Скачати 0.56 Mb.
|
Зміст Косинус сторони сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших сторін, складеному з добутком синусів цих же сторін Розв’язання косокутних сферичних трикутників |
ВСТУП Сферичною геометрією називається розділ математики, в якому вивчаються геометричні фігури, що лежать на поверхні кулі. Сферична тригонометрія розглядає методи розв’язання сферичних трикутників, що утворюються при перетині дуг великих кіл на кульовій поверхні. Кулею називається тіло, що утворюється обертанням півкруга навколо його діаметра. Поверхня, що утворюється при цьому, називається кульовою або сферичною поверхнею. Часто таку поверхню називають просто сферою. Сфера – геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від однієї точки, яку називають центром сфери.
Загальні відомості про трикутники
Географічна сферична система координат Сферичний двокутник При перетині сфери площиною, що проходить через її центр, утворюється велике коло ![]() ![]() Діаметр ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Менша дуга ![]() ![]() ![]() Усі точки великого кола ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1 У разі малого кола ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Місцезнаходження точки на поверхні сфери може бути визначено за допомогою так званої географічної сферичної системи координат. Географічна сферична система координат задається двома взаємно перпендикулярними великими колами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Місцезнаходження довільної точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Величина дуги великого кола визначається центральним кутом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Зв'язок кутової (градусної), радіанної та лінійної міри дуги великого кола встановлюється за формулою ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() З рис. 1 видно, що радіус ![]() ![]() ![]() Довжина дуги ![]() ![]() ![]() Кут між дугами великих півкіл ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для двох довільних точок ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1 ![]() На поверхні сфери звичайно розглядають фігури, що утворюються перетином дуг великих кіл сфери. Найпростішою фігурою є двокутник (наприклад ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Сферичним трикутником називається частина поверхні сфери, обмежена трьома дугами великих кіл, що взаємно перетинаються. У подальшому будемо розглядати тільки так звані Ейлерові сферичні трикутники. У таких трикутників кути та сторони змінюються лише в межах від 0° до 180°. Оскільки через дві точки, що не лежать на одному діаметрі, можна провести тільки одну дугу великого кола, меншу за 180°, то побудова трикутника на поверхні сфери є однозначною. Площини великих кіл, якщо їх дуги утворюють сферичний трикутник ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 2. Сферичний трикутник має шість основних елементів: три кути ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Із рис. 2 видно, що кути сферичного трикутника рівні відповідним двогранним кутам тригранника. Сторони трикутника, визначені у кутовій чи радіанній мірі, дорівнюють відповідним плоским кутам тригранника. Тобто, усі шість елементів сферичного трикутника дорівнюють відповідним елементам тригранника. Оскільки сторони сферичного трикутника ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 3 За формою сферичні трикутники поділяють на:
Сферичні трикутники (по їх означенню) одночасно можуть бути прямокутними та прямосторонніми. Таким, наприклад, є трикутник ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() У сферичній геометрії, за аналогією до геометрії на площині, прийняті також поняття про рівнобічні та рівносторонні трикутники. Розв’язання сферичних трикутників складає предмет сферичної тригонометрії та знаходить застосування в астрономії, картографії, навігації, вищій геодезії, кристалографії, фотограмметрії та при розв’язанні різноманітних геометричних задач у ряді інших дисциплін.
На рис. 4 зображено сферичний трикутник ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 4 Виявляється, що трикутники ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Основна властивість полярних трикутників: сума якого-небудь кута даного трикутника ![]() ![]() ![]() З того, що трикутники ![]() ![]() ![]()
Симетричні та спряжені трикутники Два сферичних трикутники називаються рівними, якщо вони співпадають при накладанні. Два сферичних трикутники, що розміщені на одній і тій же сфері, рівні між собою якщо вони однаково розташовані та мають відповідно рівні: 1) дві сторони та кут між ними; 2) одну сторону та два прилеглих до неї кути; 3) три сторони; 4) три кути. Перші три випадки аналогічні відповідним випадкам у геометрії на площині та можуть бути доведені шляхом накладання трикутників. Справедливість рівності трикутників у четвертому випадку випливає з наступних міркувань. Відомо, що три двогранні кути повністю визначають тригранник. Але два тригранники, що мають відповідно рівні двогранні кути, будуть рівними, отже їх можна сумістити один з одним усіма їхніми точками. Такі тригранники будуть утворювати на поверхні однієї і тієї ж сфери трикутники, що мають усі відповідно рівні та однаково розташовані елементи. На поверхні сфери, як і на площині, можливий випадок, коли два трикутники мають відповідно рівні, але неоднаково розташовані елементи. Такі трикутники не є рівними між собою, тому що їх не можливо сумістити один з одним шляхом переміщення на поверхні сфери. Такі трикутники ![]() ![]() ![]() ![]() Рівність кутів симетричних трикутників доводиться шляхом порівняння відповідних їм двокутників. На основі рівності кутів трикутників ![]() ![]() На рис. 6 зображений двокутник з кутом |
![]() | А. В. Якунін основи сферичної геометрії Основи сферичної геометрії та тригонометрії: Навчальний посібник для студентів 2 курсу за напрямом підготовки 080101 “Геодезія, картографія... | ![]() | Нти сферичної геометрії та тригонометрії (Навчальний посібник із завданнями для самостійної роботи студентів спеціальності «Геоінформаційні системи та технології») Харків хнамг 2007 М. П. Данилевський, А.І. Колосов, А. В. Якунін. Елементи сферичної геометрії та тригонометрії. (Навчальний посібник із завданнями... |
![]() | Контрольні запитання І завдання вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії Сформулюйте теорему про розклад визначника n-го порядку за елементами будь-якого рядка або стовпця | ![]() | Вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку |
![]() | Перелік тем для написання рефератів Методика проведення занять факультативу (за вибором): „Основи креслення", „Геометричне креслення", „Проекційне креслення", „Елементи... | ![]() | 8-а міжнародна конференція з топології, геометрії та викладання геометрії організатори міністерство освіти І науки України Черкаський державний технологічний Н. А. Тарасенкова (заст голови) – проректор з наукової роботи чну, професор (Україна) |
![]() | Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані | ![]() | Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані |
![]() | Методичні вказівки з нарисної геометрії Методичні вказівки з нарисної геометрії для виконання практичних завдань та розрахунково-графічних робіт” (для студентів 1 курсу... | ![]() | Міністерство освіти І науки України Харківська національна академія міського господарства практикум з нарисної геометрії Практикум з нарисної геометрії: навчально-методичний посібник (для студентів 1 курсу всіх спеціальностей академії). Авт.: Лусь В.І.,... |