Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” icon

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”




Скачати 442.07 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”
Сторінка3/4
Дата21.08.2012
Розмір442.07 Kb.
ТипДокументи
1   2   3   4

4. Основні відомості з математичної теорії

векторних полів


4.1. Потік векторного поля


Зміст і походження назви цієї операції над векторним
полем розглянемо на такому прикладі. Виберемо як векторну функцію швидкість руху рідини, наприклад, води в річці. Рис. 4.1, на якому стрілками зображені величина й напрямок вектора в різних точках рідини, дає наочне уявлення про векторне поле, яке розглядається.




Потік = VΔS Потік = VΔS cos900=0 Потік = VΔS cos600= VΔS


Рис. 4.1


Помістимо в рідину плоску рамку площею ΔS і підрахуємо кількість рідини, що проходить через рамку в одиницю часу (тобто фактично потік рідини через рамку). Для простоти вважатимемо, що вектор від координат не залежить. Ясна річ, що при орієнтації площини рамки перпендикулярно кількість рідини, що проходить через рамку в одиницю часу, дорівнює об'єму паралелепіпеда із площею основи ΔS і висотою V, тобто добутку VΔS. При довільній орієнтації рамки результат залежатиме від кута між вектором і вектором нормалі до площини рамки, що задає її положення у просторі.

Це легко врахувати, ввівши вектор , що дорівнює за модулем площі рамки й спрямований по нормалі до неї. Тоді потік рідини, що проходить через рамку в одиницю часу, буде дорівнювати скалярному добутку . Зверніть увагу, що при такому визначенні потоку його знак несе інформацію про напрямок руху рідини. Якщо потік позитивний, то це означає, що рідина тече в напрямку, що утворить із вектором кут, менший 900.

Поняття про потік можна узагальнити, розглядаючи тепер будь-яку векторну функцію й вибираючи в якості поверхні не плоску рамку, а довільну, в тому числі замкнуту поверхню.

Розглянемо будь-яке конкретне векторне поле (наприклад, поле вектора електричного зміщення ) і замкнуту поверхню S довільної форми, що обмежує деякий об'єм V. На рис. 4.2, а зображена така поверхня й поле вектора у вигляді декількох силових ліній, що пронизують її.




а) б) в)


Рис. 4.2


Розподілимо всю поверхню S на настільки малі ділянки, щоб кожен із них можна було вважати плоским, а вектор у всіх його точках – однаковим (рис. 4.2, б). Кожна ділянка поверхні має певну величину площі ΔS. Крім того, його можна характеризувати напрямком зовнішньої нормалі. Тоді кожній ділянці, наприклад ділянці під номером j, можна поставити у відповідність вектор j, що визначає величину площі ділянки й напрямок зовнішньої нормалі до неї (рис. 4.2, в).

Позначимо через j вектор електричного зміщення на j елементі поверхні. Скалярний добуток j j називається потоком вектора через елемент поверхні j.

Походження назви зрозуміло з розглянутого раніше прикладу. Звернення за прикладом до плину рідини пов'язане з тим, що багато термінів теорії поля запозичені з гідродинаміки й проведення подібних аналогій дозволяє наочніше проілюструвати зміст понять, що вводяться. Необхідно ще раз підкреслити, що дане вище визначення потоку може бути застосовним до будь-якої векторної функції, яку б фізичну величину вона не представляла. У випадку математичного опису електромагнітного поля також уводиться поняття, схоже з потоком рідини, і теж називається потоком, хоча тут уже ніяка рідина не тече. Однак таке уявлення про потік має досить корисне значення.

Повернемося до рис. 4.2 і складемо потоки через всі елементи поверхні S. Отримаємо скалярну величину

.

(4.1)

Зменшуючи елементи ΔSj і збільшуючи їхнє число, від суми (4.1) перейдемо до поверхневого інтеграла, що й визначає потік через всю поверхню S:

.

(4.2)

Таким чином, обчислення потоку будь-якої векторної функції через поверхню S зводиться до наступного: розподілимо S на невеликі елементи; кожен елемент представимо вектором, модуль якого дорівнює площі елемента, а напрямок збігається із зовнішньою нормаллю; на кожному елементі візьмемо скалярний добуток вектора площі елемента й локального значення вектора і підсумуємо ці добутки; границею цієї суми в міру зменшення площі елементів і буде потік – скалярна величина Ф, обумовлена співвідношенням


.

(4.3)


Аналогічним чином визначається потік не тільки через замкнуту, але й через будь-яку обмежену поверхню S. У цьому випадку на значку поверхневого інтеграла не ставлять кружечок.


Приклад 1. Проілюструємо на простому прикладі можливості, які надає використання введеного поняття про потік. Розглянемо позитивний точковий заряд q й обчислимо потік вектора збуджуваного ним поля через сферу радіуса r, у центрі якої розташований заряд q. Обчислення потоку Ф у цьому випадку не завдасть труднощів, тому що величина вектора в кожній точці поверхні відповідно до закону Кулона дорівнює q/4πr2, а його напрямок збігається із зовнішньою нормаллю в цій точці (рис. 4.3). Таким чином, маємо


× площа сфери = .

(4.4)






Рис. 4.3


Легко показати, що якби ми вибрали поверхню не сферичної, а довільної форми, то результат би не змінився. (Корисно переконатися в цьому самостійно). Якщо тепер усередині поверхні розміщений не один заряд, а їхня сукупність, або заряд розподілений рівномірно з об'ємною густиною ρ, то відповідно до принципу суперпозиції можемо записати

.

(4.5)


Таким чином, включення поняття про потік дозволило узагальнити закон Кулона й подати в інтегральній формі зв'язок між електричним полем і його джерелами – зарядами.


^ ФІЗИЧНИЙ ЗМІСТ ПОТОКУ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ


Яка властивість векторного поля характеризує потік? Для відповіді на це запитання звернемося знову до прикладу з гідродинаміки (тобто як будемо розглядати швидкість плину рідини ). Тоді потік через замкнуту поверхню S, що обмежує об'єм V, має такий сенс: ця кількість рідини, що протікає через поверхню S за одиницю часу (слід пам'ятати про знак потоку, який визначається кутом між вектором і напрямком нормалі до поверхні). Якщо всередині об'єму ^ V немає джерел рідини й вона всередині його не зникає (немає стоків), то очевидно, що сумарний потік рідини через поверхню S дорівнює нулю. Кількість рідини, що входить в об'єм через частину поверхні S1, буде дорівнювати кількості рідини, що виходить через частину поверхні S2 (рис. 4.4, а).


джерела


Рис. 4.4


Якщо ж усередині об'єму є джерела рідини, то сумарний потік буде позитивним, тому що за одиницю часу буде більше рідини виходити з об'єму, ніж входити в нього (рис. 4.4, б). За наявності стоків усередині об'єму потік буде негативним. При цьому модуль потоку буде тим більшою, чим більшою буде інтенсивність джерел (стоків).

Таким чином, потік характеризує сумарний ефект дії (сумарну інтенсивність) усіх джерел і стоків векторного поля. Стосовно до електричного поля потік вектора через поверхню S, що обмежує об'єм V (формула (4.5), характеризує сумарний ефект збудження поля всіма зарядами, зосередженими всередині цього об'єму. Потік – інтегральна характеристика векторного поля.


4.2 Дивергенція векторного поля


Під час вивчення полів, які збуджуються безперервно розподіленими в просторі джерелами, необхідно мати аналогічну потоку локальну характеристику, що описує інтенсивність джерел поля, розташованих в окремій певній точці простору. Такою характеристикою є дивергенція векторного поля.

Щоб дати змістовне визначення дивергенції, розглянемо кінцевий об'єм ^ V, обмежений поверхнею S (рис. 1.14, а).



а) б)



в) г)

Рис. 4.5


Потік вектора через поверхню S відповідно до даного вище визначення (4.3) – це поверхневий інтеграл від , узятий по всій поверхні,

.

Розіб’ємо об'єм V на дві частини ΔV1 і ΔV2 поверхнею D (рис. 4.5, б). Поверхні, що обмежують об'єми ΔV1 і ΔV2, позначимо S1 і S2. Сума потоків через ці поверхні дорівнює потоку через всю поверхню S:

.

(4.6)

(це тому так, що будь-яка ділянка поверхні D робить внесок з одним знаком у перший інтеграл у правій частині (4.6) і такий же внесок, але з протилежним знаком – у другий, тому що напрямок „назовні” в одному випадку буде напрямком „всередину” в іншому).

Продовжимо розподіл об'єму ^ V внутрішніми перегородками на велику кількість частин ΔV1, …, ΔVj, …, ΔVN з поверхнями ΔS1, …, ΔSj, …, ΔSN (рис. 4.5, г). За будь-якої N буде справедливою рівність

.

(4.7)

При більших ^ N ми хочемо підібрати величину, що характеризувала б векторне поле подібно введеному раніше потоку, але поблизу кожної точки об'єму V. Однак потік для цієї ролі вже не годиться, тому що величина поверхневого інтеграла для кожної з малих об’ємів ΔVj залежить від кількості цих об’ємів. Справді, якщо, наприклад, подвоїти їхнє число, то інтеграл розділиться на два, кожен з яких буде меншим, ніж був до розподілу, тому що сума всіх потоків відповідно до (4.7) повинна залишитися постійною. Однак при розподілі об'єм також ділиться на частини, сума яких дорівнює первісному об'єму V . Тому має сенс розглянути відношення поверхневого інтеграла до об'єму для j-го об’єму:

.

(4.8)

Очевидно, що за досить великого N при кожному розподілі поверхневого інтеграла на дві частини буде ділитися на дві частини й об'єм. Необмежено продовжуючи такий розподіл і беручи границю написаного відношення при , отримаємо величину, якою можна характеризувати векторне поле в околиці точки. Ця величина називається дивергенцією , позначається символом div:

,

(4.9)

де ΔVj – об'єм, що містить розглянуту точку;

Sj – поверхня, що його охоплює.

Таким чином, зміст поняття div полягає в наступному: div є потоком з нескінченно малого об'єму ΔVj, що припадає на одиницю об'єму.

Дивергенція div , як видно з визначення, є скалярною величиною й може змінюватися від точки до точки.

На підставі формули (4.9) легко переконатися, що в декартових координатах

.

(4.10)

Формально дивергенція – це певна диференціальна операція над компонентами векторної функції, що призводить до отримання скалярної функції координат.


Приклад 2. Наведемо приклад використання дивергенції під час опису електромагнітних полів. Але спочатку отримаємо корисне співвідношення, що зв'язує дивергенцію і потік векторного поля. Для цього перепишемо рівняння (4.7) у такому вигляді:

.

(4.11)

Помноживши й розділивши праву частину на ΔVj, візьмемо границю від обох частин (4.11) за :


.

(4.12)



У границі за величина в квадратних дужках переходить відповідно до (4.9) у дивергенцію, а сума – в об'ємний інтеграл:


.

(4.13)



Співвідношення (4.13) має назву теореми Остроградського-Гаусса. Вона справедлива для будь-якого векторного поля, для якого існує дивергенція. Смисл її очевидний: сумарний потік через поверхню S, що обмежує об'єм V, дорівнює сумарній інтенсивності джерел, безперервно розподілених в об’ємі.

Застосуємо тепер теорему Остроградського-Гаусса для електричного поля. Спочатку отримуємо співвідношення (4.5), що зв'язує вектор електричного зміщення й заряди, розподілені рівномірно з об’ємною густиною :


.

(4.14)

З іншого боку, відповідно до теореми Остроградського-Гаусса повинно виконуватися

.

(4.15)



Порівнюючи праві частини (1.31) і (1.32), внаслідок довільності об'єму V отримуємо

.

(4.16)



Поняття про дивергенцію дозволило в диференціальній формі встановити локальний зв'язок між густиною заряду й електричним полем. Рівняння (4.5) і (4.16)

, .

(4.17)

є двома різними видами запису третього закону Максвелла, що встановлює зв'язок між електричним полем і його джерелами – зарядами. Перше з них характеризує зв'язок між зарядами, зосередженими в більших об'ємах, і електричним полем, що збуджується ним. Друге зв'язує заряди, зосереджені в нескінченно малому об’ємі навколо кожної точки простору, зі значенням електричного поля поблизу цієї ж точки, безпосередньо відображаючи концепцію близькодії, що міститься в законах електродинаміки, з характерною для неї передачею взаємодії від однієї точки простору до сусідньої.


4.3. Циркуляція векторного поля


Циркуляцією будь-якого довільного вектора в замкнутому контурі l називається криволінійний інтеграл виду

.

(4.18)

Розглянемо деяке векторне поле (наприклад, вектора напруженості електричного поля ) і довільний замкнутий контур l у просторі (рис. 4.6).




Рис. 4.6


Криволінійний інтеграл від дотичної складової напруженості поля Еτ, обчислений за контуром l, і є циркуляція Ц:

.

(4.19)

Нагадаємо, що мається на увазі під криволінійним інтегралом. Розглянемо скалярну функцію f(x,y,z) і криву l, що з'єднує дві точки М1 і М2 (рис. 4.7).

Відзначимо на кривій безліч точок і з'єднаємо їх хордами. Довжина j-й хорди дорівнює Δlj, де j пробігає значення j =1, 2, 3…... Під криволінійним інтегралом мається на увазі межа суми добутків значення функції fj, взятого в точці, що лежить на j-й хорді, на довжину хорди при необмеженому збільшенні числа хорд ():

.

(4.20)


У формулі (4.19) інтеграл означає те саме, за винятком наступного:

крива l замкнута (утворює контур), що відбито кружечком на знаку інтеграла;




Рис. 4.7


замість скалярної функції f під знаком інтеграла стоїть інший скаляр Еτ – проекція вектора на напрямок . Зрозуміло, що ЕτΔl= .

Інтеграл в (4.19) і означає границю суми таких доданків. У підінтегральному виразі є нескінченно малим вектором, дотичним у будь-якій точці до кривої l. Є два напрямки, за якими можна обійти контур l, вибирається одне з них. У загальному випадку крива l може бути не пласкою, як на рисунку, а довільно кривою у просторі.

Таким чином, обчислення циркуляції будь-якого вектора по замкнутому контуру l обумовлює наступне: потрібно вибрати напрямок обходу й розбити контур на невеликі практично прямолінійні елементи; кожен елемент представити вектором , напрямок якого збігається з напрямком обходу, а модуль дорівнює довжині елемента; на кожному елементі взяти скалярний добуток вектора елемента й локального значення вектора й підсумувати ці добутки; границею цієї суми по мірі зменшення довжини елемента й буде циркуляція


.

(4.21)

Походження назви „циркуляція” стає зрозумілим, якщо знову звернутися до плину рідини. Уявимо знову поле швидкостей, що описує потік рідини (рис. 4.8, а).





Рис. 4.8


Чи циркулює рідина всередині такого потоку, тобто чи існує її обертальний рух уздовж певного замкнутого контуру? Уявимо собі, що ми раптом заморозили рідину всюди, за винятком внутрішньої частини, замкнутої у вигляді петлі, трубки постійного перерізу (рис. 4.8, б). Тоді якщо вихідне поле швидкостей забезпечить рідині імпульс в одному напрямку, вона зможе продовжувати рухатися всередині трубки. Для кількісної характеристики циркуляції можна ввести інтеграл від швидкості по замкнутому контуру трубки:

.

(4.22)



Як і у випадку з потоком, ми розширюємо наші уявлення за межі гідродинаміки й визначаємо циркуляцію співвідношенням (4.18) для будь-якого векторного поля (навіть якщо там немає нічого такого, що рухається, наприклад, для векторів електромагнітного поля). В останньому випадку циркуляція описує вихровий характер поля.


Приклад 3. Використовуючи введене поняття про циркуляцію, можна в інтегральній формі записати закон Ампера, що встановлює зв'язок між постійним струмом і збуджуваним ним магнітним полем. Відомо, що силові лінії напруженості магнітного поля , збуджуваного струмом I, який проходить по провіднику, – кола, що охоплюють провідник, як показано на рис. 4.9. Напрямок пов'язаний з напрямком струму, що є його джерелом, правилом правого гвинта. Величина в точці, що стоїть на відстані r від провідника, визначається співвідношенням




Рис. 4.9


.

(4.23)


Розглянемо циркуляцію вектору по контуру, що лежить у площині перпендикулярній до проводу, – .





Рис. 4.10.


Розглянемо спочатку контур АВСД (рис. 4.10), складений з радіальних відрізків і дуг. Циркуляція цим шляхом дорівнює нулю з наступної причини. Шляхи ВС і ДА перпендикулярні до вектора , інтегрування по них у циркуляцію внеску не робить. Інтегрування по дугах АВ і СД дає однаковий і протилежний за знаком внесок, тому що уздовж АВ поле сильніше в r2/r1 разів, ніж уздовж СД, але довжина АВ у стільки ж разів менша за довжину СД, оскільки ці дуги стягують той же кут відносно проводу. Звідси легко зробити висновок, що циркуляція будь-яким шляхом, що не охоплює проводу (рис. 4.10, б, в), також дорівнює нулю, тому що такий шлях можна подати у вигляді сукупності шляхів типу а).

Розглянемо тепер коловий шлях, що охоплює провід (рис. 4.10, г). Довжина кола дорівнює 2r, значення поля в будь-якій точці її дорівнює . Отже значення циркуляції цим шляхом дорівнює просто I. Користуючись рис. 4.10, д, е, неважко зрозуміти, що обчислення циркуляції по контуру довільної форми, але такої, що охоплює провідник, дало б такий же результат. Наприклад, розглянемо контур С (рис. 4.10, д). Побудуємо (рис. 4.10, е) контур , що складається зі шляху, подібного С, і розглянутого вище колового шляху, але не охоплює проводу. Циркуляція по повинна дорівнювати нулю. Тоді циркуляція по С повинна з точністю до знака збігатися з циркуляцією по коловому шляху. Напрямки обходу кругових контурів на рис. 4.10, е, г протилежні, тому отримаємо той же результат. Наш загальний висновок полягає в тому, що циркуляція вектора по довільному замкнутому контуру, який охоплює провідник зі струмом, дорівнює силі струму, що тече по цьому провіднику:


.

(4.24)


З огляду на те, що сила струму I пов'язана з вектором щільності струму співвідношенням , де Snp – площа поперечного перерізу провідника, закон Ампера можна записати в більш загальному вигляді:


.

(4.25)

де S – поверхня, що опирається на контур l. Напрямок нормалі до S визначається правилом правого гвинта за напрямком обходу контура l.

Співвідношення (4.25) – інтегральна форма запису закону Ампера. У ній утримується інформація про вихровий характер силових ліній магнітного поля. Легко переконатися, що якщо силові лінії поля мають вигляд, зображений на рис. 4.11, а, б, то циркуляція, обчислена за будь-яким замкнутим контуром в такому полі, дорівнюватиме нулю. Такі поля називаються безвихровими, або потенціальними. Приклад потенціального поля – електричне поле точечного заряду (рис. 4.11, б).














а) б)


Рис. 4.11


4.4. Ротор векторної функції


Циркуляція – інтегральна характеристика векторного поля.

Наша подальша мета – ввести поняття, що описує локальні властивості поля – ступінь його завихреності поблизу точки, зробивши перехід, до деякої міри аналогічний переходу від поняття про потік до поняття про дивергенцію.

Виберемо малий плаский контур площею ΔS з нормаллю , напрямок якої пов’язано правилом правого гвинта з напрямком обходу по контуру, і помістимо його в поле так, щоб досліджувана точка ^ М лежала в площині контуру (рис. 4.12).

Потім будемо повертати контур у різних напрямках. Якщо поблизу точки М є завихрення, то при одному з положень нормалі циркуляція досягне найбільшого значення. Тому для характеристики завихреності поля поблизу точки вводять вектор (ротор). Його напрямок у будь-якій точці перпендикулярний до тієї площини, що проходить через обрану точку, для якої величина циркуляції максимальна, тобто збігається з напрямком нормалі до площадки ΔS, для якого циркуляція Ц=Цmax. Модуль ротора дорівнює граничному значенню циркуляції, що припадає в цій площині на одиницю площі контуру, що оточує обрану точку:

.

(4.26)





Рис. 4.12


Назва „ротор” нагадує нам про те, що векторне поле, ротор якого відрізняється від нуля, має циркуляцію або завихреність. Ротор кількісно характеризує ступінь завихреності поля поблизу точки. Виявити завихрення в потоці рідини можна, наприклад, за допомогою малої турбінки, вміщуючи її в досліджувану точку (рис. 4.13).












Турбіна

Рис. 4.13

Якщо в якомусь положенні осі турбінки потік рідини буде турбінку обертати, то в даній точці є завихрення. В одному з положень осі турбінки швидкість її обертання буде максимальною. Напрямок уздовж цього положення осі, пов'язаний правилом правого гвинта з напрямком обертання, і є напрямком ротора в досліджуваній точці.

Аналогічний „ротор-метр” можна побудувати, принаймні в уяві, і для електричного поля. Для цього треба тільки прикріпити позитивно заряджені кульки до ступиці колеса ізолюючими спицями (рис. 4.14).





Рис. 4.14


Досліджуючи за допомогою такого „ротор-метра” електричне поле, ми виявили б, що в точках, де , колесо намагалося б повернутися навколо своєї осі. За допомогою пружини, що перешкоджає обертанню, можна за кутом закручування визначити обертальний момент, що буде пропорційний проекції на напрямок осі „ротор-метра”. Якщо ми, змінюючи орієнтацію осі, визначимо напрямок, для якого обертальний момент буде максимальним і спрямованим за годинниковою стрілкою, то це і є напрямок .

Таким чином, ротор – локальна характеристика ступеня завихреності поля. Проекція ротора на будь-який напрямок – це границя відношення циркуляції по контуру, нормаль якого відхилена від напрямку ротора, до площі контуру:

.


Можна отримати рівняння, що пов'язує циркуляцію й ротор, аналогічне рівнянню (4.13), що зв'язує потік і дивергенцію. Для цього контур l, за яким обчислюється циркуляція Ц, розіб'ємо на N контурів. Циркуляція по вихідному контуру дорівнює сумі циркуляції (рис. 4.15):


.

(4.27)





l


Рис. 4.15


Перепишемо (4.27) у вигляді


,

(4.28)


розділивши й помноживши праву частину на площу ΔSj, що стягується контуром lj. У границі при ΔSj  0 (тобто при N  ) величина в дужках в (4.28) перейде в , де – одиничний вектор, перпендикулярний до j-ї ділянки. Праворуч ми тоді отримаємо суму добутків площі j-ї ділянки на нормальний компонент по всіх ділянках, які становлять поверхню S, що стягується l. А це не що інше, як поверхневий інтеграл по поверхні S від , тобто потік ротора через поверхню S. У підсумку отримуємо співвідношення, що називається теоремою Стокса:


.

(4.29)


У (4.29) S – поверхня, яка спирається на контур l. За структурою формула (4.29) нагадує теорему Остроградського-Гаусса (4.13). Теорема Стокса пов'язує циркуляцію з поверхневим інтегралом від ротора вектора, а теорема Остроградського-Гаусса пов'язує потік з об'ємним інтегралом від дивергенції вектора. Теорема Стокса має справу з поверхнею й кривою, на яку поверхня спирається, а теорема Остроградського-Гаусса відноситься до об'єму і поверхні, що його охоплює (рис. 4.16).


а) Теорема Остроградського-Гаусса б) Теорема Стокса







Рис. 4.16


Поверхня S охоплює Поверхня S спирається

об'єм V на криву l




У декартовій прямокутній системі координат дивергенція й ротор обчислюються за наступними правилами

;

(4.30)



.

(4.31)


Якщо ввести векторний диференціальний оператор Гамільтона, що позначений символом ( (набла),


,


то легко бачити, що співвідношення (1.41) і (1.42) можна записати у вигляді


,

.

1   2   3   4

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка
Конспект лекцій для студентів 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 070101 “Транспортні технології (за видами...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconХарківська національна академія міського господарства методичні вказівки до самостійної роботи з вивчення курсу фізики для студентів 1-2 курсів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямками 0906 “Електротехніка”
Електротехніка”, 0708 “Екологія”, 0921 “Будівництво”, 0922 “Електромеханіка”, 0926 “Водні ресурси”, 1004 “Транспортні технології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка Частина Розрахунок на міцність повітряних ліній електропередач
...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства будівельна механіка
Конспект лекцій для студентів 3 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика
Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства в. А. Бардаков конспект лекцій з курсу «вступ до спеціальності»
Конспект лекцій з курсу «Вступ до спеціальності» (для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 030601...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Механіка (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства
Прикладна літоекологія та радіологія” (для студентів 3 курсу денної та 4 курсу заочної форм навчання спец. 070800 „Екологія та охорона...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання практичних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи