Тема: Основні положення icon

Тема: Основні положення




НазваТема: Основні положення
Сторінка1/7
Дата25.10.2012
Розмір1.53 Mb.
ТипДокументи
  1   2   3   4   5   6   7

1 НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ


1.1 Тема: Основні положення

Предмет нарисної геометрії та комп'ютерної графіки. Зображення як геометрична модель простору


Інженерна графіка — це дисципліна, яка складається з нарисної геометрії та техніч­ного креслення.

Нарисна геометрія є розділом геометрії, в якому вивчають способи подання просто­рових фігур або оригіналів за допомогою їхніх зображень (графічних моделей) на площині чи на поверхні.

Предметом нарисної геометрії є розроб­ка методів побудови та читання креслень, способів розв'язування за допомогою крес­лень геометричних задач, методів геомет­ричного моделювання, тобто створення проекцій об'єкта, який відповідав би напе­ред заданим геометричним та іншим вимо­гам, а також побудова зображень предметів та об'єктів деякої конкретної галузі інже­нерної діяльності. Для розв'язування інже­нерних задач методами геометричного мо­делювання в різних галузях науки й техні­ки методи нарисної геометрії мають бути доповнені методами обчислювальної гео­метрії, що лежить в основі комп'ютерної графіки. У свою чергу, методи обчислю­вальної геометрії грунтуються на досяг­ненні окремих математичних наук.

Комп'ютерна графіка — це сукупність тех­нічних, програмних, мовних засобів і методів зв'язку користувача з ЕОМ на рівні зорових образів при розв'язуванні різних задач.

Для відтворення форми, розмірів об'єк­тів та положення їх у просторі з метою ство­рення оригіналу за його проекціями засто­совують геометричні моделі. При цьому ве­лику роль відіграє теорія параметризації, яка розглядає задання форми та положен­ня геометричної фігури за допомогою на­бору даних або умов.

Комп'ютеризація різних галузей народ­ного господарства, широке використання електронно-обчислювальної техніки, дис­плеїв та графопобудовників показали принципіальну можливість виконання гра­фічних зображень за допомогою персо­нальних комп'ютерів.

Тепер уже стало очевидним, що комп'ю­терна графіка може розвиватися на основі широкого використання законів та правил нарисної геометрії, інженерної графіки та обчислювальної геометрії.


^ Геометричні фігури. Геометричний простір. Відображення


Довільну множину точок називають гео­метричною фігурою. Геометричних фігур дуже багато, але основними є три: точка, пряма, площина. Між основними фігурами існують різні співвідношення, які можна визначити словами: належати, бути пара­лельними, міститися "між", бути конгру­ентними. Три співвідношення характеризу­ють позиційні властивості геометричних фігур, а вираз "бути конгруентним" озна­чає метричну властивість.

Позиційна властивість визначає розмі­щення геометричних фігур на площині та в просторі на основі взаємної належності (інцидентності) одних фігур до інших або якщо такої належності немає. Належність може бути повною (наприклад, пряма ле­жить у площині), частковою (пряма пере­тинається з площиною в точці) або її може не бути взагалі (дві мимобіжні прямі).

Метричні властивості пов'язуються з ви­значенням метричних характеристик (роз­мірів) відстаней, кутів та площ.

Залежно від характеру властивостей роз­різняють позиційні та метричні задачі.

Основою нарисної геометрії є метод про­екцій, який дає змогу діставати зображен­ня просторових фігур на площині чи по­верхні. Якщо взяти в просторі довільну точку S і сполучити її прямими з іншими точками простору, то дістанемо в'язку пря­мих. Точку S називають центром. Якщо центр задано, то через нього та кожну точ­ку простору можна провести єдину пряму, яку називають проекціювальпим променем. Перетин проекціювального променя з пло­щиною проекцій дає проекцію точки.


^ Метод проекціювання. Центральне та паралельне проекціювання.

Основні властивості


Для центрального та паралельного про­екціювання характерна прямолінійність проекціювальних ліній, які у своїй сукуп­ності утворюють в'язки. Центр в'язки — точка S може бути власною (при централь­ному проекціюванні) та невласною (при паралельному проекціюванні).

Якщо в просторі визначити об'єкт про­екціювання, наприклад кілька точок, зада­ти центр проекціювання S та площину про­екцій, то проекціями заданих точок є точ­ки перетину проекціювальних променів, що проходять через відповідні точки, з площи­ною проекцій (рис. 1.1, а...в). При невлас­ному центрі проекціювання, заданому на­прямом S проекціювальні промені пара­лельні між собою, а з площиною проекцій вони можуть утворювати гострі чи прямі кути. Залежно від цього розрізняють косо­кутне та прямокутне проекціювання.

За способом проекціювання проекції називають центральними, косокутними чи прямокутними. Ці проекції характеризу­ються певними властивостями.

Проекцією прямої в загальному випад­ку є пряма, що проходить через точку її перетину з площиною проекцій. Якщо за­дано проекції хоча б двох точок прямої, то можна визначити проекцію всієї прямої (рис. 1.1.2, а). Якщо пряма паралельна пло­щині, то її центральна та паралельна про­екції паралельні цій прямій (рис. 1.1.2, б).














Рис.1.1.3

Рис.1.1.2


Якщо на відрізку прямої, паралельної площині проекцій, задати точку, що лежить між даними точками, то проекції утворе­них відрізків при центральному проек­ціюванні будуть пропорційні до заданих (рис. 1.1.3, а), а при паралельному — дорів­нюватимуть їм (рис. 1.1.3, б).

Згідно з рис. 1.3 при паралельному про­екціюванні відношення довжин відрізків прямої та їхніх проекцій зберігається:


^ АВ/ВС = А'В'/В'С'


Це відношення називають простим від­ношенням трьох точок. Воно є інваріантом (незмінною властивістю) паралельного про­екціювання. Отже, при паралельному про­екціюванні відношення проекцій відрізків паралельних прямих заданого напряму до дійсних довжин відрізків є сталою величи­ною. Цю величину називають коефі­цієнтом спотворення відріз­ків заданого напряму.

Якщо задано центр проек­ціювання та площину проек­цій, то проекція точки простору визначається однозначно — це точка перетину проекціювального променя з площиною проекцій. Обернена задача (визначення точки в просторі за її проекцією) є неоднозначною, бо в одну й ту саму точку на площині проекцій проекціюється безліч точок, що належать проекціювальному променю. Так само за однією проекцією геометричної фігури, що складається з безлічі точок, не можна визначити її форму та положення в прос­торі.

Візьмемо дві довільні площини проекцій П' і П" та два центри проекціювання Т і S (рис. 1.1.4). Спроекціюємо точку А з цих центрів на дані площини. Дістанемо проекції А' і А". Тепер, коли відомий апарат проек­ціювання, тобто дві площини проекцій та два центри проекціювання, можна розв’язати обернену задачу. Для цього проведемо два проекціювальні промені через точ­ки А' і А". Ці промені лежать в одній пло­щині Λ, що задається точками А', А" і точкою перетину їх А. Отже, точка А є шуканою.





Рис.1.1.4


Таким чином, зображення, побудовані на двох площинах проекцій з двох центрів, задають оборотну проекційну модель.





Рис.1.1.5









Рис.1.1.6

Іншими словами, кожній точці в тривимір­ному просторі відповідає пара точок на двох площинах проекцій. Аналогічні ре­зультати можна дістати, якщо площини П' і П" збігаються, тобто за умови однієї пло­щини проекцій та двох центрів.

Залежно від положення площин проекцій та центрів проекціювання можна дістава­ти різні проекційно-зображувальні систе­ми. Найбільш поширеною системою в техніці є система прямокутних проекцій, або метод Монжа. За цим методом пло­щини П1 і П2 взаємно перпендикулярні, а центри проекціювання віддалені в нескін­ченність у напрямі, перпендикулярному до площин проекцій. Сукупність кількох зв'я­заних між собою проекцій фігури (мінімум двох) називають системою прямокутних (ортогональних) проекцій.

На рис. 1.1.5 площини проекцій показано збоку в напрямі лінії їх перетину х12 . Необме­жені площини проекцій П1 та П2 поділяють тривимірний простір на чотири чверті (І - IV).

Щоб побудувати проекції точки на одній площині, суміщеній з площиною рисунка, досить горизонтальну площину проекцій П1, сумістити з фронтальною площиною проек­цій П2 обертанням навколо їхньої лінії пе­ретину х12. Існує й інший спосіб побудови горизонтальної проекції. Треба провести бісекторну площину К між площинами П1 та П2. Точка А проекціюється спочатку у вертикальному напрямі на цю площину, а потім на фронтальну площину в напрямі, перпендикулярному до неї (рис. 1.1.6).

Оскільки положення осі х12 не впливає на проекції об'єкта, то на багатьох рисун­ках осі х12 немає.


^ 1.2 Тема: Прямокутні проекції основних геометричнх фігур


Координатний метод. Проекційно-зображувальні системи : прямокутні проекції, аксонометрія


Прямокутні проекції відзначаються точні­стю та однозначністю зображення. Проте вони не мають достатньої наочності, яка в ряді ви­падків, особливо при зображенні складних об'єктів, є вирішальною. Тому застосовують аксонометричні або перспективні зображення.





Рис.1.2.1


Аксонометричне зображення — це наочне зображення об'єкта, пов'язане з прямокутною системою координат. При цьому зобра­жуваний об'єкт разом із системою коорди­нат проекціюється на площину аксономет­ричних проекцій. Залежно від положення ко­ординатних осей щодо цієї площини, а також від кута, що утворюється між напрямом про­екціювання та площиною аксонометричних проекцій, використовуються різні аксономет­ричні системи, які розглядаються нижче. Схе­му побудови аксонометричних проекцій по­казано на рис. 1.2.1. Тут точка А віднесена до прямокутної декартової системи координат шляхом побудови її вторинної проекції на площину хОу. Точка разом з системою ко­ординат проекціюється в напрямі S∞ на пло­щину аксонометричних проекцій П'.

Комплексний рисунок, або метод Монжа, передбачає оперування з тривимірним про­стором, коли будь-яка точка простору ви­значається трьома координатами. Проте в багатьох галузях науки і техніки нерідко мають справу з графічним або графоаналі­тичним розв'язанням багатопараметричних задач, у яких число змінних становить більше трьох. Розв'язанням цих задач зай­мається багатовимірна геометрія. Викорис­тання методів нарисної геометрії в багато­вимірній дає можливість зробити наочним зображення функціональних залежностей, у яких число змінних становить більше трьох. Отже, для зображення на рисунках об'єктів багатовимірного простору можна скориста­тися методами ортогональних проекцій та паралельної аксонометрії.



^ Прямокутні проекції основних геометричних фігур


Як відомо, точка, пряма та площина є основними (непохідними) геометричними фігурами. Більш складні геометричні фігу­ри та тіла можуть бути утворені з основ­них. Пряма та площина можуть мати як загальне положення, так і окреме (бути па­ралельними або перпендикулярними до площин проекцій). Загальне чи окреме по­ложення площин визначається їхніми пря­мокутними проекціями.


^ Проекції точки

Проекцією точки є точка. При двох на­прямах проекціювання, які вибрано в сис­темі прямокутних проекцій, точка зобра­жується парою точок. Винятком є точки, що належать осі х12, оскільки їхні проекції збігаються (рис.1.2.2). Проекції точки мають таку властивість: фронтальна та горизон­тальна проекції точки належать одній вер­тикальній лінії сполучення. Площини про­екцій несуть інформацію про положення точки, а саме: відстань від го­ризонтальної проекції точки до осі х12 є її ординатою, а відстань від фронтальної про­екції до цієї самої осі є аплікатою точки.









Рис.1.2.5





Рис.1.2.3

Рис.1.2.2



Рис.1.2.4


Рисунок, що містить проекції на двох полях проекцій, є позиційно повним та мет­рично визначеним; він визначає форму та розміри зображуваної фігури. Проте, ос­кільки просторова фігура є тривимірною, а також у зв'язку з тим, що за двома зобра­женнями не завжди просто визначити кон­струкцію складного об'єкта, то доцільно крім двох основних проекцій давати ще проекцію на третю площину. За таку пло­щину (поле проекцій) часто беруть про­фільну площину проекцій П3, перпендику­лярну до П1 та П2 (рис. 1.2.3), і тому третю проекцію називають профільною. Відстань від точки до площини П3 є її абсцисою.

При побудові системи з трьох прямокутних проекцій площину П2 вважають нерухомою, а площини П1 і П3 суміщують з нею обертан­ням навколо осей х12 та г23 відповідно.



Рис.1.2.6

Площини (поля) проекцій П1, П2 і П3, перетинаючись по трьох лініях, задають просторову декартову систему координат (рис. 1.2.4). Точка О є початком координат, вісь х — віссю абсцис, вісь у — віссю орди­нат, вісь г — віссю аплікат.

Площини проекцій П1 та П2, продовжені за вісь абсцис, поділяють тривимірний простір на чотири чверті. Якщо точка А лежить у І чверті простору, то її горизон­тальна проекція лежить нижче, а фронталь­на — вище від осі х12. Різні положення про­екцій точок, що лежать у І, II, III та IV чвер­тях простору, показано на рис. 1.2.5. Точка В лежить у II чверті, точка Су III, точка D — у IV. Надалі міркування стосувати­муться І чверті, де всі координати додатні.

Якщо задано три прямокутні декартові координати точки, то легко побудувати її прямокутні проекції. На рис.1.2.6 показано дві прямокутні проекції точки А з коорди­натами 4, 6, 5. Додатні значення коорди­нат відкладають від початку координат відповідно по осях х, у, z.


Проекції прямої

Пряму в геометрії розглядають як мно­жину точок. Проекціями прямої є, як пра­вило, також прямі. У системі площин П1 і П2 пряму загального положення (не паралель­на жодній з площин проекцій) зображують двома прямими.

Перетин прямої з площинами проекцій називають слідами прямої. Перетин прямої з площиною П1 називають горизонтальним слідом. Якщо пряма паралельна площині проекції, то відрізок прямої зображується на одній з площин проекцій в натуральну величину; якщо пряма перпендикулярна до площини проекції, то вона проекціюється в точку. Прямі, паралельні площинам про­екцій, називають лініями рівня. Прямі, пер­пендикулярні до площин проекцій, назива­ють проекціювальними: АЕ — горизонтально проекціювальна, АО фронтально проекціювальна, АВ — профільно проекціювальна (рис. 1.2.7, 1.2.8).

Точки, що належать (інцидентні) одній проекціювальній прямій, називають конкуруючими. На одному з полів проекцій їхні проекції збігаються (рис. 1.2.9). За допомо­гою таких точок визначають видність гео­метричних фігур на рисунку в прямокутних проекціях. Далі буде показано, як викори­стовують конкуруючі точки при визначенні видності геометричних фігур.







Рис.1.2.7







а б в


Рис.1.2.8




Рис.1.2.9






Рис.1.2.10

При розгляді відрізка прямої часто ви­никає потреба у визначенні його натураль­ної величини та кутів нахилу до площин проекцій П1 та П2, тобто доводиться роз­в'язувати метричну задачу. Так називають будь-яку задачу, в умові чи при розв'язанні якої є числова характеристика. Розв'язан­ня всіх метричних задач ґрунтується на двох основних задачах, першою з яких є визначення натуральної величини відрізка прямої. Для цього треба виконати деякі побудови.

На рис. 1.2.10, а показано відрізок АВ та дві площини проекцій П1 та П2. Якщо від точки ^ А відкласти відрізок АС, паралель­ний горизонтальній проекції А1В1, то утво­риться прямокутний трикутник АВС з гіпо­тенузою АВ. Отже, натуральна величина відрізка прямої загального положення до­рівнює гіпотенузі прямокутного трикутни­ка, один катет якого є проекцією відрізка, а другий — різницею відстаней кінців дру­гої проекції до осі х12 (в безосній системі — до довільної горизонтальної прямої). Від­повідну побудову виконано на рис. 1.2.10, б, де визначається й кут нахилу прямої до го­ризонтальної площини проекцій П1. Щоб визначити кут нахилу прямої до фронталь­ної площини проекцій, треба виконати відповідну побудову прямокутного трикут­ника на фронтальній площині проекцій. Цей спосіб визначення величини відрізка прямої називають способом прямокутного трикутника.


^ Проекції площини

Якщо точка є нуль-вимірною геометрич­ною фігурою, тобто такою, що не має роз­мірів, пряма — одновимірною, то площи­на буде двовимірною геометричною фігу­рою. Площину можна задавати: трьома точками, що не лежать на одній прямій; прямою та точкою, що не лежить на прямій; двома прямими, які перетинаються або па­ралельні. Найбільш наочним є задання пло­щини куском або відсіком, найпростіший з яких — трикутник (рис. 1.2.11).

Побудова проекцій площини, на відміну від точки та прямої, має свої принципові особливості. Якщо точка та пряма зобра­жуються на рисунку своїми проекціями, то проекціювання точок площини на пло­щину проекцій встановлює певну відповід­ність між точками цієї площини та пло­щини проекцій, яка характеризується та­кими властивостями: прямій певної площи­ни відповідає пряма площини проекцій; па­ралельним прямим певної площини відпо­відають паралельні прямі площини проек­цій; зберігається просте відношення трьох точок.




Рис.1.2.11

Точкова відповідність, що має такі влас­тивості, називається перспективно-аффінною, або спорідненою.

При проекціюванні точок площини на дві площини проекцій П1 та П2 між ними встановлюється відповідність, яка має ті самі властивості. Отже, в системі ортого­нальних проекцій площина моделюється (зображується) спорідненою відповідністю.

Властивість проекцій пло­щини загального положення: проекції пло­щини збігаються з полями проекцій П1 та П2 так, що проекції їхніх точок вертикаль­но відповідні.

Залежно від положення, що займає пло­щина відносно площин проекцій, роз­різняють: проекціювальні площини θ, Λ та Σ, які перпендикулярні до площин проекцій; площини, паралельні площинам проекцій, або площини рівня Г, Ф та ABC (рис.1.2.12); площини загального поло­ження (див. рис. 1.2.11), які не перпендику­лярні, а отже, й не паралельні площинам проекцій.

При розв'язуванні різних задач нарисної геометрії часто використовують головні лінії площини: лінії рівня та лінії найбіль­шого нахилу до площин проекцій.

Лініями рівня площини називають лінії, що належать даній площині та паралельні одній з площин проекцій.

Горизонталь — це лінія, що належить площині і паралельна горизонтальній пло­щині проекцій П1. На рис. 1.2.13 проведено горизонталь DC.

Фронталь — це лінія, що належить пло­щині та паралельна фронтальній площині проекцій П2. На рис. 1.2.13 проведено фрон­таль АЕ.

Горизонталь і фронталь використову­ють для задання площини, що дає змогу визначити орієнтацію площини відносно площин проекцій. Лінії перетину площини з площинами (полями) проекцій — сліди площини — також є горизонталлю h та фронталлю f. Їх у цьому випадку назива­ють нульовими (рис. 1.2.14).


Лінії найбільшого нахилу площини до пло­щин проекцій — це лінії, що належать пло­щині та утворюють найбільший кут з відпо­відною площиною проекцій. Відносно поля П1 їх ще називають лініями найбільшого ска­ту, або лініями скату.

На рис. 1.2.13 проведено лінію скату ВЕ. Горизонтальна проекція утворює прямий кут з горизонтальною проекцією горизон­талі. Лінія найбільшого нахилу відносно фронтальної площини проекцій зберігає прямий кут з фронтальною проекцією фронталі.

На рис. 1.2.12 по­казано шість випадків розміщення площин окремого положення: проекціювальних та площин рівня. Площина буде проекціювальною щодо площини проекцій, якщо вона містить хоча б одну відповідну про­екціювальну пряму.










Рис.1.2.12


Рис.1.2.13 Рис.1.2.14

  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Тема: Основні положення iconТема предмет вивчення курсу, основні поняття, методи та основні цілі курсу Предмет курсу, історичний розвиток міждержавних економічних зв язків
Основні положення Указу Президента України "Про застосування Міжнародних правил інтерпретації комерційних термінів" від 4 жовтня...
Тема: Основні положення iconПоложення про речове право 25 Тема №18. Право власності 25 Тема №19. Право спільної власності 25 Тема №21. Речові права на чуже майно 25 Тема №22. Загальні положення про право інтелектуальної власності 25
Тема №15. Особисті немайнові права, що забезпечують природне існування фізичної особи 24
Тема: Основні положення iconПоложення про речове право 25 Тема №18. Право власності 25 Тема №19. Право спільної власності 25 Тема №21. Речові права на чуже майно 25 Тема №22. Загальні положення про право інтелектуальної власності 25
Тема №15. Особисті немайнові права, що забезпечують природне існування фізичної особи 25
Тема: Основні положення icon1. Загальні положення та терміни
Положення про Науковий репозитарій (електронний архів) Чернівецького національного університету імені Ю. Федьковича (далі репозитарій)...
Тема: Основні положення iconТема №1
Тема № Основні поняття соціолінгвістики «соціолект», «жаргон», «сленг», «арго»
Тема: Основні положення iconПоложення про диференційний захист. Основні положення про дистанційний захист. Основні види автоматики електроенергетичних систем
Теоретичні основи електротехніки. Промислова електроніка та перетворювальна техніка. Електричні машини. Електрична частина станцій...
Тема: Основні положення iconТема 1
Тема Суть та основні етапи еволюції грошових І кредитних систем країн з розвиненою ринковою економікою
Тема: Основні положення iconЗміст тем курсу тема предмет вивчення курсу, основні поняття, методи та основні цілі курсу
Зед; принципи та види зед; правові засади на здійснення зед; органи державного регулювання та місцевого управління зед та їх основні...
Тема: Основні положення iconТема 1
Тема Суть та основні етапи еволюції грошових І кредитних систем країн з розвиненою ринковою економікою -2 год
Тема: Основні положення iconЗміст навчальної дисципліни Лекція Загальні положення цивільного права. Основні поняття
Загальні положення цивільного права. Основні поняття: Поняття, предмет І метод цивільного права. Функції та принципи цивільного права....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи