Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” icon

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”




Скачати 442.07 Kb.
НазваМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія”
Сторінка4/4
Дата21.08.2012
Розмір442.07 Kb.
ТипДокументи
1   2   3   4

^ 5. ХВИЛЬОВІ РІВНЯННЯ ТА ЇХНІ РІШЕННЯ


Рівняння виду



(5.1)



називається однорідним векторним рівнянням Даламбера. Векторне рівняння Даламбера еквівалентне трьом скалярним рівнянням, кожне з яких має вигляд

,

(5.2)

де U - компоненти вектора, що задовольняє векторному рівнянню.

Розглянемо для простоти випадок, коли функція залежить тільки від однієї декартової координати, скажімо Z. Тоді рівняння (5.2) має вигляд


.

(5.3)



Це – одномірне хвильове рівняння. Загальне рішення цього рівняння – це сума двох довільних функцій, однієї – від аргументу (Z-Vt), а іншої – від (Z+Vt):

.

(5.4)



Фізичний процес, що описує кожну з функцій F1 або F2, називають хвильовим, або хвилею. Наприклад, функція F1(Z-Vt) є функцією однієї змінної (Z-Vt) і описує „хвилю”, що рухається зі швидкістю V уздовж осі z в напрямку зростання позитивних значень координати (рис. 5.1).





Рис. 5.1


Так, якщо максимум функції F1 припадає на нульове значення аргументу (Z-Vt), то при t=0 максимум F1 перебуває в точці з координатою z=0. Пізніше t = t1 максимум виявиться в точці z1, пройшовши шлях, що дорівнює Vt1. Таким чином, параметр V у рівняннях (5.1), (5.3) має простий сенс – це швидкість поширення хвилі. Ясно також, що функція F2(Z+Vt) описує „зворотню” хвилю, що біжить уздовж осі z назустріч „прямій” хвилі F1(Z-Vt).

Таким чином, одновимірне хвильове рівняння має численну кількість нетривіальних рішень. Всі ці рішення мають вигляд хвиль, що поширюються в різних напрямках зі швидкістю , яка збігається зі швидкістю світла у вакуумі.

Такий висновок має фундаментальне значення, оскільки означає, що змінне електромагнітне поле може існувати у вакуумі без зарядів і струмів, і його варто розглядати як самостійну фізичну реальність, а не як атрибут зарядів. Іноді рішення (5.4) записують у вигляді


.

(5.5)



Це – еквівалентна форма запису, оскільки очевидно, що


,







.

(5.6)



Розглянемо поля, що залежать від часу за гармонійним законом (монохроматичні поля). При гармонійній залежності від часу функція U(z,t) якщо обмежитися розглядом тільки „прямої” хвилі, має вигляд


.

(5.6)


Параметр k=/V називається хвильовим числом. На рис. 5.2 наведені два „миттєвих знімка” гармонійної хвилі (5.6).




Рис. 5.2


При кожному фіксованому t функція U(z,t) описує косинусоїдальний просторовий розподіл. Через час косинусоїда як ціле зміщується уздовж осі z на відстань z=V. Період розподілу в просторі (тобто відстань, на якому фаза змінюється на 2) називається довжиною хвилі . Таким чином, k=2 і для хвильового числа справедливі два вирази

.

(5.7)



^ 6. МЕТОД КОМПЛЕКСНИХ АМПЛІТУД

В ЕЛЕКТРОМАГНЕТИЗМІ


Усі реальні електромагнітні процеси можна представити у вигляді суперпозиції коливань, що змінюються в часі за гармонійним законом. Тому вивчення електромагнітних полів, що гармонічно змінюються в часі, має важливе практичне значення. Такі поля ще називають монохроматичними.

Аналіз гармонійних процесів істотно спрощується при використанні методу комплексних амплітуд. Відповідно до цього методу замість будь-якої скалярної функції a(t), що змінюється в часі за гармонійним законом


,

(6.1)

де amамплітуда;  – колова частота;  – початкова фаза, вводиться в розгляд комплексна функція


.

(6.2)



Величину , що несе інформацію про амплітуду й початкову фазу, називають комплексною амплітудою функції a(t).

Внаслідок відомої формули Ейлера фізична величина а є дійсна (Re) частина її комплексного подання:

.

(6.3)



Аналогічно для векторних величин замість вектора



вводиться в розгляд комплексний вектор

.

(6.4)


Вираз (6.4) можна записати у вигляді


,

(6.5)



де (6.6)

– комплексна амплітуда вектора (6.7).

Використання методу комплексних амплітуд в електродинаміці при вивченні монохроматичних полів значно спрощує техніку вирішення рівнянь Максвелла. Оскільки рівняння Максвелла лінійні, а диференціювання функції (6.5) за часом зводиться просто до множення її на j, то всі члени рівнянь виявляються помноженими на . Наприклад, перше рівняння Максвелла набуває вигляду


.

(6.8)



Скорочуючи множник , отримуємо диференціальне рівняння щодо комплексних амплітуд, що не залежать від часу:


.

(6.9)



Якщо в результаті розв’язання рівняння невідома комплексна амплітуда визначена, то для одержання шуканої фізичної величини треба лише помножити комплексну амплітуду на й відокремити потім дійсну частину.

При розгляді гармонійних полів практичний інтерес представляє знання не миттєвих величин, а середніх за період значень їхніх квадратів або добутків. Тому отримаємо трохи корисних для подальшого співвідношень:


.

(6.10)



Таким чином, середнє за період значення квадрата гармонійно мінливої в часі величини виражається через її комплексну амплітуду.

Розглянемо тепер дві функції, що змінюються за гармонійними законами:

,




(6.11)

і знайдемо середнє від їхнього добутку







Перші два члени дають при інтегруванні нуль. У результаті отримуємо

.

(6.12)



Формули, аналогічні (6.10) і (6.12), можна записати й для векторних величин:

;

(6.13)



;

(6.14)



.

(6.15)



Співвідношення (6.13) – (6.15) зручно використовувати при аналізі енергетичних співвідношень у монохроматичному, електромагнітному полі.


ЗМІСТ


Вступ .................................................................................................................. 3


  1. Вектори ........................................................................................................ 4




    1. Поняття вектора ................................................................................ 4

    2. Додавання векторів ........................................................................... 5

    3. Скалярний добуток векторів ............................................................ 6

    4. Векторний добуток векторів ............................................................ 7

    5. Мішаний добуток трьох векторів .................................................. 10




  1. Похідна й диференціал ............................................................................. 11




    1. Похідна й диференціал функції однієї змінної ............................ 11

    2. Наближене обчислення функції .................................................... 13

    3. Похідні й диференціал функції багатьох змінних ....................... 14

    4. Градієнт скалярної функції ............................................................ 15




  1. Інтеграл ...................................................................................................... 18




    1. Невизначений інтеграл ................................................................... 18

    2. Певний інтеграл .............................................................................. 19




  1. Основні відомості з математичної теорії векторних полів ................... 21




    1. Потік векторного поля .................................................................... 21

    2. Дивергенція векторного поля ........................................................ 27

    3. Циркуляція векторного поля .......................................................... 31

    4. Ротор векторної функції ................................................................. 38




  1. Хвильові рівняння та їхні рішення .......................................................... 44




  1. Метод комплексних амплітуд в електромагнетизмі .............................. 47



Навчальне видання


Математичний вступ до курсу фізики.(для студентів 1 курсу денної і заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 0708 - “Екологія”


Укладач Єфімова Ольга Василівна


Редактор: М. З. Аляб’єв


План 2007, поз. 571


Підп. до друку 24.05.07 Формат 60х84 1/16. Папір офісний

Друк на ризографі. Умовн.-друк. арк. 1,7. Обл.-вид. арк. 2,2

Замовл. № _______ Тираж 100 прим.

____________________________________________________________________

61002, Харків, ХНАМГ, вул. Революції, 12

Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ

61002, Харків, вул. Революції, 12

1   2   3   4

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка
Конспект лекцій для студентів 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 070101 “Транспортні технології (за видами...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconХарківська національна академія міського господарства методичні вказівки до самостійної роботи з вивчення курсу фізики для студентів 1-2 курсів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямками 0906 “Електротехніка”
Електротехніка”, 0708 “Екологія”, 0921 “Будівництво”, 0922 “Електромеханіка”, 0926 “Водні ресурси”, 1004 “Транспортні технології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства технічна механіка Частина Розрахунок на міцність повітряних ліній електропередач
...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства будівельна механіка
Конспект лекцій для студентів 3 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика
Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво”
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства в. А. Бардаков конспект лекцій з курсу «вступ до спеціальності»
Конспект лекцій з курсу «Вступ до спеціальності» (для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 030601...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Механіка (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства
Прикладна літоекологія та радіологія” (для студентів 3 курсу денної та 4 курсу заочної форм навчання спец. 070800 „Екологія та охорона...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання практичних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства математичний вступ до курсу фізики для студентів І курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 0708 „Екологія” iconМіністерство освіти І науки, молоді та спорту україни харківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з курсу загальної фізики розділ
Оптика (для студентів 1 курсу денної І заочної форм навчання за напрямами підготовки бакалаврів 050701 “Електротехніка та електротехнології”,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи