Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної icon

Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної




Скачати 171.85 Kb.
НазваТема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної
Дата06.06.2013
Розмір171.85 Kb.
ТипДокументи

Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної

    1. Визначення похідної

Розглянемо поняття похідної. Нехай задана функція в околі точки х0 Різниця х – х0 = х – приріст аргумента, ( “еф від ікс мінус еф від ікс-ноль дорівнює дельта ігрек”) - приріст функції.

Означення 1. Границя відношення приросту функції до приросту аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля, називається похідною функції , позначається .

.

У загальному вигляді

.

Функція, яка має похідну в точці х0, називається диференційованою в цій точці.

Означення 2. Процес знаходження похідної даної функції називається диференціюванням. Усі диференційовані функції неперервні.


    1. ^ Механічний зміст похідної

Нехай точка рухається з змінною швидкістю за законом S(t). Для характеристики нерівномірного руху використовуємо поняття середньої швидкості за деякий проміжок часу:

.

Тоді швидкість на даний момент часу (миттєва швидкість) є границя Vср за умови, що .


.

Миттєва швидкість руху V(t) в момент часу t – це є похідна шляху від часу – таким є механічний зміст похідної.


    1. Геометричний зміст похідної

Нехай . Зобразимо графік функції кривої L. Візьмемо точку М000) і довільну точку М (х;у). Січна М0М утворює кут  з віссю ОХ. Кутовий коефіцієнт із січною

.

Якщо т.М  т0, то х х0, тобто х 0.

Січна М0М  М0Т – дотичної до графіка функції в т.М0


Отже, граничне положення січної М0М є дотична М0Т, , де  - кут нахилу дотичної до вісі ОХ. Тоді

,

- такий геометричний зміст похідної.

Рівняння дотичної до графіка функції в точці х0 знаходиться за формулою





    1. ^ Друга похідна та її механічний зміст

Похідна від похідної називається другою похідною, або похідною другого порядку. Позначається . Похідна від швидкості за часом є прискорення:

або - такий механічний зміст похідної.

    1. Формули диференціювання

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19. Похідна складної функції дорівнює похідній внутрішньої функції, помноженої на похідну зовнішньої функції:

.


Приклади

  1. Знайти похідну функцій:

1)

2) у = 5х + 3;

3) у = 6х2 + 3х + 2;

4) ;

5) у = х3 sinx;

6)

Розв’язання

1)

2)

3) ;

4)

5)

;

6)

.

  1. Знайти кут нахилу дотичної до кривої

в точці х0=1

,

.

3 Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції

в точці х0=2.

.

4 Точка рухається прямолінійно за законом . Знайти миттєву швидкість та прискорення в момент часу =3с.

Розв’язання

, ,









Завдання для самостійної підготовки

1 1) ;

2) ;

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

  1. Тіло рухається за законом

1) . Знайти швидкість та прискорення при t=1c;

2). Знайти швидкість та прискорення при t=2c.

  1. Знайти кут нахилу дотичної до параболи в т.х0=1.

  2. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці х0= -1.



^

Тема 2 Інтервали монотонності


Ми вивчали, що монотонно зростаюча функція на інтервалі тоді, коли для довільних х1  х2 на цьому інтервалі f(х1)  f(х2).

Монотонно спадна функція – якщо для довільних

х1  х2 , f(х1)  f(х2).

Монотонна функція пов’язана зі знаком похідної:

  1. Якщо функція у = f(х) зростаюча на інтервалі, то f /(х)  0, і навпаки.

  2. Якщо функція у = f(х) спадна на інтервалі, то f /(х)  0, і навпаки.

Інтервали, на яких похідна зберігає свій знак, називаються інтервалами монотонності.


Правило знаходження інтервалів монотонності:

  1. Знайти похідну f/(х) заданої функції.

  2. Знайти точки, в яких f/(х)=0 або не існує.

  3. Визначити інтервали монотонності функції.

  4. Дослідити знак похідної f/(х) на кожному інтервалі.


Приклад. Знайти інтервали монотонності функцій.

  1. f(x) = x2 - 6x + 3

  2. f(x) = x3 - 3x + 4

  3. f(x) = 5x – 6.

Розв’язання

1) f(x) = x2 - 6x + 3

f / (x) =2x - 6 f/(x) = 0 2x – 6 = 0 х=3

(-; 3) f/(2)  0 - спадає

(3; ;) f/(4)  0 - зростає


2) f(x) = x3 - 3x + 4

f/ (x) =3x2 - 3 3x2 – 3=0 х=1

(-; -1) f/(-2)  0 - зростає

(-1; 1) f/(0)  0 - спадає

(+1; ) f/(2)  0 - зростає


3) f(x) = 5x – 6.

f/ (x) = 5 > 0, функція зростає на (-;+).

^ Завдання для самостійної підготовки

Знайти інтервали монотонності функцій.

1 f(x) = x2 - 2x + 3

2 f(x) = 6 - 7x

3 f(x) = x3 - 12x + 1

4 f(x) = 3x + 1

5 f(x) = 2x2 + 8x

6 f(x) = 5x2 - 3x + 1

7 .


^

Тема 3 Екстремуми функції


Розглянемо функцію на деякому інтервалі.

Точки з області визначення функції, в яких або не існує, називаються критичними точками функції.

Точка х називається точкою мінімума функції , якщо для всіх х з деякого околу точки х0 виконується нерівність






Точка х називається точкою максимума функції , якщо для всіх х з деякого околу точки х0 виконується нерівність





Точки мінімума і максимума називаються точками екстремуму, а значення функцій в цих точках – екстремумом функції. На області визначення їх може бути декілька.

^ Необхідна умова існування екстремуму

Якщо диференційована функція має в точці х0 екстремум, то похідна функції в цій точці дорівнює нулю:



^ Достатня умова існування екстремуму

Нехай функція диференційована на інтервалі:

1) якщо і похідна при переході через точку х0 змінює знак з “+” на “– “ , то точка х0 – точка максимума;

2) якщо і похідна при переході через точку х0 змінює знак з “– “ на “+”, то точка х0 – точка мінімума;


Правило знаходження екстремуму функції

  1. Знайти похідну функції і критичні точки.

  2. Визначити знак похідної в околі кожної критичної точки.

  3. Визначити точки екстремуму і значення функції в них.


Приклади. Дослідити на екстремум функції:

1) .

2) .

3) .

Розв’язання

1)

; 2х-5=0 х=2,5;

(-; 2,5) f/(1)  0

(2,5; ) f/(3)  0

2)

4-2x=0 x=2

(-; 2) f/(1) 0

(2; ) f/(3)  0

хmax=2 fmax = f(2) = 5

3)

15x2 -15=0 x=1

(-; -1) f/(-2)  0

(-1;1) f/(0)  0

(1; ) f/(2)  0

хmax= -1 fmax = f(-1) = 11

хmin=1 fmin = f(1) = -9
^

Завдання для самостійної підготовки

Знайти екстремум функцій:


1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .




Тема 4 Побудова графіка функції

Дослідження функції та побудову її графіка виконують за таким правилом:

  1. Знайти область визначення функції.

  2. Дослідити функцію на парність та непарність.

  3. Знайти точки перетину графіка функції з вісями координат.

  4. Знайти похідну і критичні точки функції.

  5. Знайти інтервали монотонності функції.

  6. Визначити точки екстремуму і значення функції в цих точках.

  7. Побудувати графік функції.

Приклади

Дослідити функцію і побудувати її графік.

1)

2) .

Розв’язання

1)

1 Функція визначена на інтервалі (-;+);

2 f (-x) = (-x)2 – 4(-x) – 5 = x2 + 4x – 5 – функція ні парна, ні непарна.

3 Знаходимо точки перетину:

а) з віссю ОХ



А(-1;0), В(5;0)

б) з віссю ОУ

С(0;-5)

4 2х – 4 = 0 х=2

5 Знайдемо інтервали монотонності функції

(-; 2) f/(1)  0 - спадає

(2; ) f/(3)  0 - зростає

6 хmin= 2 fmin = f(2) = -9 D(2;-9)




2)

1 Функція визначена на інтервалі (-;+);

2 f (-x) = 2 (-x)3 – 3(-x)2 = -2x3 – 3x2 – функція ні парна, ні непарна.

3 Знаходимо точки перетину:

а) з віссю ОХ

А(0;0), В(1,5;0)

б) з віссю ОУ



4 , 2 – 6x = 0, 6х (x – 1) = 0 x1=0; x2=1

5 Знайдемо інтервали монотонності функції

(-; 0) f/(-1)  0 - зростає

(0;1) f/(0,5)  0 - спадає

(1; ) f/(2)  0 - зростає

6 хmax= 0 fmax = f(0) = 0 A(0;0)

хmin= 1 fmin = f(1) = -1 D(1;-1)





Завдання для самостійної підготовки

Дослідити функцію і побудувати графік:

  1. f(x) = -4x2 + 2x – 1;

  2. f(x) = -x2 + 5x – 4;

  3. f(x) = 3x2 – x3 ;

  4. f(x) = x4 – 10x2+9 ;

  5. f(x) = 3 + 4x – x2;

  6. f(x) = x2 – 4x +5;

  7. f(x) = x3 – 3x2 +2 ;

  8. ;

  9. f(x) = x3 – 3x2 - 9x .



Тема 5 Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку


На практиці досить часто необхідно знайти найбільше і найменше значення із всіх тих, які функція приймає на деякому відрізку. Якщо функція зростаюча на , то її найменше значення , найбільше - , якщо функція спадна – навпаки.

Якщо функція не є монотонною, тоді найбільше і найменше значення на відрізку функція приймає або на його кінцях, або в одній з критичних точок, що належать .


Щоб знайти найбільше і найменше значення на відрізку , використовують таке правило:

  1. знайти похідну і критичні точки функції;

  2. визначити значення функції в усіх критичних точках, що належать інтервалу , і на кінцях відрізка ;

  3. з отриманих значень вибрати найбільше і найменше.


Приклад. Знайти найменше і найбільше значення функції

f(x) = x2 – 2x +3 на відрізку .

Розв’язання

1) ; 2х – 2=0; х=1; 1.

2) f(1)=2, f(0)=3, f(2)=3.

3) fнайм.= f(1) = 2

fнайб. = f(0) = f(2) = 3.


Завдання для самостійної підготовки

Знайти найменше і найбільше значення функцій на відрізках:


1 f(x) = x4 – 2x + 5 ;

2 f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x – 3 ;

3 f(x) = x4 – 8x2– 9 ;

4 f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 2 ;

5 f(x) = 3x4 + 4x3 +1 .


Відповіді

Тема 1

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. ;

  12. ;

  13. ;

  14. ;

  15. .

2 1) . 2) .

3 .

4 .

Тема 2


  1. - функція зростає.

  2. - функція спадає.

  3. , - функція зростає.

- функція спадає.

  1. - функція зростає.

  2. - функція спадає.

- функція зростає.

  1. - функція спадає.

- функція зростає.

  1. - функція зростає.

- функція спадає.


Тема 3

1) ; .

2) ;.

3) ; .

4) ; .

; .

5) ;

; .

6) ; .

; .


Тема 5

1) , .

2) ,.

3) , .

4) ,.

5) , .


^

Основні словосполучення


Тема 1

1 Приріст аргумента

1

2.Приріст функції

2

3 Границя

3

4 Похідна функції

4

5 Диференційовані функції

5

6 Миттєва швидкість

6

7 Фізичний зміст похідної

7

8 Січна

8

9 Дотична до графіка функції

9

10 Геометричний зміст похідної

10

12 Друга похідна (похідна другого порядку)

11

13 Прискорення

12

14 Похідна складної функції

13

15 Формули диференціювання

14


Тема 2.

1 Інтервали монотонності функції

1

2 Знак похідної

2

3 Функція зростає на інтервалі

3

4 Функція спадає на інтервалі

4

5 Дослідити

5



Тема 3

1 Критичні точки функції

1

2 Точка мінімуму функції

2

3 Точка максимуму функції

3

4 Точка екстремуму

4

5 Екстремум функції

5

6 Необхідна умова існування екстремуму

6

7 Достатня умова існування екстремуму

7

8 Дослідження на екстремум

8


Тема 4

1 Дослідити функцію і побудувати її графік

1

2 Точки перетину графіка функції з вісями координат

2


Тема 5

1 Найменше значення функції на відрізку

1

2 Найбільше значення функції на відрізку

2







Схожі:

Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної icon4 Похідна від булевої функції
У класичній математиці для з'ясування характеру зміни функції використовують поняття похідної. У дискретній математиці, що оперує...
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної icon6. Похідна неявно чи параметрично заданої функції
Похідна неявно чи параметрично заданої функції похідна функції, яка задана неявно рівнянням, дорівнює
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної iconЗміст с. Вступ до дисципліни 3
Тема 1 Поняття, зміст та ознаки господарського права в Україні. Система господарського законодавства. 10
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної iconЗавдання для самостійної роботи змістовий модуль І. Розвиток теорії сімейного виховання в україні. Зміст І сучасні провідні напрями родинного виховання тема Вступ.
Тема Вступ. Розвиток теорії сімейного виховання в Україні. Закономірності, принципи, зміст і завдання родинного виховання. Виховний...
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної iconПохідна функції дорівнює

Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної iconТема процеси прийняття рішення І управління зміст процесу управління
Зміст процесу управління. Процес управління діяльність об'єднаних в певну систему суб'єктів управління, направлена на досягнення...
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної iconРезультати зовнішнього незалежного оцінювання І державної підсумкової атестації як похідна кадрової політики в регіоні постановка проблеми
Результати зовнішнього незалежного оцінювання І державної підсумкової атестації як похідна кадрової політики в регіоні
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної icon“затверджую”
Застосування похідної до дослідження функції на монотонність І знаходження екстремумів
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної icon“затверджую”
Застосування похідної до дослідження функції на монотонність І знаходження екстремумів
Тема 1 Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної iconГеометричний та алгебраїчний методи уточнення
Крім того, часто константи, що входять у рівняння, відомі наближено, а таке точне значення кореня, як, наприклад, х=, усе рівно доводиться...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи