тобто збіжна послідовність  дійсно обмежена.На практиці при знаходженні границь числових послідовностей часто використовується наступна теорема про арифметичні дії над границями. Теорема 2. Нехай послідовності і  – збіжні, при цьому  . Тоді збіжні й послідовні  (  - стала),  (остання при  ), причому:1)  2)  3)  4)  Доведення. 1) Оскільки  і  – границі послідовностейі, то за теоремою 2 (§1) маємо де  і  - нескінченно малі.Додаючи ці рівності, отримаємо.  За лемою 1(§1)  –нескінченно мала, а тому за теоремою 2(§1) послідовність  збігається до , так що існує  2) Як і в попередньому пункті,  . Далі маємо За лемами 1-3 (§1) і наслідками до них  - нескінченно мала, а тому за теоремою 2 (§1) послідовність збігається до  , так що існує 3) Наслідок. Якщо послідовність – збіжна, причому  і – стала, то збіжна й послідовність, причому  тобто сталий множник можна виносити за знак границі.Властивість (4) рекомендуємо довести самостійно. Теорема 3. (про три послідовності). Нехай задані послідовності ,   при цьому для всіх виконуються нерівності  Тоді, якщо послідовності  і збіжні до однієї і тієї ж границі, то і послідовність також збіжна, причому Доведення. Нехай  . Тоді для довільного  можна знайти такі номери  і  , що  при всіх  при всіх. .Нехай  . Тоді при виконані одночасно обидві нерівності і, зокрема, при вказаних . Але тоді з умов теореми виконуються нерівності  при всіх , тобто  при всіх , а, отже, ,що й потрібно довести. Теорема 4. (про перехід до границі у нерівностях). Нехай задані збіжні послідовності  , при цьому для всіх виконуються нерівності  . Тоді і  Доведення. Нехай  . Припустимо супротивне:  . Припустимо,  , тоді можна знайти такі номери і , що  при всіх при всіх .Нехай  . Тоді при виконані обидві нерівності і, зокрема, при вказаних   ,отже, при маємо  , тобто  . Одержана суперечність доводить теорему.Зауважимо, що у випадку виконання для членів збіжних послідовностей  при всіх строгої нерівності  , після переходу до границі строга нерівність, взагалі кажучи, не зберігається.Так само, як вище, лише  Наприклад,  . При всіх , очевидно, , але Змінна  , чи послідовність  називається зростаючою, якщо Якщо ж  називається неспадною. Змінна , чи послідовність  називається спадною, якщо  коли ж  ,то змінна називається незростаючою.Всі ці чотири типи змінних, для яких характерним є змінювання в одному напрямку при зростанні , називають монотонними.Теорема 5. Будь-яка монотонна обмежена змінна має границю. Дамо геометричне пояснення цієї теореми, строге доведення виходить за межі цієї книги. Нехай маємо, наприклад, неспадну обмежену послідовність ,причому  для всіх . Візьмемо числову ось і нанесемо на неї члени даної послідовності та число ^ . Зі збільшенням номера n точка, що зображує відповідний член послідовності xn, буде пересуватися тільки вправо, але вона не може опинитися правіше точки М, бо послідовність обмежена. Ознака й твердить, що послідовність має границю (яка не перевищує М). Подібним чином можна пояснити й інші випадки монотонних змінних (спадної, незростаючої).Приклад 3. Послідовність x1 =0,7, x2 =0,77, x3 =0,777, . . . , xn =0,77… (n раз) …7 є монотонно зростаючою, бо  . Крім того, очевидно, що вона обмежена, тому що кожний її член більший за нуль, але менший за 7/9. ,яке б не було . Отже, послідовність має границю: її легко знайти Приклад4. Послідовність x1 =2, x2 =3/2, x3 =4/3, . . . , xn =  , … монотонно спадна, бо  , і обмежена ( для будь-якого n). Отже, вона має границю. Просте обчислення дає |
Схожі:
 | §2 Основні властивості збіжних послідовностей Доведення. Нехай. Припускаючи в означенні 2 (§1), знайдемо такий номер, що при всіх виконується нерівність. Звідки при вказаних | | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... |
| Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... | | Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... |
| Міністерство освіти І науки, молоді та спорту України Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей: єдиність границі, обмеженість збіжної послідовності, теорема... | | Програма фахового іспиту для вступників на освітньо-кваліфікаційний рівень " Магістр" (повна форма навчання) напрям підготовки 040201 Математика спеціальність 04020102 «Актуарна та фінансова математика» Границя числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про збіжність монотонної послідовності та принцип вкладених... |
| Перелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Прикладна математика» Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі... | | Перелік дисциплін, які виносяться для вступу на освітньо-кваліфікаційний рівень магістра зі спеціальності «Соціальна інформатика» Поняття числової послідовності та границі числової послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Теорема про існування границі... |
| Програма фахового іспиту Збіжні послідовності та їх властивості. Критерій збіжності. Збіжність монотонних послідовностей | | Аналіз якості генерування випадкових послідовностей в пакеті rgui Пакет rgui містить стандартні функції для генерування псевдовипадкових послідовностей, що підпорядковуються багатьом законам розподілу.... |