Тема 4 фізичні процеси в колах змінного струму

Ідеальні елементи R, L, С (рис. 4.1,а, б, в) є пасивними, тому позитивні напрям­ки струмів і напруг у них збігаються. У джерелі живлення на рис. 4.1 збігаються по­зитивні напрямки струму й ЕРС. Позитивний напрямок напруги джерела протилеж­ний позитивному напрямку його ЕРС. При цих напрямках позитивні значення мит­тєвих потужностей приймача р = иі та джерела р = еі означають, що перший з них працює приймачем, а другий - джерелом. При негативних значеннях миттєвих поту­жностей перший перебуває в режимі джерела, а другий - в режимі приймача.

^ 4.2. Елементи схем заміщення із змінними струмами

1. 
   Резистивний елемент є пасивним елементом схеми заміщення, що характеризує наявність в елементі, який заміщують, необоротних процесів пе­ретворення електричної енергії на теплову. Параметром резистивного елемента є його активний опір R. В резистивному елементі розсіюється теплова енергія, що виділяється у провіднику.
   

Напруга и і струм і резистивного елемента зв'язані між собою рівнянням, складеним за законом Ома для миттєвих значень:

и = R і . (4.1)

Рівняння (4.1) вказує на досить важливу властивість резистивного елеме­нта: крива и повторює форму кривої струму, тобто криві напруги і струму рези- стивного елемента подібні.

Миттєва потужність резистивного елемента визначається за формулою

р = и і = R і² , (4.2)

вона не залежить від знака струму й завжди позитивна. Позитивний знак поту­жності вказує на те, що в резистивному елементі незалежно від напрямку стру­му енергія завжди надходить від джерела.

2. 
   Індуктивний елемент схем заміщення. Індуктивний елемент схе­ми заміщення реального кола із змінним струмом характеризує наявність змін­ного магнітного поля, створеного цим струмом.
   

У колах із змінним струмом люба зміна струму I в елементі кола відпові­дно до закону електромагнітної індукції супроводжується наведенням ЕРС е у цьому елементі. Це явище називають самоіндукцією, а наведені при цьому ЕРС - ЕРС самоіндукції.

Закон електромагнітної індукції (закон Фарадея) формулюють в такий спосіб: величина ЕРС е, наведена в замкнутому провіднику, пропорційна швид­кості зміни магнітного потоку Ф, що пронизує цей контур


Знак мінус, відповідно до закону Ленца [2.9], показує, що індуктований струм завжди прагне протидіяти зміні магнітного потоку контуру.


За законом електромагнітної індукції ЕРС самоіндукції визначається швидкістю зміни власного потокозчеплення:




де власне потокозчеплення індуктивного елемента ψ_L пропорційне величині струму і у ньому: ψ_L = L і.

Формула для ЕРС самоіндукції може бути записана в такому вигляді:


З (4.3) і (4.4) видно, що індуктивність L елемента кола можна розгляда­ти як коефіцієнт пропорційності між потокозчепленням ψ_L і струмом i, або

як коефіцієнт пропорційності між швидкістю зміни струму елемента кола di/dt і ЕРС самоіндукції е, наведеної в цьому елементі.

При дослідженні кіл з ЕРС самоіндукції умовилися позитивний напрямок ЕРС самоіндукції брати співпадаючим з позитивним напрямком струму, що на­водить цю ЕРС. Тому стрілка ЕРС е і стрілка струму і на схемі рис. 4.1,б мають однаковий напрямок. Відповідно до цього дійсний напрямок ЕРС збігається з напрямком, що позначений на схемі стрілкою при убуванні струму в колі, коли di/dt < 0, а е > 0; зростаючий у колі струм наводить ЕРС е, дійсний напрямок якої протилежний напрямку, позначеному стрілкою.

Для того, щоб у котушці індуктивності без втрат був змінний струм, між її виводами повинна бути напруга, яка дорівнює за абсолютною величиною і в кожний момент часу протилежна за напрямком ЕРС самоіндукції:




Основна одиниця виміру потокозчеплення й магнітного потоку в системі SІ - вебер (Вб), 1 Вб = 1 В·с; індуктивності - генрі (Гн), 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В·Л/с.

Розглянемо зміни струму в індуктивному елементі схеми на рис. 4.1,б. Якщо протягом якогось інтервалу часу миттєве значення струму є позитивним (і > 0) і визначається зростаючою ділянкою кривої (di/dt > 0), то напруга на ін­дуктивному елементі буде також позитивною (и > 0). Це означає, що у вказано­му інтервалі часу напрямок напруги и збігається з позитивним напрямком цієї напруги, позначеним на схемі стрілкою.

Миттєва потужність індуктивного елемента р = и·і буде позитивною (р > 0). Отже енергія в цей інтервал часу надходить від джерела до кола і пере­ходить в енергію магнітного поля L· і² /2.

Коли позитивний струм в котушці (і > 0) убуває dі/dt < 0) значення напруги й миттєвої потужності негативні (и < 0, р < 0). Енергія з магнітного поля повертається назад у джерело. Таким чином, у процесі зростання і убування струму в індуктив­ному елементі має місце обмін енергією між джерелом і магнітним полем.

4.2.3. Ємнісний елемент схем заміщення. Ємнісний елемент (конденса­тор) вводять до схеми заміщення реального кола із змінним струмом, коли хо­чуть врахувати вплив змінного електричного поля елементів кола.

Якщо між обкладками конденсатора прикладена змінна напруга и_с (рис.4.1,в), то на його обкладках накопичується заряд




де коефіцієнт пропорційності C називають ємністю конденсатора.

Напруга й струм ємнісного елемента зв'язані рівнянням




Якщо напруга и_с зростає, то струм позитивний (і > 0). Це означає, що в цей момент часу струм має напрямок, що збігається з умовним позитивним на­прямком напруги и_с (рис. 4.1,в). Заряд і енергія електричного поля W_е = =C и_с²/2 = q и_с/2 при цьому зростають. Енергія від джерела передається елект­ричному полю.

Коли напруга и_с убуває, убуває і заряд, a енергія з поля повертається на­зад у джерело. Отже в ємнісному елементі кола має місце обмін енергією між джерелом і електричним полем. Якщо заданий закон зміни струму в ємнісному елементі, то напруга на ньому може бути визначена з рівняння


При розгляді процесів у колах із змінними струмами постійну const у рів­нянні (4.8) звичайно вважають рівною нулю, тому що напруга и_с не має при цьому постійної складової (и_с = const = 0).

^ 4.3. Діючі й середні значення періодичних напруг і струмів

4.3.1. Діючі значення періодичних напруг і струмів. Для оцінки ефек­тивності дії періодичного струму використовують його теплову або електроди­намічну дію і порівнюють з аналогічною дією постійного струму за той самий інтервал часу, рівний одному періоду.

Значення періодичного струму, що дорівнює такому значенню постій­ного струму, яке протягом одного періоду робить той же тепловий або електродинамічний ефект, що й періодичний струм, називають діючим зна­ченням періодичного струму. Діючі значення струму, напруги й ЕРС познача­ють прописними буквами без індексів: I, U, E.

При оцінці періодичного струму і, користуючись тепловим ефектом, при­ймають, що постійний струм I і періодичний струм і того самого резистивного елемента з активним опором R виділяють однакову кількість тепла за час T, який дорівнює одному періоду




З цього рівняння одержують діюче значення струму:




яке дорівнює середньоквадратичному значенню періодичного струму.

Аналогічно діючі значення напруги й ЕРС є середньоквадратичними зна-

ченнями періодичних напруги й ЕРС:


^ 4.3.2. Середні значення періодичних напруг, струмів і потужності.

У загальному випадку під середнім значенням періодичних функцій розуміють їхні середні арифметичні значення за період.

Середнє значення потужності за період визначається рівнянням




Якщо позитивні й негативні напівхвилі кривої потужності не рівні, то се­реднє значення визначають різницею площ, що обмежені кривими напівхвиль і віссю абсцис.

Як правило, негативні напівхвилі періодичних струмів, напруг і ЕРС по­вторюють їхні позитивні напівхвилі. Тому під середніми значеннями періодич­них струмів напруг і ЕРС розуміють середні значення їхніх напівхвиль:




^ 4.4. Комплексна форма подання синусоїдальних напруг і струмів

При розрахунках електричних кіл з синусоїдальними ЕРС, напругами й струмами досить ефективним є комплексний метод аналізу. При зображенні обер­тових векторів синусоїдальних величин на комплексній площині вісь абсцис пло­щини декартових координат сполучають з віссю дійсних величин (вісь +1) компле­ксної площини. Тоді миттєві значення синусоїдальних величин одержують на осі уявних величин (вісь +j).

Для того, щоб подати синусоїдальну ЕРС




з початковою фазою ψ, проведемо на комплексній площині (рис. 4.2) з початку координат під кутом ψ до осі дійсних величин вектор, довжина якого в масшта­бі побудови дорівнює амплітуді ЕРС Е_m. Кінець цього вектора перебуває в точ­ці, якій відповідає певне комплексне число - комплексна амплітуда ЕРС:




При збільшенні в часі фази ЕРС ωt + ψ кут між вектором і віссю дійсних величин зростає, тобто виходить обертовий вектор




Як бачимо, уявна складова обер­тового вектора дорівнює заданій синусо­їдальній ЕРС.

Вектор на комплексній площині, довжина якого в масштабі побудови до­рівнює діючому значенню синусоїдаль­ної ЕРС, називається комплексним дію­чим значенням синусоїдальної ЕРС

Так само позначається і сам век­тор на комплексній площині (рис.4.2). Використовують три форми запису комплексного значення синусоїдаль­них ЕРС, струмів і потужностей. Розглянемо їх на прикладі синусоїдальної ЕРС.

Алгебраїчна форма запису , або в іншому позначенні




- дійсна й уявна


складові комплексного значення синусоїдальної ЕРС,




Алгебраїчна форма запису більш зручна при додаванні й відніманні ком­плексних

чисел.

Тригонометрична форма запису є похідною від алгебраїчної і зручна при пе­реході від показової до алгебраїчної форми запису. З урахуванням того, що cosψ

тригонометрична форма запису має вигляд ⁺ .


Показова форма запису є похідною від тригонометричної й має вигляд

.

Ця форма запису більш зручна при множенні, діленні, добу

ванні кореню комплексних чисел.


Перехід від показової форми запису синусоїдальних величин до тригоно­метричної виконують за допомогою формули Ейлера:




При аналізі кіл синусоїдального струму застосовують головним чином комплексні діючі значення синусоїдальних величин, скорочено їх називають комплексними значеннями, а відповідні вектори на комплексній площині - ве­кторами комплексних значень.

Користуючись векторною діаграмою, додавання і віднімання комплекс­них значень можна замінити додаванням і відніманням відповідних векторів. Це спрощує розрахунки і робить їх наочними.

Напрямок синусоїдальних величин у колі періодично змінюється, але один з двох напрямків приймають за позитивний. Цей напрямок вибирають до­вільно й показують стрілкою на схемі відповідної ділянки кола.

При обраному позитивному напрямку синусоїдальну величину представляють миттє­вим значенням (наприклад, для напруги е = Е_msin (ωt+ ψ)) і відповідним комплексним значенням

= рис. 4.3).

Отже взаємно однозначному поданню синусоїдальних струмів, напруг та інших вели­чин у вигляді миттєвих і комплексних значень


^ 4.5. Діючі й середні значення синусоїдальних напруг і струмів

Для встановлення діючого значення синусоїдального струму скористає­мося формулою (4.9), підставивши до неї замість миттєвих значень синусоїда­льного струму його вираз

Оскільки

діюче значення синусоїдального струму менше його амплітуди в разів:




Аналогічно знаходимо діючі значення синусоїдальної напруги й ЕРС:




Під середнім значенням синусоїдальних струмів розуміють їхні середні значення за напівперіод. Якщо струм і = І_m sіnωt ,то його середнє значення


Отже середнє значення синусоїдального струму становить 2/π його амп­літудного значення. Аналогічно знаходять середні значення синусоїдальної на­пруги й ЕРС: