2. 11. Способы реализации случайного механизма выбора стратегий

2.11. Способы реализации случайного механизма выбора стратегий

Для реализации применения игроком его активных стратегий с оптимальными вероятностями (относительными частотами), необходимо иметь случайный механизм выбора стратегий.

Например, если оптимальная смешанная стратегия (относительные частоты 1:1), то для ее реализации можно использовать подбрасывание монеты: если выдает “герб”, то применяется первая стратегия, а если “решка”, - то вторая.

Игральную кость можно использовать при относительных частотах 1:5; 2:4; 1:1; 4:2; и так далее до 5:1.

Секундная стрелка часов может служить для выбора случайных чисел от 0 до 59, если только игрок не смотрел на часы недавно и не знает наперед, даже приблизительно, ответ.

Но на практике могут потребоваться любые сочетания чисел в качестве относительных частот. Механизмом, удовлетворяющим вышеуказанному требованию, является датчик случайных чисел R от 0 до 1 с равномерной плотностью вероятности.

Так как стратегии А₁, А₂, ..., А_m несовместны (в каждый момент, применяется лишь одна из этих стратегий) и образуют полную группу событий , то для реализации случайного механизма выбора стратегий поступим следующим образом. Разделим интервал (0, 1) на m участков длиной p₁, p₂, ..., p_m (рис. 2). На какой из участков попало число R - ту стратегию и следует в данной партии использовать.




Рис. 2


Возникает вопрос: а как же реализуется сам датчик случайных чисел R? Самый простой из датчиков случайных чисел (ДСЧ) - это вращающийся барабан, в котором перемешивается перенумерованные шары. Пусть, например, нам надо разыграть случайное число R от 0 до 1 с точностью 0.001. Заложим в барабан 1000 перенумерованных шаров и после, случайным образом выбранного одного из шаров, разделим его номер на 1000.

Можно поступить и иначе: вместо1000 шаров заложить только 10, с цифрами 0, 1, 2, .... , 10. Вынув случайным образом первый шар, получаем первый десятичный знак дроби. Вернув шар в барабан и прокрутив его, выберем случайным образом второй шар - его номер даст второй десятичный знак и т.д.

Можно доказать, что получаемые таким образом десятичные дроби будет иметь равномерное распределение от 0 до 1. Достоинством этого способа в том, что он может обеспечить любую точность задания числа R.

На практике широко применяются таблицы случайных чисел. Ниже приведен пример такой таблицы

11	16	43	63	18		75	6	13	76	74		40	60	31	61	52
21	21	59	17	91		76	83	15	86	78		40	94	15	35	85
10	43	84	44	82		66	55	83	76	49		73	50	58	34	72
36	79	22	62	36		33	26	66	65	83		39	41	21	60	13
73	94	40	47	73		12	3	25	14	14		57	99	47	67	48
49	56	31	28	72		14	6	39	31	17		61	83	45	91	99
64	20	84	82	37		38	60	52	93	41		91	40	27	72	27
51	48	67	28	75		64	51	61	79	71		58	99	98	38	80
99	75	62	63	60		41	70	17	31	17		40	68	49	99	48
71	32	55	52	17		13	1	57	29	7		75	97	86	42	98
65	28	59	71	98		12	13	85	30	10		34	55	63	98	61
17	26	45	73	27		38	22	42	93	1		65	99	5	70	48
95	63	99	97	54		31	19	99	25	58		16	38	11	50	69
61	55	57	64	4		86	21	1	18	8		52	45	88	88	80
78	13	79	87	68		4	68	98	71	30		33	0	78	56	7
62	49	9	92	15		84	98	72	87	59		38	71	23	15	12
24	21	66	34	44		21	28	30	70	44		58	72	20	36	78
16	97	59	54	28		33	22	65	59	3		26	18	86	94	97
59	13	83	95	42		71	16	85	76	9		12	89	35	40	48
29	47	85	96	52		50	41	43	19	61		33	18	68	13	46

Числа сгруппированы попарно, лишь для удобства пользования таблицей. Можно начинать с любой точки таблицы, отсчитывать числа вверх или вниз, группировать числа.

Как использовать таблицу случайных чисел, чтобы получить желаемые относительные частоты? Возьмем в качестве примера оптимальную стратегию . Далее выбираем из таблицы любое однозначное случайное число. Если это число равно 0, 1, 2, 3 или 4, то используем в данной партии первую стратегию. Если число равно 5 и 6, то применяем вторую стратегию. Если это число равно 7, 8 и 9, то отбрасываем его и берем число под ним. Для следующей партии используется число ниже предыдущего.

Часто желательно модифицировать этот способ. Например, в случае относительных частот 8:3, сумма чисел равна 8+3=11. Приходится применять двухзначные числа от 00 до 99. Но чтобы не отбрасывать числа от 11 до 99, разделим 99 на 11, получаем 9 (в общем случае это будет смешанная дробь). Далее умножаем 89=72 и 39=27. Теперь, если выбранное двухзначное число лежит в пределах от 00 до 71, используем первую стратегию, а если от 72 до 99, - то вторую. Число 99 будем отбрасывать. Для получения R на ЭВМ применяются специальные датчики случайных чисел. Это могут быть как “физические датчики”, принцип действия которых основан на преобразовании случайных шумов, так и вычислительные алгоритмы, по которым сама машина вычисляет так называемые “псевдо случайные” числа. Один из самых простых алгоритмов вычисления псевдослучайных чисел состоит в следующем. Берут два произвольных n-значных числа a1 и a2 и перемножают их, и в полученном результате берут n средних знаков. Так получают число а3. Затем перемножают а2 и а3 и в полученном результате берут n средних чисел, получая число а4 и т.д. Полученные таким образом числа рассматриваются как последовательность двоичных дробей с n знаками после запятой. Такая последовательность дробей практически ведет себя как ряд случайных чисел R от 0 до 1.


Тесты

Верно (В) или неверно (Н)?

1. 
   Каждая матричная игра может быть представлена парой прямой и двойственной задач линейного программирования.
   
2. 
   Преимуществом приближенного метода Брауна-Робинсона является то, что объем вычислений с увеличением размерности игры m*n растет существенно медленнее, чем в методах линейного программирования.
   
3. 
   Теория игр не может дать результатов в тех случаях, когда элементы платежной матрицы заданы неточно (например, когда они только упорядочены).
   
4. 
   Случайные числа выдаваемые датчиком случайных чисел, используемые для реализации оптимальных стратегий, должны быть распределены по равномерному закону.
   

^ Ответы: 1 - В; 2 - В; 3 - Н; 4 - В.


Задачи

Решить следующие матричные игры, имеющие платежные матрицы вида:

1.	8	4	2		2.	-1	1	1		3.	1	2	-5	3
	2	8	4			2	-2	2			-1	4	7	2
	1	2	8			3	3	-3			5	-1	1	1
4.	0	-13	-1		5.	1	0	-1		6.	3	2	4
	13	0	-13			0	2	1			4	3	2
	1	13	0			1	-1	3			2	4	3
7.	3	6	0		8.	3	0	7		9.	203	403	103
	5	3	2			4	6	0			303	3	103
	2	1	6			3	4	3			3	103	303
10.	2	-11	1		11.	7	5	4		12.	16	0	14
	15	2	-11			1	3	7			6	6	16
	3	15	2			2	7	4			6	12	2
13.	0	1	1		14.	-1	1	0		15.	0	2	1
	1	0	1			0	-1	1			2	0	2
	1	1	0			1	0	-1			1	2	0

18.	1	6	2	5		19.	6	0	1	2		20.	4	3	3	2	2	6
	5	1	6	2			0	3	1	0			6	0	4	2	6	2
	2	5	1	6			2	0	3	1			0	7	3	6	2	2
21.	0	-13	-3			22.	9	6	12			23.	2	7	3	6
	13	0	-13				12	9	6				6	2	7	3
	1	13	0				6	12	9				3	6	2	7
24.	12	0	2	4		25.	6	-10	4			26.	104	304	4
	0	6	2	0			-4	-4	6				204	-96	4
	4	0	6	2			-4	2	-8				-96	4	204
27.	3	1	4	1	6		28.	2	3	1	4
	6	3	1	4	1			1	2	5	4
	1	6	3	1	4			2	3	4	1
	4	1	6	3	1			4	2	2	2
	1	4	1	6	3