Графічне інтегрування icon

Графічне інтегрування




Скачати 54.46 Kb.
НазваГрафічне інтегрування
Дата14.10.2012
Розмір54.46 Kb.
ТипДокументи

Графічне інтегрування


Наближене обчислення інтеграла методом графічного інтегрування застосовується тоді, коли підінтегральна функція задана графічно. Нехай на [a; b] задана неперервна крива, рівняння якої y=f(x). На підставі теореми про середнє значення для певного інтеграла існує така точка ξ [a; b], що . Геометрично це означає, що площа криволінійної трапеції чисельно дорівнює площі прямокутника з основою [a; b] і висотою f(ξ). Розглянемо криволінійну трапецію (рис. 1) і проведемо горизонтальну пряму приблизно так, щоб одержати необхідний прямокутник. Абсцисами точок перетину прямої і кривої будуть ті точки ξ, про які згадується в теоремі про середнє значення. Відкладемо на осі Ох ліворуч від початку координат одиничний відрізок ОР і продовжимо проведену горизонтальну пряму до перетину віссю ординат (якщо а<0, то краще спочатку ліворуч від а провести вертикальну пряму й при подальших діях замінити вісь Oy цією прямою). Нехай пряма перетне вісь Oy у точці Q, тоді OQ= f(ξ). З'єднаємо точки Р и Q і із точки а проведемо пряму аМ, паралельну РQ, до перетинання в точці М з вертикаллю, проведеної із точки b. Покажемо, що b= , тобто величина побудованого відрізка чисельно дорівнює значенню певного інтеграла. Дійсно, ∆ PQO ~ ∆ aMb. Звідси

, bM== f(ξ)(b - a)= .

Зауваження. На рис. 1 функція f(x)>0. Однак отриманий результат має місце для будь-якої неперервної на [a; b] функції y=f(x). Наприклад, на рис. 2 функція f(x) міняє знак на [a; b]. Заштриховані площі приблизно рівні. Оскільки площа частини криволінійної трапеції, розташованої нижче осі Ох, більша, то буде від’ємний. Провівши попередні побудови, одержуємо відрізок b, величина якого від’ємна, і тут b= .

На підставі проведеної побудови і здійснюється графічне інтегрування. Метод графічного інтегрування проілюстрований далі на прикладі.


^ Зразок виконання завдання.

Завдання. Функція представлена графічно на відрізку [0; b]=[0; 12]. Побудувати графік її інтеграла F(x)=, 0 ≤ x ≤ b. Визначити за графіком величину .

Розв’язання. Розділимо відрізок [0; 12] на часткові відрізки (див. рис. 3). У даному прикладі взяті 6 часткових відрізків і точки поділу х=0, х, х, х, х, х, х=12 відзначені на рис. 3. Відкладаємо від точки О ліворуч по осі Ох одиничний відрізок. Визначаємо середину часткового відрізка [х; х ] і ординату графіка функції f(x) у цій точці проектуємо на вісь Оу. Одержимо точку Q . Проводимо РQ , а потім ОМ паралельно РQ. При цьому

хМ .

Визначаємо середину часткового відрізка [х; х]. Ордината графіка в цій точці проектується на відрізок ОQ. З'єднуємо Р з Q і будуємо ММ ||РQ. Тоді хМ.

Відзначаємо середину відрізка [х ; х ], потім ОQ і проводимо ММ ||РQ. Маємо хМ і т.д., поки не одержимо точку М. Ламана ОМММ — графік первісної для функції, представленої на рис. 3.

Наближене значення дорівнює ординаті хМ. За графіком знаходимо х М ≈7,8.


^ Завдання для самостійної роботи

Функція задана графічно на відрізку [0; b]. Побудувати графік її інтеграла F(x)=, 0 ≤ x ≤ b. Визначити за графіком величину . Значення b варто взяти з таб. 1.











Таблиця 1

Варіант

b

Варіант

b

Варіант

b

1

4,4

13

9,2

25

6,8

2

4,8

14

9,6

26

7,2

3

5,2

15

10,0

27

7,6

4

5,6

16

10,4

28

8,0

5

6,0

17

10,8

29

8,4

6

6,4

18

11,2

30

8,8

7

6,8

19

11,6

31

10,4

8

7,2

20

12,0

32

10,8

9

7,6

21

12,4

33

11,2

10

8,0

22

12,8

34

11,6

11

8,4

23

13,2

35

12,0

12

8,8

24

13,6

36

12,4

Схожі:

Графічне інтегрування iconС. А. Шубович, Н. С. Вінтаєва
Проблеми візуального сприйняття І графічне відображення архітектурного середовища
Графічне інтегрування iconІндивідуальне заняття №1
Охарактеризувати композицію та композиційно-графічне моделювання газети (видання на вибір студента)
Графічне інтегрування icon13. Невизначений інтеграл. Основні поняття
Який раціональний дріб, де І – многочлени відповідно степеня І, називається неправильним? Яке співвідношення застосовується для інтегрування...
Графічне інтегрування iconQ16 Що називається невласним інтегралом з обома нескінченними межами ?
Яку заміну змінної інтегрування треба застосувати для обчислення визначеного інтеграла І чому дорівнює його значення?
Графічне інтегрування icon29. Інтегрування раціональних дробів Поняття раціонального дробу
...
Графічне інтегрування iconГрафічне вираження мовчання
Природа І функціонування феномену мовчання належить нині до найбільш актуальних проблем, які вивчаються в руслі як філологічних,...
Графічне інтегрування iconL-системи. Основні поняття тертл-графіки
Алгоритм, що дозволяє отримувати графічне представлення слова за допомогою тертл-графіки
Графічне інтегрування iconГубка Менгера l-системи. Основні поняття тертл-графіки
Алгоритм, що дозволяє отримувати графічне представлення слова за допомогою тертл-графіки
Графічне інтегрування iconГрафічне диференціювання
Суть графічного диференціювання полягає в тому, що за графіком функції, заданому на деякому відрізку [а;b], будується приблизно графік...
Графічне інтегрування iconДержавний вищий навчальний заклад «криворізький національний університет»
Дизайн галузі знань 0202 Мистецтво (факультет мистецтв, художньо-графічне відділення) І має на меті оцінку рівня підготовки їх до...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи