Тема: Основні положення icon

Тема: Основні положення




НазваТема: Основні положення
Сторінка3/7
Дата25.10.2012
Розмір1.53 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7

Заміна площин проекцій

Розглянемо точку ^ А в системі площин П1 та П2 (рис. 1.4.1, а). Введемо нову вертикаль­ну площину П4, слід якої на площині П1 є х14. Цим самим від системи площин про­екцій П1 — П2 перейдемо до системи П1 — П4. При цьому горизонтальна проекція точки не зміниться, а фронтальною проекцією стане точка А4. Як бачимо (див. рис. 1.4.1), відстань від проекції А2, що замі­нюється, до осі х12 дорівнює відстані від нової проекції А4 до нової осі х14. Цю са­му операцію показано на комплексному рис. 1.4.1, б.





Рис.1.4.1




Рис.1.4.2


На рис. 1.4.2 зображено розв'язання пер­ших двох задач перетворення прямої за­гального положення в пряму рівня та пере­творення її в проекціювальну. Задано відрізок прямої загального положення АВ. Для перетворення його в пряму рівня, або для визначення його натуральної величини, на довільній відстані від відрізка виби­рають площину, паралельну проекції від­різка. У даному випадку взято вертикаль­ну площину П4. Щоб дістати натуральну величину відрізка, від осі х14 відкладають відстані, що дорівнюють відстаням від то­чок А2 і В2 до осі х12.

Щоб пряма зайняла проекціювальне по­ложення, досить перпендикулярно до пря­мої рівня провести нову площину П5, її слідом буде х45. Проекція пря­мої у вигляді точки роз­міститься від осі х45 на відстані, що дорівнює відстані від проекції А1В1 до осі х14.

Визначення натураль­ної величини трикутно­го відсіку показано на рис. 1.4.3. При цьому здійс­нено дві заміни площин проекцій. Першою замі­ною відсік переведено в проекціювальне по­ложення, а другою знайдено його натураль­ну величину. Щоб перевести відсік у проек­ціювальне положення, необхідно й достат­ньо, щоб будь-яка пряма, що належить йому, спроекціювалася в точку. За таку пря­му доцільно взяти лінію рівня, бо для її пе­ретворення в точку досить однієї заміни. На рисунку у відсіку проведено горизонталь АD, нову вертикальну площину (її слід х14) взято перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі 1D1). При цьому відсік спроекціювався у відрізок прямої В4С4. При другій заміні вісь х45 проводять паралельно відрізку B4С4, а від осі х45 відкла­дають відрізки, що дорівнюють відстаням від точок горизонтальної проекції до осі х14. Остаточний вигляд відсіку — трикутник А5В5С5.

Визначення натуральної величини відстані між двома мимобіжними прямими показано на рис. 1.4.4. Тут за допомогою двох замін площин проекцій одну з прямих переводять у проекціювальне положення. Це є відрізок прямої АВ. Алгоритм вико­ристано такий самий, що й на рис. 1.4.2, тоб­то спочатку визначають натуральну вели­чину відрізка А4В4, а потім перпендикуляр­но до нього проводять другу площину, слідом якої є х45. У результаті двох замін

відрізок ^ АВ спроекціювався точкою А5 ≠ В5, а відрізок СD — відрізком С5D5. Перпен­дикуляр, опущений з точки А5 ≠ В5 на відрізок С5D5, є шуканою


відстанню.



Рис.1.4.3




Рис.1.4.4


За допомогою рис.1.4.4 можна визначити також дві найближчі точки М і N на мимобіж­них прямих або кінці їхнього спільного пер­пендикуляра. Точку N4 визначають безпосе­редньо на відрізку С4D4, а для визначення другої точки з точки N4 опускають перпенди­куляр на натуральну величину відрізка А4В4, дістають точку М4. Використовуючи відпо­відність між проекціями та переміщаючись у зворотному напрямі, знаходять спочатку їхні горизонтальні проекції — точки М1 і N1, а потім фронтальні.


^ Обертання (поворот) навколо проекціювальних осей. Плоскопаралельне переміщення


Визначення натуральної величини від­різка прямої загального положення спосо­бом обертання навколо осі, перпендикуляр­ної до площини проекції, показано на рис. 1.4.5. Через точку А проведено вертикальну вісь і, навколо якої повернуто відрізок до положення, паралельного фронтальній площині проекцій П2. Точка А, що нале­жить осі обертання, залишається на місці, а точка В повертається навколо вертикаль­ної осі в площині, перпендикулярній до неї, тобто в горизонтальній. Відрізок А2В2його натуральна величина.

Оскільки положення осі обертання не впливає на остаточний результат, то вибір її довільний. Саме такий спосіб показано на рис. 1.4.6. Щоб встановити відрізок пря­мої в проекціювальне положення, треба повернути його навколо "невиявлених" осей, перпендикулярних до площин про­екцій. При першому повороті відрізок зай­няв положення, паралельне фронтальній площині, а на полі П2 дістали його нату­ральну величину. При другому повороті навколо "невиявленої" фронтально проекціювальної осі до положення, перпендику­лярного до горизонтальної площини про­екцій, відрізок переведено у вертикальне положення.

Визначення натуральної величини три­кутного відсіку показано на рис. 1.4.7. Для цього відсік спочатку за допомогою гори­зонталі АD поворотом навколо вертикаль­ної осі встановлено у фронтально проекці­ювальне положення, а потім поворотом на­вколо фронтально проекціювальної осі — в горизонтальне положення, при якому він зобразиться на полі П1, в натуральну вели­чину.

Визначення натуральної величини дво­гранного кута показано на рис.1.4.8. Щоб ребро двогранного кута поставити у проекціювальне положення, при якому він зоб­разиться в натуральну величину, викону­ють два плоскопаралельних переміщення: спочатку навколо фронтально проекціювальної "невиявленої" осі до переведення ребра в горизонтальне положення, а потім навколо вертикальної "невиявленої" осі до його фронтально проекціювального поло­ження.














Рис.1.4.5 Рис.1.4.6


Рис.1.4.7








Рис.1.4.8


Обертання навколо ліній рівня

Для розв'язування ряду задач викорис­товують спосіб обертання навколо ліній рівня, тобто горизонталей чи фронталей. Визначення натуральної величини трикут­ного відсіку обертання навколо фронталі АD показано на рис. 1.4.9. При такому обер­танні точки А і D залишаться на місці, а точки В і С обертатимуться у фронтально проекціювальних площинах, перпендику­лярних до фронтальної проекції фронталі. Для визначення натуральної величини ра­діуса обертання для точки В застосовують спосіб прямокутного трикутника. При цьо­му гіпотенузою роблять засічку на лінії траєкторії руху точки В. Щоб визначити положення точки С, користуються точкоюD2, інцидентною прямій ВС, яка після обер­тання залишається на місці.



Рис.1.4.9




Рис.1.4.10




Рис.1.4.11


Точку С2 ви­значають як перетин прямої В2D2 з траєк­торією руху точки С.

Натуральну величину перерізу трикутної піраміди фронтально проекціювальною площиною визначають обертанням пере­різу навколо горизонтального сліду h1січ­ної площини (рис. 1.4.10). При цьому гори­зонтальні проекції точок 11, 21, 31 поверта­ються у фронтальних площинах, перпенди­кулярних до осі обертання — сліду h1.

Розв'яжемо таку задачу: в площині за­гального положення, заданій слідами, по­будувати проекції рівностороннього три­кутника. Спочатку суміщаємо задану пло­щину з полем П1обертанням навколо го­ризонтального сліду h1 (рис.1.4.11). Для цьо­го на фронтальному сліді площини беремо довільну точку А (її горизонтальна проек­ція — точка А1). Точку А обертаємо навко­ло горизонтального сліду в площині, пер­пендикулярній до цього сліду. Суміще­не з П1 положення точки А дістанемо, якщо з точки збігу слідів зробимо дугою засічку на траєкторії поворот точки А. При цьо­му матимемо точку А1.

На суміщеному положенні площини до­вільно розмістимо рівносторонній трикут­ник 11, 21, 31,. Через його вершини проведе­мо суміщені проекції головних ліній (на ри­сунку проведені проекції горизонталей).

Здійснивши поворот у зворотному на­прямі, дістанемо горизонтальні та фрон­тальні проекції горизонталей, на яких і виз­начають відповідні проекції вершин три­кутного відсіку.


^ Допоміжне косокутне проекціювання

Суть до­поміжного проекціювання полягає у тому, щоб геометрична фігура зайняла проекцію­вальне положення, при якому пряма проекціюється в точку, а площина чи поверх­ня — в пряму чи криву лінію. Зручність та ефективність цього способу значною мірою залежить від вдалого вибору напряму про­еціювання та площини допоміжних про­екцій. Напрям проекціювання, як правило, має загальне положення відносно площин проекцій, а за площину допоміжних про­екцій часто беруть фронтальну чи горизон­тальну площину проекцій або площину відповідності, тобто бісекторну площину II та IV чвертей простору.





Рис.1.4.12




Рис.1.4.13




Рис.1.4.14



Рис.1.4.15




Рис.1.4.16


На рис. 1.4.12 показано випадок, коли профільна пряма перетинається з трикут­ним відсіком загального положення. Для визначення точки перетину пряму й відсік проекціюють на площину відповідності в напрямі сторони відсіку ВС. Пряма ВС спроекціюється в точку В4 ≠ С4, відсік — у лінію А4В4 ≠ С4, а відрізок прямої — у відрізок 1424. Як перетин двох відрізків дістають допоміжну проекцію шуканої точ­ки, а саме D4. Проекціюванням у зворот­ному напрямі визначають фронтальну й горизонтальну проекції: точки D2 і D1.

Перетин двох трикутних відсіків зобра­жено на рис. 1.4.13. Лінію перетину визнача­ють способом косокутного допоміжного проекціювання на площину відповідності (бісекторну площину II та IV чвертей про­стору). За напрям проекціювання беруть напрям сторони одного з трикутників ВС. Сторона ВС спроекціюється в точку В4 С4, а весь відсік АВС— в лінію А4В4 ≠ С4. У тому самому напрямі на ту саму площи­ну проекціюється відсік DЕF. Його проек­цією є D4Е4F4. Лінією перетину відсіків є пряма І424. Точки 1 і 2 у зворотному на­прямі проекціюють на відповідні сторони трикутника DEF. Ураховуючи видність окремих відрізків трикутників, дістають ос­таточний характер перетину.


Вивчивши тему, спробуйте:

  1. Побудувати квадрат ABCD за стороною AB та напрямом l1 горизонтальної проекції сторони AD (рис. 1.4.14).

  2. Побудувати сферу найменшого радіуса, дотичну до мимобіжних прямих, заданих відрізками АВ та CD (рис.1.4.15).

  3. Побудувати горизонтальну проекцію прямої а , мимобіжної з прямою в під кутом 45º та віддаленою від неї на 20 мм (рис.1.4.16).



1.5 Тема: Багатогранники

Задання і зображення багатогранників

Перш ніж розглядати зображення пред­метів та деталей на рисунку, зазначимо, що вони обмежені поверхнями, зокрема бага­тогранними.

^ Багатогранною поверхнею, або багато­гранником, називають сукупність кінцевого числа плоских багатокутників, що не лежать в одній площині. Твірні багатокутники на­зивають гранями, їхні сторони — ребрами, а вершини — вершинами багатогранника.

Багатогранники можуть бути замкнени­ми й незамкненими. Для незамкнених ба­гатогранників (наприклад призм і пірамід) задання поверхні її проекціями зводять, як правило, до задання відсіку цієї поверхні. На рис. 1.5.1, а зображено призматичну по­верхню, а на рис. 1.5.1, б — багатогранний кут (пірамідальну поверхню), які задано їхніми ребрами.

Дві півплощини, що перетинаються, ут­ворюють двогранний кут. Якщо в будь-якій точці простору перетинається більше ніж два плоских відсіки, то в результаті перетину утворюється багатогранний про­сторовий кут. Якщо всі грані просторово­го кута лежать по один бік від кожної його грані, то такий кут називають опуклим. На рис. 1.5.2, а зображено чотиригранний кут.

Проте спосіб задання проекціями ребер не єдиний. Так, пірамідальну поверхню можна задати її вершиною та плоскою ла­маною, що не лежать у одній площині, або просторовою ламаною. Ламана є напрям­ною лінією пірамідальної поверхні. Приз­матичну поверхню можна утворити рухом прямої твірної, напрямленої в невласну вер­шину поверхні, що перетинає довільну ла­ману напрямну, як плоску, так і просторо­ву. Невласна вершина призматичної по­верхні може бути задана напрямом у про­сторі.

Якщо площини, що утворюють багато­гранну поверхню, замкнені, то вони утворю­ють замкнений багатогранник (рис. ^ 1.5.2, б). Сукупність усіх ребер багатогранника нази­вають його сіткою. Багатогранники повно та однозначно при непроекціювальних гра­нях задають сіткою їхніх ребер. Багатогран­ник, розміщений по один бік від площини будь-якої його грані, називають опуклим, у противному разі — неопуклим. Гранями опук­лого багатогранника є опуклі багатокутни­ки. Багатогранний кут при будь-якій вершині опуклого багатогранника також опуклий.

На рис. 1.5.3 зображено чотиригранник, обмежений чотирма площинами. Перша нерівність задає площину загального поло­ження Г, друга — профільну площину Λ, третя — вертикальну площину Ф, що про­ходить через вісь Оz, а четверта — горизонтальну площину проекцій хОу. Перетин цих площин визначає ребра та вершини чотиригранника (А, В, С. D).





Рис.1.5.2








Рис.1.5.3


Правильні багатогранники

Із множини багатогранників в окрему групу виділяють правильні опуклі багато­гранники, або тіла Платона. У таких ба­гатогранників усі ребра, грані, кути (плос­кі, двогранні та просторові) рівні між со­бою. Розрізняють п'ять видів правильних багатогранників:

тетраедр (чотиригранник), гранями якого є чотири рівносторонніх трикутни­ки (рис.1.5.4, а). Побудову його доцільно починати з горизонтальної проекції;

октаедр (восьмигранник), гранями якого є вісім рівносторонніх трикутників (рис. 1.5.4, б). В окремому положенні на двох проекціях октаедр зображується квадратом з діагоналями;

ікосаедр (двадцятигранник), утворе­ний з 20 рівносторонніх трикутників (рис. 1.5.5). Побудову цього багатогранника та­кож доцільно починати з горизонтальної проекції, де зображуються дві співвісні пра­вильні п'ятикутні піраміди, основи яких по­вернуті одна відносно іншої. На полі П1 обрис ікосаедра є правильним десятикут­ником, на полі П2 проводять спільну вер­тикальну вісь, з точки D2 радіусом, що до­рівнює стороні п'ятикутника, роблять за­січку на осі. Так знаходять вершину верх­ньої піраміди. З точки С2 цим самим радіу­сом роблять засічку на вертикальній лінії зв'язку, що проходить через В1 і дістають точку В2. Отже, площину основи нижньої піраміди визначено. Вершину нижньої піра­міди визначають, зробивши засічку тим самим радіусом з точки А2;

гексаедр (шестигранник), або куб, гранями якого є шість квадратів (рис. 1.5.6);

додекаедр (дванадцятигранник), утворений з 12 правильних п'ятикутників (рис. 1.5.7). Побудову доцільно починати з горизонтальної проекції. В результаті діс­тають нижню основу у вигляді правильно­го п'ятикутника. З точок нижньої основи проводять бісектриси всіх п'яти кутів. Ниж­ню основу повертають навколо фронталь­но проекціювального ребра. Щоб знайти точку С2, визначають спочатку її горизонтальну проекцію С1 як перетин фрон­тальної траєкторії обертання точки А1 з бісектрисою, проведеною через точку F1. З точки С1 проводять вертикальну лінію зв'язку до перетину з дугою радіуса F2A2 з центром у точці F2. У фронтально проек-ціювальній грані визначають точку С2. На горизонтальній проекції точки зовнішньо­го контуру С1D1E1 визначають за допо­могою кола, описаного з центра п'ятикут­ника. Побудову верхньої основи додекаед­ра показано на рис. 5.8. При цьому роблять засічку D2G2, що дорівнює стороні п'яти­кутника, на вертикальній лінії зв'язку, про­веденої з точки G1.

Навколо всіх правильних багатогранни­ків можна описати сферу. Форма кожного з них визначається одним параметром — довжиною ребра.




Рис.1.5.4




Рис.1.5.5




Рис.1.5.6







Рис .1.5.7


Піраміди, призми, призматоїди

На практиці часто застосовують прості багатогранники. Багатогранник назива­ють простим, якщо:

а) всі його грані є про­стими багатокутниками, тобто такими, в яких жодна пара несуміжних сторін не має спільних точок;

б) жодні дві несуміжні грані не мають спільних точок, крім, може, спіль­ної вершини;

в) дві суміжні грані мають лише одне спільне ребро і не мають інших спільних точок.

Крім правильних багато­гранників широко застосовують також пі­раміди, призми та призматоїди.

Піраміда — це багатогранник, усі гра­ні якого, крім однієї, мають спільну вер­шину, яку називають вершиною піраміди (рис. 1.5.8). Піраміду можна дістати, якщо пе­ретнути багатогранний кут площиною, яка не проходить через вершину кута і перети­нає всі ребра цієї поверхні. Оскільки всі бічні грані піраміди є трикутниками, піра­міда цілком визначається заданням її осно­ви та вершини.






Рис.1.5.8






Рис.1.5.9





Рис.1.5.10


Призмою називають багатогранник, об­межений призматичною поверхнею та дво­ма паралельними площинами, які не пара­лельні ребрам призми (рис. 1.5.9). Ці дві грані називають основами призми, грані призматичної поверхні — бічними граня­ми, а її ребра — ребрами призми. Основа­ми призми є рівні між собою багатокутни­ки, бічні ребра призми дорівнюють одне одному. Якщо основи не паралельні між собою, то призма є зрізаною. Якщо осно­вами призми є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні, то призму назива­ють прямою, у разі невиконання цієї умо­ви — похилою.

Призми та піраміди розрізняють за чис­лом кутів основи. Якщо основою є пра­вильний багатокутник, а висота збігається з віссю, то піраміду и призму називають правильними.

Призматоїд — це опуклий багатогран­ник, усі бічні грані якого є трикутниками або трапеціями. Основи призматоїда пара­лельні одна одній і є будь-якими багатокут­никами. На рис. 1.5.10 зображено призма­тоїд, основами якого є квадрати ABCD та EFGH.

^ Перетин багатогранників з прямою та площиною

При перетині багатогранників прямою лінією можливі два випадки:

1) грані бага­тогранника проекціювальні;

2) грані бага­тогранника займають загальне положення.

У першому випадку точки перетину прямої з гранями відразу визначають на одній з проекцій, а в другому — слід виконати ще додаткові побудови.

Нехай пряма загального положення l перетинає пряму трикутну призму ABC (рис. 1.5.11). Точки перетину 1 і 2 прямої з гранями визначають безпосередньо на полі П1. Фронтальні проекції їх визначають за вертикальною відповідністю. Відрізок між точками входу та виходу невидимий на обох проекціях.




Рис.1.5.11


Перетин прямої загального положення з похилою призмою зображено на рис. 1.5.12. При цьому доцільно застосувати косокут­не проекціювання у напрямі ребер призми на площину її нижньої основи. Призма спроекціюється своєю основою, а пряма — відрізком АІВ1. Перетин допоміжної про­екції прямої з основою визначить допо­міжні проекції точок перетину прямої з гра­нями призми: точки 11 і 21. Зворотним проекціюванням визначають горизонтальні проекції шуканих точок 11 і 21. Фронтальні проекції визначають за вертикальною відповідністю.

Перетин прямої з поверхнею трикутної піраміди показано на рис. 1.5.13. Тут також застосовано допоміжне проекціювання, але не паралельне, а центральне з вершини піраміди S на горизонтальну площину її основи. При цьому піраміда спроекціюється своєю основою, а відрізок прямої — відрізком D1Е1. У перетині з основою ви­значають допоміжні проекції шуканих то­чок 11 і 21, які також центрально поверта­ються на пряму D1E1. Це точки 11 і 21. Фрон­тальні проекції визначають за вертикаль­ною відповідністю або повертають оберне­ним центральним допоміжним проекціюванням на поле П2.

^ Допоміжне проекціювання доцільно застосовувати для найпростіших фігур: для призм — косокутне; для пірамід — цент­ральне. Для більш складних поверхонь за­стосовують допоміжні перерізи проекціювальними площинами. Так, на рис. 1.5.14 зоб­ражено перетин поверхні ікосаедра з пря­мою загального положення. Тут через пря­му проведено вертикальну площину Г, про­екція якої на полі П1 збігається з горизон­тальною проекцією прямої. Позначаючи точки перетину площини Г з ребрами іко­саедра, за допомогою вертикальної відпо­відності ці точки визначають на полі П2.




Рис.1.5.15





Рис.1.5.12


Рис.1.5.14




Рис.1.5.13


Сполучивши всі точки, дістають десятикут­ник, який у перетині з фронтальною про­екцією прямої дає дві точки М2 і N2. Го­ризонтальні проекції цих точок визнача­ють за допомогою вертикальної відповід­ності.

Розглянемо перетин багатогранників і площини. Тут можливі чотири випадки:

  1. багатогранник і січна площина перебу­вають у проекціювальному положенні;

  2. багатогранник перебуває в загальному положенні, а площина — в проекціюваль­ному;

  3. багатогранник перебуває в проек­ціювальному положенні, а площина — в за­гальному;

  4. багатогранник і січна площи­на перебувають у загальному положенні. На рис. 1.5.15 зображено куб, який перети­нається з площиною загального положен­ня Г, заданою слідами. В результаті пере­тину утворюється шестикутник 1—23—4—561, вершини якого визначають за допомогою проекціювальних площин, що проходять через грані куба. Так визначено відрізок З—4 за допомогою горизонталь­ної січної площини Λ, що проходить через верхню грань куба. Ця площина перетне площину Г по горизонталі, яка в перетині з горизонтальною основою куба визначає точки З і 4. Відрізок шестикутника перерізу 5—6 дістанемо за допомогою фронтальної площини Ф, а відрізок 2—3 — за допомо­гою фронтальної площини Σ.

Якщо січна площина займає загальне положення, а призма є трикутною, розміще­ною вертикально, то горизонтальна проекція лінії перетину 1—2—3 збігається з гори­зонтальною проекцією призми (рис. 1.5.16).




Рис.1.5.16




Рис.1.5.17


При цьому слід визначити її фронтальну проекцію. Це можна зробити за допомогою фронталей, проведених через вершини го­ризонтальної проекції призми, які в перетині з ребрами призми дадуть точки 12, 22 і 32. На рис. 1.5.17 зображено похилу трикутну призму, яка перетинається фронтально проекціювальною площиною. Фронтальна про­екція трикутника перерізу 122232 збігається з фронтальним слідом площини. Горизон­тальна проекція перерізу визначена за до­помогою вертикальної відповідності.













Рис.1.5.18 Рис.1.5.19

Рис.1.5.20 Рис.1.5.21


Перетин похилої трикутної призми пло­щиною загального положення зображено на рис. 1.5.18. Тут використано косокутне допоміжне проекціювання на горизонталь­не поле проекцій П1, у напрямі фронталі площини. При такому проекціюванні пло­щина спроекціюється своїм горизонтальним слідом hІ, а ребра призми — пучком паралельних прямих. Напрям пучка діста­немо, якщо візьмемо, наприклад, на ребрі А D точку D та спроекціюємо її в напрямі фронталі на поле П1 у точку D1. Напрям А1D1 є напрямом двох ребер, що проходять через точки B1 і С1. У перетині цих ребер з проекцією площини h1 матимемо три до­поміжні проекції: 11, 21, і 31 точок перетину ребер призми з січною площи­ною. Зворотним проекціюванням у напрямі фронталі знаходимо точки 11, 21 і 31, а потімфронтальні проекції цих то­чок. Сполучаючи їх, діста­немо трикутник пере­різу.

Перетин піраміди площиною загального положення зображено на рис.1.5.19. Площину задано двома паралельними прямими т і п. Тут застосовано косокутне допоміжне проекціювання на пло­щину основи піраміди у напрямі цих прямих. При такому проекціюванні пряма т спроекціюється точкою m1, а пряма п — точкою п1. Сполучивши ці точ­ки, дістанемо допоміжну проекцію січної площини. У цьому самому напрямі спро­екціюємо вершину піраміди S. Дістанемо точку S1. Сполучивши її з вершинами ос­нови піраміди, визначимо допоміжні про­екції ребер піраміди, які в перетині з допо­міжною проекцією площини дають точки 11, 21, і З1. Оберненим проекціюванням зна­ходимо горизонтальні й фронтальні проекції точок на ребрах піраміди. Сполучивши їх, знайдемо проекції трикутника перерізу.

Перетин площиною загального положен­ня, заданою двома паралельними прямими, і тетраедра загального положення зображе­но на рис. 1.5.20. Тут використано косокутне допоміжне проекціювання на площину відповідності (бісекторну площину II та IV чвертей простору) у напрямі прямих, що задають січну площину. Пряма т спроек­ціюється точкою т4, а пряма п — точкою m4. Ці дві точки визначають допоміжну ко­сокутну проекцію площини. В цьому на­прямі на цю саму площину проекціюються вершини тетраедра. їхніми допоміжними проекціями є точки А4, В4, С4, D4. Сполучив­ши ці точки відрізками, визначимо косокут­ну проекцію тетраедра. Як бачимо, площи­на перетинає тетраедр по чотирикутнику 14243444. Провівши зворотні промені до пе­ретину з відповідними ребрами, знайдемо основні проекції вершин чотирикутника перерізу. При правильній побудові фрон­тальні й горизонтальні проекції відповідних вершин чотирикутника лежатимуть на спільних вертикальних лініях сполучення.

Перетин октаедра площиною загально­го положення зображено на рис. 1.5.21. Щоб знайти фігуру перерізу, використаємо проекціювальні площини, які проходять через центр октаедра і паралельні трьом площи­нам проекцій П1, П2 і П3.

Горизонтальна площина Ф перетне ок­таедр по квадрату, а січну площину — по горизонталі. При перетині на полі П1 квад­рата А1B1C1D1 з цією горизонталлю діста­немо точки 11 і 21. За горизонтальними про­екціями визначимо їхні фронтальні про­екції. Щоб знайти точки З і 4 на фронталь­ному обрисі октаедра, проведемо через ньо­го фронтальну площину Λ, яка перетне ок­таедр по фронтальному обрису, а січну пло­щину — по фронталі. Дістанемо точки 32 і 41. Їхні горизонтальні проекції визначимо за допомогою вертикальних ліній сполу­чення. Для визначення точок 5 і б, інцидентних профільній площині, яка проходить через центр октаедра, повернемо цю пло­щину на 90° навколо вертикальної осі і, що проходить через даний центр. При цьому профільний обрис повністю суміститься з фронтальним квадратом, а профільна пря­ма L1К1 перейде в положення L1К1. За го­ризонтальною проекцією цієї прямої виз­начимо її фронтальну проекцію L2К2, яка в перетині з фронтальним обрисом утворить повернуті проекції шуканих точок 52 та 62. Відновлюючи їх у профільній площині, дістанемо точки 52 і 62. Сполучаючи по­слідовно шість точок, матимемо проекції фігури перерізу.

Перетин додекаедра площиною загаль­ного положення θ, заданою слідами, зоб­ражено на рис. 1.5.22. Для знаходження пе­рерізу використовуємо три горизонтальні січні площини Г, Λ і Ф. Площину Г прове­демо через верхню основу додекаедра. Вона перетне площину θ по горизонталі, відрізок якої в межах верхньої основи визначає сто­рону A1B1 шуканого перерізу. Площину Λ проведемо через точки 15, 13, 11, 19, 17. У перетині горизонталі площини Λ з лінією 15—13 дістанемо точку С1, яка разом з точ­кою А визначає відрізок у грані 8—7—13— 14—15, а в перетині цієї самої горизонталі з відрізком 11—19 матимемо точку D, яка разом з точкою В визначає відрізок у грані 6—10—19—20—11. За допомогою січної площини Ф так само знайдемо точки Е1 і F1. Побудову перерізу шестикутника за­кінчено.

1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Тема: Основні положення iconТема предмет вивчення курсу, основні поняття, методи та основні цілі курсу Предмет курсу, історичний розвиток міждержавних економічних зв язків
Основні положення Указу Президента України "Про застосування Міжнародних правил інтерпретації комерційних термінів" від 4 жовтня...
Тема: Основні положення iconПоложення про речове право 25 Тема №18. Право власності 25 Тема №19. Право спільної власності 25 Тема №21. Речові права на чуже майно 25 Тема №22. Загальні положення про право інтелектуальної власності 25
Тема №15. Особисті немайнові права, що забезпечують природне існування фізичної особи 24
Тема: Основні положення iconПоложення про речове право 25 Тема №18. Право власності 25 Тема №19. Право спільної власності 25 Тема №21. Речові права на чуже майно 25 Тема №22. Загальні положення про право інтелектуальної власності 25
Тема №15. Особисті немайнові права, що забезпечують природне існування фізичної особи 25
Тема: Основні положення icon1. Загальні положення та терміни
Положення про Науковий репозитарій (електронний архів) Чернівецького національного університету імені Ю. Федьковича (далі репозитарій)...
Тема: Основні положення iconТема №1
Тема № Основні поняття соціолінгвістики «соціолект», «жаргон», «сленг», «арго»
Тема: Основні положення iconПоложення про диференційний захист. Основні положення про дистанційний захист. Основні види автоматики електроенергетичних систем
Теоретичні основи електротехніки. Промислова електроніка та перетворювальна техніка. Електричні машини. Електрична частина станцій...
Тема: Основні положення iconТема 1
Тема Суть та основні етапи еволюції грошових І кредитних систем країн з розвиненою ринковою економікою
Тема: Основні положення iconЗміст тем курсу тема предмет вивчення курсу, основні поняття, методи та основні цілі курсу
Зед; принципи та види зед; правові засади на здійснення зед; органи державного регулювання та місцевого управління зед та їх основні...
Тема: Основні положення iconТема 1
Тема Суть та основні етапи еволюції грошових І кредитних систем країн з розвиненою ринковою економікою -2 год
Тема: Основні положення iconЗміст навчальної дисципліни Лекція Загальні положення цивільного права. Основні поняття
Загальні положення цивільного права. Основні поняття: Поняття, предмет І метод цивільного права. Функції та принципи цивільного права....
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи