Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие icon

Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие




НазваТ. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие
Сторінка10/11
>Т.П. Волкова<><><>Математические методы в экологической геологи
Дата20.03.2013
Розмір3.08 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

U= f(x,y)+? (7.12)


Компонента f(x,y) представляет собой закономерную составляющую поля, характерную для отдельных участков изучаемой территории (области повышенных концентраций токсичного элемента, высотных отметок рельефа, геофизических параметров, мощностей рудного тела и т.д.). Случайная компонента позволяет выявить локальные отклонения на участках от общих региональных закономерностей (тренда) изменения всего поля в целом. Необходимо дать математическое описание функции f(x,y) и выполнить оценку случайной компоненты ? при некотором предположении о f(x,y). Например, для конкретной геохимической задачи значения функции f(x,y) устанавливают характер изменения фоновых значений поля распределения содержаний элемента в почвах. А учет значений ? позволяет выявлять аномалии, как отклонения от функции f(x,y). Закономерная составляющая поля может быть описана с помощью полинома k-го порядка:

(7.13)

Коэффициенты этого полинома при различных степенях координат (x,y) определяются из условия наилучшего совпадения сглаженных данных с исходными. Критерием его проверки служит способ наименьших квадратов. Он изучался нами в регрессионном анализе для зависимой переменной в одномерном варианте. В тренд-анализе сумма квадратов отклонений исходных данных (Ui) от значений тренда (f(xi,yi) должна быть наименьшей для оптимального полинома.. Поэтому тренд-анализ можно считать разделом многомерного регрессионного анализа, а построение изолиний ─ обобщением теории интерполяции.

Сущность метода рассмотрим на примере определения двумерного тренда отметок подошвы меловых отложений, экранирующих нефтяную толщу, в пределах площади, показанной на рисунке 7.4.

Рис. 7.4 Карта скважин с замерами абсолютных отметок подошвы меловых отложений (По Дж. Дэвису)

Тренд определяется как линейная функция географических координат (х, у), построенная по совокупности наблюдений методом наименьших квадратов. Это означает, что сумма квадратов отклонений значений признака от плоскости тренда должна быть минимальной. Поэтому тренд можно рассматривать как вариант регрессионного анализа, в котором в качестве независимых переменных выступают пространственные координаты, а зависимой переменной является изучаемая пространственная переменная - абсолютные отметки подошвы меловых отложений. Поэтому уравнение тренда ищем в виде:

U=β01x+β2y (7.14)

Для оценки трех коэффициентов составляется система уравнений.

ΣU= β0 n+ β1Σx+ β2Σy

Σxy= β0Σx+ β1 Σx2+ β2Σxy (7.15)

ΣyU= β0 Σy+ β1 Σxy + β2 Σy2

n - число точек наблюдения;U- значения признака в точках наблюдения; x,y- пространственные координаты.

Исходные данные и расчеты приведены в таблице 7.1.

Таблица 7.1

№ п/п

Координаты

Абс.отметка

U, м

Отметка плоскости тренда,Ŭ ,м

Разности

(U- Ŭ), м




Х, км

У, км

1

10

17

-665

-606,6

-58,3

2

21

89

-613

-695,7

82,7

3

33

38

-586

-537,8

-48,1

4

35

20

-440

-492,8

52,8

5

47

58

-544

-510,2

-33,7

6

60

18

-343

-369,2

26,2

7

65

74

-455

-455,5

0,5

8

82

93

-437

-411,5

-25,4

9

89

60

-354

-313,0

-40,9

10

97

15

-142

-186,0

44,1


Для построения плоскости тренда вычисляются суммы:

Σx=539; Σy=482; ΣU=-4579;

Σx2=36934 Σy2=31692; Σx*U= -211098;

Σx*y=27030; Σy*U= -232342

Подставляя значения сумм в систему уравнений и решая их относительно коэффициентов, находим: β0 =-621,0; β1 =4,8; β2= -2. Затем по уравнению (7.14) находим значения отметок плоскости тренда (Ŭ) в каждой скважине и разности (U-Ŭ), характеризующие величину случайной составляющей - отклонения плоскости тренда от исходных наблюдений. По рассчитанным данным построена поверхность тренда (рис.7.5).

Рис. 7.5 Поверхность тренда абсолютных отметок подошвы меловых отложений


Оценка погрешности тренда выполняется по формулам:

(7.16)

(7.17)

SSD=SST-SSR=21463,5 (7.18)

(7.19)

(7.20)


Таким образом, плоскость тренда учитывает 90% общей изменчивости (см. формулу 7.19), а коэффициент множественной корреляции составляет 0,95. Для математического описания закономерностей периодического изменения геолого-экологических показателей применяется тренд-анализ с аппроксимацией наблюдаемых значений в пространстве тригонометрическими полиномами. С примерами решения таких задач можно познакомиться в дополнительной литературе.


7.5.2 Методы скользящего среднего

Закономерная составляющая природной изменчивости обычно настолько сложна, что выразить ее аналитически как функцию координат не всегда удается. Для получения аналитической зависимости требуемой точности с помощью тренд-анализа приходится использовать полиномы очень высокой степени. Кроме того, совокупности многих наблюденных признаков чаще всего не удовлетворяют требованиям непрерывности и плавности, необходимых для качественного графического изображения полей пространственных переменных. В таких случаях производят сглаживание данных скользящими статистическими окнами, размеры которых подбираются эмпирически.

Методы скользящего среднего, широко применяемые на практике, не имеют достаточного математического обоснования. При сглаживании ряда в него всегда вносится некоторая ложная взаимозависимость между соседними, рассчитываемыми значениями, обусловленная техникой процесса сглаживания. Характер скользящей средней зависит от числа проб в скользящем окне, способа сглаживания и числа последовательных сглаживаний.

Существо метода заключается в последовательном определении средних, «сглаженных» значений для соседних m точек, характеризующих размер окна, и со сдвигом окна на половину его размера. Полученные значения средних относят координатно к центральной точке скользящего окна. При неравномерных наблюдениях в окно может попадать различное число исходных точек наблюдения. Общая формула простейшего среднеарифметического способа сглаживания исходных данных может быть записана следующим образом:

Ũ= f (x,y) = где x, y - координаты центра скользящего окна; n - число точек в сглаживающем окне.

Поскольку при увеличении числа точек в скользящем окне получаемая скользящая средняя все больше изменяет и сдвигает максимальные и минимальные значения показателя, то на практике более широко используются способы взвешенного сглаживания исходных данных. Они обеспечивают меньшее отклонение «сглаженных» значений от наблюдаемых полей пространственных переменных. В общем виде формула взвешенного сглаживания записывается так :

Ũ= f (x,y) =

где x, y - координаты центра скользящего окна; K(ζ,η) - коэффициенты, зависящие от координат (ζ,η) точки наблюдения в пределах скользящего окна; u(ζ,η) - наблюденные значения признака в пределах скользящего окна; V - нормировочный множитель.


В зарубежной практике используются сглаживающие полиномы Вулхаса (15-ти точечная схема сглаживания), Спенсера (20-ти точечная схема сглаживания), Шеппарда (24-х точечная схема сглаживания) и т.д. Вид весовой функции изменяется от одной схемы скользящего среднего к другой. Но большинство методов скользящего среднего, так или иначе, использует расстояния от оцениваемой точки до исходных точек наблюдения. В отечественных работах (В.Ф. Мягков, 1984) наиболее популярна 5-ти точечная схема сглаживания:

Ũi = 0,0625*(ui-2 + 4 ui-1 +6 ui +4 ui+1 + ui+2)

Для граничных точек последовательного сглаживаемого ряда формула несколько изменяется. Для первой и последней точек профиля сглаженные значения вычисляются так:

Ũ1 = 0,09*(6 u1+4 u2 + u3)

Ũn = 0,09*(un-2 + 4 un-1 +6 un);

для второй и предпоследней:

Ũ2 = 0,067*(4 u1 +6 u2 +4 u3 + u4)

Ũn-1 = 0,067*(u n-3 + 4 un-2 +6 un-1 +4 un+ ui+2)

Аналогично расчету среднего методом скользящего окна могут определяться дисперсии, коэффициенты корреляции и другие статистические параметры.

Способы, основанные на сглаживании или преобразова-нии исходных данных, просты и наглядны, но обладают сущест-венными недостатками:

  • они не дают объективных количественных критериев для оценки значимости выявленных закономерностей. Вопрос о наличии закономерностей решается по виду сглаженных графиков или поверхностей. При этом “закономерности” могут быть искусственными, поскольку процесс сглаживания обусловливает корреляцию между соседними значениями;

  • результаты сглаживания существенно изменяются в зависимости от вида и размера скользящего окна. Выбрать оптимальный способ преобразования можно либо путем перебора вариантов, либо с помощью дополнительной информации о характере изменчивости показателя.


7.6 Анализ карт

Путем введения новых пространственных переменных расширяется круг решаемых задач. Анализ поверхностей тренда, пожалуй, единственный широко применяемый способ анализа карт. Но реализации этого метода на компьютере приводит к появлению аномальных и, с трудом поддающихся интерпретации результатов картирования.

Двумерные методы скользящего среднего являются обобщением процедуры сглаживания данных. В общем случае требуется оценить переменную в ряде точек сети или приписать значения последовательно примыкающим друг к другу квадратам или прямоугольникам на карте. Данные, на основании которых делаются оценки, разбросаны на площади карты и могут лежать или не лежать в узлах сети. Фигура, аналогичная сглаживающему интервалу в анализе временного тренда, располагается так, чтобы ее центр лежал в точке, в которой должна быть получена оценка. Всем данным точкам, лежащим внутри этой фигуры, например, квадрата или круга, приписываются некоторым образом веса, которые затем используются при получении оценки в центральной точке. Простейшая схема метода скользящего среднего состоит в том, что оцениваемой точке приписывается значение, равное среднему арифметическому всех наблюдений, лежащих внутри рассматриваемой фигуры. Фигура затем передвигается в следующий узел сетки, и процесс повторяется снова. Когда будут вычислены оценки для одной строки или столбца сети, переходят к следующей строке или столбцу, и так до тех пор,
пока вся площадь карты не будет покрыта полностью.

Для геолого-экологических работ характерно широкое применение карт, которые являются самым компактным и эффективным средством выражения зависимостей и различных деталей в строении сложных природных объектов. Карты — это средство обучения и работы геологов-экологов.

Геолого-экологические исследования обычно выполняют в реальном трехмерном мире. Но представление их результатов в значительной степени остаются двумерными. Это связано с тем, что третьим измерением обычно является глубина и сеть наблюдений в этом направлении значительно отличается от двух других, сделанных на поверхности. При некоторых исследованиях глубина бывает лишь частично доступна для изучения, а чаще, наоборот, имеет большую детальность по сравнению с двумя другими измерениями. Например, при геолого-геохимическом изучении территории с помощью буровых скважин используют сплошное опробование с последующим анализом проб. Кроме того, привычным представлением геологических данных являются карты, фотографии, разрезы, которые являются плоскостным, двумерным изображением. Предметом исследования могут быть геологические характеристики пород, доступные для изучения на глубине, в горных выработках на различных уровнях. Эти характеристики образуют сложную трехмерную сеть, которую для наглядного представления нужных зависимостей требуется изобразить в виде плоской проекции. В настоящее время, в связи с внедрением компьютеризации стала возрастать роль автоматического построения карт. Выполняется построение не только двумерных, плоскостных карт и разрезов, но и объемных, трехмерных изображений объектов. Однако теоретические аспекты автоматизации их построения развиты весьма слабо. Большинство способов сравнения карт между собой введено географами, хотя геологам постоянно приходится сравнивать карты, отыскивая в них элементы сходства. Наиболее широко применяются методы автоматизированного построения карт при поисках и разведке месторождений нефти и газа. Однако, очень мало известно об алгоритмах, используемых при построении карт на компьютерах и о сравнительных преимуществах различных возможных подходов к их разработке. Недостаточно изучен также вопрос надежности или эффективности карты. Методы анализа карт, как правило, основываются на обобщении ранее изученных статистических методов. Безусловно, такое автоматизированное построение значительно упрощает сложное строение природных объектов. Но чем более детально изучены свойства в процессе поисков и разведки месторождений, эколого-геохимической съемки, тем более достоверные карты будут получены для работы. Но есть свои преимущества для анализа карт как в построении поверхностей тренда, так и в использовании методов сглаживания с помощью скользящего среднего.


8 Многомерные методы обработки данных


Любое эколого-геологический объект или процесс может быть охарактеризован множеством признаков, поддающихся наблюдению или измерению. Изучаемые объекты (или процессы) зависят от большого числа факторов, каждый из которых описывается группой признаков. Поэтому только многомерное признаковое пространство может обеспечить детальное описание для достоверного моделирования.

В качестве математической модели рассматривается многомерная случайная величина, которая имеет нормальное (или возможность нормализации) статистическое распределение. Вследствие сложных корреляционных зависимостей между природными факторами, а следовательно, и между описывающими их признаками, эти условия трудно выполнимы. В этом случае с помощью многомерных методов необходимо исследовать весь изучаемый объект в целом и по частям, рассматривая его как систему с несколькими уровнями взаимодействия признаков. Эти задачи решают многомерные методы обработки данных, которые сложны как с теоретических позиций, так и методологических.


8.1 Многомерный корреляционный анализ


Оценка парной корреляции двух случайных величин X и Y является упрощенным, частным случаем в исследовании геологических объектов. Более распространенной в окружающей нас эколого-геологической среде является множественная корреляция, когда изменение одной переменной зависит от изменения множества других. При исследовании таких связей возникает две существенно отличных друг от друга задачи:

  • определение тесноты связи между парами показателей, когда влияние других исключено;

  • оценка линейной зависимости между одним из показателей (функцией) и остальными (аргументами).

Метод частной корреляции при изучении объекта в многомерном признаковом пространстве позволяет при расчете коэффициента корреляции между двумя признаками устранить влияние остальных. Показатель, характеризующий тесноту линейной связи между двумя признаками X и Y, когда влияние других исключено, называется частным коэффициентом корреляции. Для трех признаков – X, Y, Z могут быть вычислены следующие частные коэффициенты корреляции:

  • взаимодействие между X и Y при фиксированном Z -

(8.1);

  • взаимодействие между X и Z при фиксированном Y-

(8.2);

  • взаимодействие между Y и Z при фиксированном X -

(8.3);

Величина частного коэффициента корреляции, как и любого линейного коэффициента корреляции, меняется в пределах от -1 до +1. Значимость частных коэффициентов корреляции определяют так же, как и парных, при f=N-(m+2), где m- число закрепляемых признаков.

Пример. В результате обработки данных анализа пятидесяти проб на элементы X, Y, Z получены следующие статистики: ; ; ; S(x)=0,50; S(y)=10; S(z)=5; rxy=0,60; rxz=0,80; ryz=0,70. При N=50; критическое значение коэффициента корреляции r0,05=0,26, то есть полученные коэффициенты являются значимыми. Частные коэффициенты корреляции:









Коэффициент корреляции между X и Y при закрепленном Z стал незначим, то есть связь между ними обусловлена взаимодействием содержаний этих элементов с содержаниями элемента Z. Связь между содержаниями элементов Y и Z, X и Z стала слабее, чем без закрепления содержаний третьего элемента, но осталась значимой. Это означает, что она реально существует в природе, а не обусловлена влиянием третьего элемента.

Показателем тесноты линейной связи между одним из признаков и всеми остальными является коэффициент множественной корреляции (R). Это всегда положительное число, изменяющееся в пределах от 0 до 1. Равенство R=0 свидетельствует об отсутствии линейной связи между X и остальными переменными; при R=1 связь линейная функциональная. Например, для оценки зависимости X от Y и Z коэффициент множественной корреляции вычисляют по формуле:


(8.4);


Коэффициент множественной корреляции всегда не меньше соответствующих парных коэффициентов корреляции, то есть Значимость коэффициента множественной корреляции определяется с помощью табл. 8 приложения, при числе степеней свободы: f=N-m-2, где m- число признаков.

Пример. Определить коэффициент множественной корреляции для зависимости элемента Z от элементов X и Y, используя данные предыдущего примера:





Так как , то значение коэффициента множественной корреляции следует считать значимым.

Если выборки значений изучаемых признаков согласуются с m-мерным нормальным распределением, то достоверности частных и множественных коэффициентов корреляции могут быть определены путем проверки статистических гипотез с определением вероятных доверительных областей.

Для изучения связей в многомерном признаковом пространстве используют и более сложные статистические оценки. Например, каноническая корреляция измеряет силу связи между множествами случайных величин. Суть ее заключается в нахождении таких линейных комбинаций подмножеств исходных случайных величин, которые дают максимальную корреляцию.


8.2 Многомерный регрессионный анализ


В отличие от рассмотренной выше двумерной регрессии в методах множественной регрессии зависимая переменная ^ Y рассматривается как функция не одной, а нескольких независимых переменных – Х1, Х2, … Хm . Различают линейную и нелинейную множественную регрессию. В случае линейной зависимости уравнение множественной регрессии для зависимой переменной Y относительно m независимых переменных Х1, Х2, … Хm имеет вид:

(8.11);

где - коэффициенты регрессии.

Этому уравнению соответствует так называемая гиперплоскость, то есть плоскость m-мерного пространства. Использование метода наименьших квадратов для расчета коэффициентов множественной регрессии позволяет наилучшим способом учесть тенденцию расположения наблюденных точек в m-мерном признаковом пространстве и оценить совместное влияние всех изучаемых показателей на зависимую переменную. В задачу этого метода входит оценка общего вклада всех показателей (R2) в изменчивость зависимой переменной (Y), а также определение относительного влияния каждого признака с помощью коэффициентов .

Множественная регрессия строится на основе учета всех возможных взаимодействий между переменными и их сочетаниями. Как и для простой регрессии, множественный регрессионный анализ сводится к вычислению по совокупности n наблюдений с показателями X1, X2, …, Xm, Y значений коэффициентов уравнения ?0, ?1, ?2,…, ?m.

В матричной форме уравнение (8.11) записывается как:

[?Y] = [?X] [?] (8.12);

где [?Y]-вектор-столбец, состоящий из сумм квадратов и

смешанных произведений зависимой переменной Y со

всеми независимыми переменными X1, X2, …, Xm;

[?X] – матрица сумм квадратов и смешанных

произведений независимых переменных X1 , X2 , …, Xm

[?] – вектор-столбец искомых коэффициентов регрессии.


Коэффициенты регрессии ?i, рассчитываются как частные коэффициенты регрессии, характеризующие изменения данной независимой переменной при условии, что влияние всех остальных переменных устранено. Они называются «весом» соответствующей независимой переменной в изменчивости зависимой переменной.

Приведенное уравнение (8.12) может быть решено путем обращения матрицы [?X]. Однако, в процессе обращения матрицы возникают вычислительные трудности, связанные с резким возрастанием числа цифр в суммах квадратов, что приводит к потерям значащих цифр при их округлении. Поэтому для решения уравнений обычно используются корреляционные матрицы зависимой и независимой переменных [R], со стандартизованными частными коэффициентами регрессии типа:

Bk=?k*Sk/Sy (8.13);

где Sk, Sy - оценки стандартных отклонений независимой

(Xk) и зависимой (Y) переменных соответственно.


В матричной форме уравнение имеет следующий вид:

[R]*[B]=[rxy], (8.14)

где [rxy] – вектор коэффициентов корреляции между

переменными Y и X1,2…m


Решение этого уравнения относительно искомых коэффициентов выполняется с обращением матрицы [R]-1:

[B] = [R]-1 [rxy] (8.15)

Рассчитанные коэффициенты В переводятся в ? по формуле ?k=Bk (Sy /Sk) ,а постоянный член ?0 рассчитывается по формуле ?0=. Оценка общего вклада всех независимых переменных в оценку y определяется значением квадрата множественного коэффициента корреляции R2. R=1-1/Cii (где Сii -диагональный элемент матрицы [R]-1, обратное корреляционной матрице [R]). Для сравнительной оценки вклада каждой зависимой переменной коэффициент R2 сначала рассчитывается для пары y и xk с максимальным коэффициентом корреляции, а затем последовательно с тремя и более переменными (до m переменных).

Рассмотрим на примере трехмерного признакового пространства построение уравнения множественной регрессии методом подстановки, рассмотренном ранее для двумерной регрессии.

Исходными данными служит выборка из ^ N точек наблюдений, в которых замерено три признака - x y z. Уравнение для зависимой переменной (z) ищется в виде:

(8.16);

Коэффициенты А и В рассчитываются по аналогии с ранее приведенными формулами 6.7-6.9:

(8.17);


Уравнение 8.16 с коэффициентами 8.17 описывает обычную плоскость в трехмерном пространстве. Оно позволяет вычислять теоретические (вероятные) значения зависимой переменной по заданным значениям независимых переменных в области их изменения. Как правило, оно пригодно только внутри этой области. В отдельных случаях, после тщательного анализа сущности изучаемого влияния, допускается некоторая экстраполяция.


Пример. В результате обработки данных анализа 100 проб получены следующие статистики для трех элементов:=2; S(x)=2; rxy=0,50; =30; S(y)=10; rxz=0,65;=10; S(z)=10; ryz=0,60.

Составить уравнение регрессии z по x и y.

Рассчитаем коэффициенты уравнения множественной регрессии:




Подставляя эти значения в уравнение регрессии, получим:

Z – 10 = 2,35*(x-2) + 0,37*(y-30);

Z = 2,35x + 0,37y – 5,8.


Модели множественной регрессии используются для предсказаний значений зависимой переменной по набору независимых переменных (например, концентраций рудного элемента по содержаниям породообразующих элементов; объёмной массы руды по объёмным массам тяжелых минералов в рудах; глубины формирования минерала по содержаниям в минералах элементов-индикаторов и т.д. ).


8.3 Проверка однородности линейно упорядоченных в пространстве наблюдений


При решении разнообразных геологических (членение немых толщ, построение классификаций пород, выделение аномалий и т. п.) и экологических (оценка влияния промышленных объектов) задач бывает невозможно, определить границу между сравниваемыми объектами. Интуитивно ясно, что граница должна проводиться там, где рассматриваемый признак испытывает наибольшее изменение, а не там, где он ведет себя стабильно. Определение границ необходимо проводить по одному признаку Решение задачи следует искать по всему комплексу имеющихся признаков. Имеем n наблюдений с определением в них m признаков, то есть матрицу вида:


x11 x12 … x1j … x 1m

………………………………

X21 x22 … x2j … x 2m

………………………………

xn1 xn2xnjx n m

Менять заданное расположение объектов (точек наблюдения) в ней не разрешается. Проверка однородности рассматриваемой совокупности может быть осуществлена с помощью формулы:

(18)

где к - порядковый номер очередной граничной точки (1≤kn-1).


Из всех Vk выбирают максимальное и сравнивают с χ2 при принятом уровне значимости и имеющемся числе степеней свободы f=m. Если (Vk)max≥χ2a(m), то совокупность считается однородной, иначе проверяют неоднородность каждой из получившихся совокупностей. Процесс дробления продолжают до тех пор, пока все выделенные участки не окажутся однородными.

Например, в нижеследующей таблице приведены данные о содержаниях трех форм фораминифер и окончательные результаты расчленения пород данным методом.


№№ проб

Значения признаков

Vk

№№ проб

Значения признаков

Vk




X

Y

Z




X

Y

Z

1

0

1

0




15

3

20

2




2

0

2

0




16

4

17

2




3

0

4

0




17

4

16

3




4

0

4

0

14,44

18

6

26

3




5

3

7

0




19

5

37

3




6

4

9

1




20

5

31

4




7

2

5

0




21

6

27

1




8

4

10

1




22

3

18

5




9

3

6

0

17,68

23

4

13

2




10

3

13

0




24

4

20

9

20,03

11

6

15

0




25

0

0

5




12

6

17

2




26

0

10

7




13

7

13

2

11,27

27

1

6

0




14

3

17

1




28

2

1

2




При просчете по всем пробам значение Vmax=30,44 пришлось, на интервал между точками 24 и 25, для верхней части таблицы было получено значениеVmax=32,11, а для нижней 3,23 что меньше допустимого Х2 0,05 (3}=7,82; для интервала проб 1-9 Vmax =14,44(между точками 4 и 5), а 10—24 — 11,27 (между, точками 13—14). В интервалах проб 1—4, 5—9, 10— 13, 14-24-максимальные значения критерии составили 2,69; 2,75;-4,59 и7,04, что меньше допустимого и свидетельствует об однородности пород.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Схожі:

Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconУчебное пособие по курсу: «логистика» г. Симферополь 2005 г. Скоробогатова Т. Н. Логистика: Учебное пособие: 2-е изд
Учебное пособие представляет собой лекции преподавателя тну, кандидата экономических наук Скоробогатовой Т. Н. и содержит основные...
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconЕнергетике рекомендовано Министерством образования и науки Украины как учебное пособие для студентов электроэнергетических специальностей высших учебных заведений Харьков 2003
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих курсы: "Применение ЭВМ в электроэнергетике"; "Электрические системы и сети";...
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconУчебное пособие для студентов высших учебных заведений
Рекомендовано ученым советом Сумского государственного университета как учебное пособие
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconУчебное пособие Издание третье
А 72 Антипов К. В., Баженов Ю. К. Паблик рилейшнз: Учебное пособие. – 3-е изд., перераб и доп. – М.: Издательский Дом «Дашков и К°»,...
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconЕ. В. Смирнова пропедевтика внутренних болезней учебное пособие
Настоящее учебное пособие призвано оказать помощь курсантам в овладении основами врачебной деятельности методикой обследования
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconТ. В. Психология современной семьи. Спб.: Речь, 2005 с. Анцупов А. Я., Баклановский С. В. Конфликтология в схемах и комментариях: Учебное пособие
Анцупов А. Я., Баклановский С. В. Конфликтология в схемах и комментариях: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. — Спб.: Питер, 2009....
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconУчебное пособие под редакцией
Учебное пособие подготовлено коллективом авторов пре­подавателей кафедры документоведения и организации госу­дарственного делопроизводства...
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconУчебное пособие под редакцией доцента
Учебное пособие'подготовлено коллективом авторов — пре­подавателей кафедры доиу-ментоведения и организации госу­дарственного делопроизводства...
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconУчебное пособие под редакцией доцента
Учебное пособие'подготовлено коллективом авторов — пре­подавателей кафедры доиу-ментоведения и организации госу­дарственного делопроизводства...
Т. П. Волкова Математические методы в экологической геологии Учебное пособие iconЕ. А. Фокина пути освоения техники гинекологических операций учебное пособие
Учебное пособие предназначено для врачей-интернов, клинических ординаторов, аспирантов и врачей акушеров-гинекологов
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи