Контрольні запитання І завдання вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії
Скачати 77.35 Kb.
|
|
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ВИЩА МАТЕМАТИКА т.1. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ І АНАЛІТИЧНОЇ ГЕОМЕТРІЇ Глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня. §1 -§4 1. Що називається матрицею? Які частинні випадки матриць ви знаєте? 2. Сформулюйте, що називається визначником 2-го, 3-го та n-го порядку. 3. Сформулюйте властивості визначників. 4. Що називається мінором та алгебраїчним доповненням елементу визначника? Наведіть приклад. 5. Що означає розкласти визначник по елементах стовпця (рядка)? 6. Сформулюйте теорему про розклад визначника n-го порядку за елементами будь-якого рядка або стовпця. 7. Чому дорівнює визначник, у якого стовпець або рядок складається із нулів? 8. Як зміниться визначник при транспонуванні, і чому? 9. Чому дорівнює визначник, якщо поміняти місцями два стовпці? §5 1. Запишіть правило Крамера. 2. В якому випадку правило Крамера застосовується? За якої умови система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв`язок? 3. Що можна сказати про систему рівнянь, якщо її визначник дорівнює нулю? 4. При якій умові однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими має ненульовий розв`язок? 5. В чому полягає метод Гаусса розв`язування систем лінійних рівнянь? §6 1. Що називається рангом матриці? 2. Що називається розв`язком системи лінійних рівнянь? 3. Які системи називаються сумісними (визначеними, невизначеними), несумісними? 4. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі. 5. Як змінюється ранг матриці при лінійних операціях з її рядками? 6. Які ви знаєте способи знаходження рангу матриці? §7 1. Як визначаються лінійні операції над матрицями та які їх властивості? Наведіть приклади. 2. Що називається добутком двох матриць? 3. Які умови накладаються на розмірності матриць при відповідних операціях над ними? 4. Що таке одинична матриця? 5. Які властивості має операція множення матриць? 6. Чи можливо перемножити матрицю з розмірами 2х3 на матрицю з такими ж розмірами? §8 1. Дайте визначення оберненої матриці. 2. Як можна відшукати обернену матрицю? 3. Які існують способи знаходження оберненої матриці? 4. Запишіть систему лінійних рівнянь у матричному вигляді. 5. Наведіть приклади застосування оберненої матриці. Глава ІІ. Векторна алгебра §1-§3
§4-§8
Глава ІІІ. Аналітична геометрія §1-§2 1. Довести, що рівняння площини завжди виражається рівнянням першого степеня, і, навпаки, всяке рівняння першого степеня є рівнянням площини. 2. Який вид має загальне рівняння площини? Який зв`язок існує між нормальним вектором  до площини та коефіцієнтами загального рівняння площини.3. Запишіть рівняння площини у векторній та координатній формі. 4. Як визначається гострий кут між двома площинами, що перетинаються? Запишіть умови паралельності та перпендикулярності площин. 5. Запишіть рівняння площини, що проходить через три задані точки. 6. Який вигляд має канонічне рівняння прямої, що проходить через задану точку А(x0,y0,z0) і паралельна направленому вектору  {l,m,n}? 7. Запишіть параметричні рівняння прямої. Який зв`язок їх з канонічним рівнянням. 8. Як записується рівняння прямої, що проходить через дві задані точки? 9. Як визначається кут між двома прямими, що задані канонічними рівняннями? Запишіть умови паралельності та перпендикулярності цих прямих. 10. Як визначити кут між прямою та площиною? Запишіть умову паралельності і перпендикулярності прямої та площини. 11. Як визначити координати точки перетину прямої та площини? 12. Запишіть умову належності двох прямих площині. 13. Виведіть загальне рівняння прямої на площині. 14. Виведіть рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Який геометричний зміст параметрів k і b? 15. Сформулюйте умови паралельності і перпендикулярності двох прямих на площині. 16. Дослідити загальне рівняння прямої Ax+By+C=0 при А=0, при В=0, при С=0. 17. Записати рівняння прямої, що проходить через точку М0(х0,у0) і має кутовий коефіцієнт k. 18. Як виражаються рівняння прямих, паралельних осям 0х і 0у, а також рівняння самих цих осей? 19. Як привести рівняння з кутовим коефіцієнтом до загального рівняння прямої на площині? 20. Як можна знайти точку перетину двох прямих? 21. Як записати рівняння прямої у векторній формулі? §3 1. Яка множина на площині називається колом? Запишіть рівняння кола з центром у точці С(a;b) і радіусом R. 2. Дайте визначення еліпса і запишіть канонічне рівняння еліпса. 3. Побудуйте криву еліпса і поясніть геометричний зміст параметрів, що входять до рівняння. 4. Що таке ексцентриситет еліпса та який його геометричний зміст? 5. Дайте визначення гіперболи та виведіть її канонічне рівняння. 6. Дослідіть форму гіперболи по її канонічному рівнянню. Поясніть геометричний зміст параметрів, що входять до рівняння. 7. Які гіперболи називаються рівносторонніми, спряженими? 8. Що таке ексцентриситет гіперболи та який його геометричний зміст? 9. Наведіть визначення параболи і виведіть її канонічне рівняння. 10. Дослідити форму параболи по її канонічному рівнянню. 11. Чому дорівнює ексцентриситет параболи? Який геометричний зміст параметру р в рівнянні параболи? §5 1. Які поверхні належать до поверхонь другого порядку? Як можна отримати поверхню другого порядку? 2. Дайте визначення циліндричної поверхні. Запишіть канонічне рівняння циліндрів другого порядку (кругового, еліптичного, гіперболічного, параболічного). 3. Запишіть канонічні рівняння поверхні обертання другого порядку (еліпсоїда, гіперболоїда - однопорожнинного та двопорожнинного, еліптичного та гіперболічного параболоїда). 4. Запишіть рівняння конуса другого порядку. 5. Яка множина точок простору називається сферою? Запишіть рівняння сфери з центром в точці С(a;b;c) і радіусом R. 6. Яка ідея дослідження форми наведених поверхонь другого порядку та їх побудови графічно. ^ |
РОЗДІЛ ІІ. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
побудувати графік функцій 
?
, 
, де а – гранична точка множини D(f).
в точці 
.
в точці 
?
.