Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” icon

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”




Скачати 442.07 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”
Сторінка2/4
Дата21.08.2012
Розмір442.07 Kb.
ТипДокументи
1   2   3   4

Таким чином, диференціал функції однієї змінної – це частина прирощення функції, пропорційна прирощенню її аргументу.

Для незалежної змінної диференціал збігається з прирощенням: dх=Δх.

Співвідношення виконується тим точніше, чим менше прирощення Δх=dх. У фізиці часто малі величини називають елементарними. Елементарне прирощення функції практично збігається з її диференціалом: . Звичайно, елементарними, тобто досить малими можуть бути й величини, які не є прирощенням. Наприклад, елементарна робота в загальному випадку не є елементарним прирощенням, тобто диференціалом якої-небудь величини.

У табл. 2.1 наведені для довідок похідні деяких функцій, які найбільш часто використовуються в курсі фізики.


Таблиця 2.1


Функція

Похідна

Функція

Похідна

С (постійна)

0

sin x

cos x

X

1

cos x

- sin x

xn

nxn-1

tg x







ctg x







arcsin x







arcos x







arctg x



ex

ex

arcctg x



ax

axlna







ln x









log a x









lg x











2.2. Наближене обчислення функцій


Для наближеного обчислення функції можна скористатися формулою (2.4). Якщо врахувати, що Δу=у(х1)-у(х0), то виходить

.

(2.6)


Формула (2.6) може бути уточнена:



(2.7)

Подальші доданки у формулі (2.7) містять члени (Δх) 3, (Δх) 4 і т.ін. Якщо Δх мале, то члени с (Δх) 2, (Δх) 3 і т.ін. будуть ще в багато разів меншими. Наприклад, якщо Δх=0,1, то (Δх) 2=0,01, (Δх) 3=0,001 і т.ін. Тому коли Δх – мала величина, можна в першому наближенні скористатися найпростішою формулою (2.6). Результат буде тим точнішим, чим менший Δх.

Розглянемо у=(1+х) n – біном Ньютона. Тут х0=1, х1=1+х, Δх=х; у(х0)=1; (х0)=n. З формули (2.6) знаходимо:

(1+х) n  1+nх.

(2.8)

Формула (2.8) годиться для будь-яких, а не тільки для цілих значень n. Наприклад, при маємо ; при n= -1 маємо .

Бувають випадки, коли застосування наближеної формули дозволяє отримати більш точний результат, ніж на калькуляторі з більшим числом розрядів. Наприклад, при обчисленні виразу на звичайному восьмирозрядному калькуляторі отримаємо нуль, а за допомогою наближеної формули (2.8) одержимо більш точну відповідь – одиницю (з точністю дванадцять знаків після коми).


2.3. Похідні й диференціал функції багатьох змінних


Функція багатьох змінних може змінюватися внаслідок зміни кожної змінної. Наприклад, функція трьох змінних u=f(x, y, z) буде змінюватися при зміні кожної змінної x, y, z. Якщо x, y, z – координати точки в просторі, то функцію часто записують коротше: u=f(), де – радіус-вектор.

Якщо зафіксувати всі змінні, окрім однієї, то функція багатьох змінних перетвориться у функцію однієї змінної й до неї застосоване все наведене вище. Наприклад, якщо зафіксувати змінні y, z, тобто покласти у=const, z=соnst, то функція u=f(x, y, z) перетвориться у функцію тільки змінної х.

Похідна функції, в якій зафіксовані всі змінні окрім однієї, називається часткою похідної. Наприклад, окрема похідна функції u=f(x, y, z) по змінній х (позначається ) обчислюється за умови: у=const, z=соnst. Геометрично часткова похідна визначає швидкість зміни функції в напрямку осі X. Аналогічно, і визначають швидкість зміни функції уздовж осей У та Z.

Відповідно до формул (2.4) і (2.5) величини , і визначають елементарні збільшення (часткові диференціали) функції u=f(x,y,z) внаслідок зміни кожної змінної (координати) x, y, z. У загальному випадку, коли змінюються всі змінні, повний диференціал (сумарне збільшення функції) дорівнюватиме сумі окремих диференціалів:

.

(2.9)



2.4. Градієнт скалярної функції


Із зіставлення формул (2.9) і (1.5) видно, що повний диференціал du є скалярний добуток вектора d=(dx, dy, dz) і вектора з координатами (, , ). Цей вектор називається градієнтом функції u=f(x, y, z) і позначається grad u. Таким чином, координати градієнта в декартовій системі

grad u=(++),

(2.10)

де , та – одиничні орти вздовж осей x, y, z.

Можливе й більш компактне позначення градієнта: u. Символ читається „набла”. – векторний диференційний оператор Гамільтона:

=++.

Таким чином, повний диференціал можна записати як скалярний добуток векторів градієнта u і диференціала радіуса-вектора

du=u.

(2.11)

Повний диференціал du буде максимальний, коли елементарне переміщення паралельно градієнту u (див. п. 1.3). У цьому випадку з формули (2.11) випливає: . Якщо позначити модуль елементарного переміщення в напрямку, паралельному градієнту, через dr0, то зі співвідношення маємо:

.

(2.12)



^ ФІЗИЧНИЙ СМИСЛ ГРАДІЄНТА ФУНКЦІЇ


Із формул (2.11) і (2.12) випливає фізичний смисл градієнта. Градієнт – це вектор, напрямок якого вказує напрямок найшвидшого зростання функції, а модуль дорівнює похідній функції в цьому напрямку. Відзначимо також, що під час руху в напрямку, перпендикулярному до градієнта функції, тобто при u, прирощення (диференціал) функції дорівнює нулю, тобто функція залишається сталою.

Геометричне місце точок, в яких функція набуває даного фіксованого значення, утворить у тривимірному випадку поверхню, а на площині – лінію однакового рівня: u=С.

Сукупності значень константи С відповідає сімейство поверхонь або ліній рівня. Наприклад, якщо функція u – потенціал, то отримаємо сімейство еквіпотенціальних (рівнопотенціальних) поверхонь; якщо функція u – висота над рівнем моря, то на топографічній карті вийде сімейство ліній однакової висоти.

Проведемо лінії градієнта так, щоб у кожній точці напрямок лінії збігався з напрямком градієнта (вектор градієнта повинен бути дотичним до лінії).

Зі сказаного вище зрозуміло, що сімейство ліній градієнта ортогонально сімейству еквіпотенціальних поверхонь. Зокрема, якщо функція u – потенціал, то лінії градієнта (точніше „мінус градієнта”) – лінії напруженості електричного поля, які можна вважати й силовими лініями. На рис. 2.2 для прикладу показана картина ліній напруженості (суцільні лінії) і еквіпотенціальних ліній (пунктирні лінії) точкового електричного заряду (рис. 2.2). Напрямок ліній напруженості не зазначений, він залежить від знаку електричного заряду.





Рис. 2.2

Геометрична картина еквапотенціальних поверхонь (ліній) і ліній градієнта не тільки дає наочне уявлення про функції u=f(), але й дозволяє приблизно визначити градієнт функції. Модуль градієнта визначається з формули (2.12), в якій du замінено на Δu – різниця значень функції на двох сусідніх еквіпотенціальних поверхнях (або лініях), dr0 на Δr0 – відстань між сусідніми поверхнями (або лініями):

.

(2.13)

Напрямок градієнта в кожній точці очевидний з геометричної картини.


3. ІНТЕГРАЛ


3.1. Невизначений інтеграл


Функція F(х) називається первісною для функції f(х), якщо її похідна дорівнює f(х), тобто (х)=f(х). Первісні однієї й тієї ж функції f(х) можуть відрізнятися на постійну величину, тому що похідна від константи дорівнює нулю. Тому в даній функції f(х) є безліч первісних відмінних одна від одної на постійну величину. Ця безліч усіх первісних називається невизначеним інтегралом:

,

(3.1)

де f(х) – яка-небудь первісна, а С – довільна постійна. З формули (3.1) зрозуміло, що обчислення невизначеного інтеграла є дія, зворотна диференціюванню, тобто для її виконання досить знайти яку-небудь функцію F(х), щоб її похідна (х) дорівнювала підінтегральній функції f(х).

Зі співвідношення випливає:

.

(3.2)

У табл. 3.1 наведені невизначені інтеграли деяких функцій, які найчастіше використовуються в курсі фізики.


Таблиця 3.1

Ступеневі функції

Тригонометричні функції









Показні функції


















3.2. Певний інтеграл


Певний інтеграл виражається через первісні функції формулою Ньютона-Лейбніца:

.

(3.3)

Оскільки у правій частині формули (3.3) стоїть різниця первісних, то від вибору константи в первісній певний інтеграл не залежать: однакові константи в F(a) і F(b) знищуються при вирахуванні.

З'ясуємо геометричний зміст певного інтеграла (рис. 3.1). Величина dF, виражена формулою (3.2), дорівнює площі вузької смужки шириною dx і висотою f(x). Ширина смужки dx настільки мала, що значення функції f(x) у межах цієї площини можна вважати однаковими. Інтеграл є границею суми площ таких смужок, коли ширина кожної смужки dx прагне до нуля, а число смужок на площині від a до b прагне до нескінченності. У результаті виходить площа під кривою f(x), обмежена віссю абсцис і лініями x=a, x=b. Ця площа на рис. 3.1 заштрихована подвійним штрихуванням.




а dx b x


Рис. 3.1


Зміст інтеграла як границі суми елементарних величин зберігається і тоді, коли ці елементарні величини не є елементарними прирощеннями, тобто диференціалами. Звичайно, в цьому випадку формула (3.2) і формула Ньютона-Лейбніца (3.3), що випливає з неї, не мають місця. Елементарні величини, які не є диференціалами, прийнято позначати символом δ. Наприклад, елементарна робота δА не є в загальному випадку диференціал, тобто елементарне прирощення якоїсь іншої величини – первісної. Проте робота за даний час у даному процесі або на даній площині траєкторії може бути обчислена за допомогою інтеграла, тобто як сума елементарних робіт.

1   2   3   4

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка
Конспект лекцій для студентів 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 070101 “Транспортні технології (за видами...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconХарківська національна академія міського господарства методичні вказівки до самостійної роботи з вивчення курсу фізики для студентів 1-2 курсів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямками 0906 “Електротехніка”
Електротехніка”, 0708 “Екологія”, 0921 “Будівництво”, 0922 “Електромеханіка”, 0926 “Водні ресурси”, 1004 “Транспортні технології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка Частина Розрахунок на міцність повітряних ліній електропередач
...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства будівельна механіка
Конспект лекцій для студентів 3 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика
Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства в. А. Бардаков конспект лекцій з курсу «вступ до спеціальності»
Конспект лекцій з курсу «Вступ до спеціальності» (для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 030601...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Механіка (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства
Прикладна літоекологія та радіологія” (для студентів 3 курсу денної та 4 курсу заочної форм навчання спец. 070800 „Екологія та охорона...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання практичних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи