Елементи сферичної геометрії
Скачати 0.56 Mb.
|
Зміст Косинус сторони сферичного трикутника дорівнює добутку косинусів двох інших сторін, складеному з добутком синусів цих же сторін Розв’язання косокутних сферичних трикутників |
|
|
ВСТУП Сферичною геометрією називається розділ математики, в якому вивчаються геометричні фігури, що лежать на поверхні кулі. Сферична тригонометрія розглядає методи розв’язання сферичних трикутників, що утворюються при перетині дуг великих кіл на кульовій поверхні. Кулею називається тіло, що утворюється обертанням півкруга навколо його діаметра. Поверхня, що утворюється при цьому, називається кульовою або сферичною поверхнею. Часто таку поверхню називають просто сферою. Сфера – геометричне місце точок у просторі, рівновіддалених від однієї точки, яку називають центром сфери.
Загальні відомості про трикутники
Географічна сферична система координат Сферичний двокутник При перетині сфери площиною, що проходить через її центр, утворюється велике коло  (рис. 1). Площини, що не проходять через центр сфери, утворюють малі кола типу  .Діаметр  , що проходить через центр великого кола перпендикулярно до його площини, перетинає поверхню сфери у двох точках  та  . Ці точки називаються полюсами цього великого кола (в даному випадку кола ). Коло по відношенню до точок та називається полярою.Менша дуга  великого кола визначає сферичну (найкоротшу) відстань між точками  та  на поверхні сфери. Цю дугу називають геодезичною лінією або ортодромією.Усі точки великого кола відстоять від полюсів та на 90°. Площини великих кіл   ,  та  , що проходять через точки та , перпендикулярні до площини . Рис. 1 У разі малого кола , площина якого перпендикулярна діаметрові , точка називається сферичним центром, а дуга великого кола  - сферичним радіусом малого кола .Місцезнаходження точки на поверхні сфери може бути визначено за допомогою так званої географічної сферичної системи координат. Географічна сферична система координат задається двома взаємно перпендикулярними великими колами та , коло називається екватором, а півколо − початковим меридіаном. Координатна сітка цієї системи утворюється паралелями – колами малих кругів, що паралельні екватору, та меридіанами – півколами великих кругів, що перпендикулярні до екватора. Кожний меридіан з’єднує північний та південний полюси.Місцезнаходження довільної точки  на сфері визначається двома координатами ( ), де  − широта та  − довгота. Широта вимірюється сферичною відстанню  вподовж меридіана від екватора до відповідної паралелі (на північ, або південь від 0° до 90°). Довгота вимірюється кутом  між початковим меридіаном та відповідним меридіаном або відстанню  вподовж екватора від початкового меридіану до відповідного меридіану (на схід чи захід від 0° до 180°).Величина дуги великого кола визначається центральним кутом  , що утворюється радіусами сфери  та  . Кут є лінійним кутом двогранного кута, що утворюється площинами великих півкругів  та  .Зв'язок кутової (градусної), радіанної та лінійної міри дуги великого кола встановлюється за формулою  , (1.1)де  , ,  − лінійна, радіанна та кутова міра дуги великого кола;  − радіус сфери;  − число кутових одиниць в радіані, = 57°, 2957795…З рис. 1 видно, що радіус  малого кола дорівнює (1.2)Довжина дуги  малого кола обчислюється за формулою (1.3)Кут між дугами великих півкіл та називається сферичним кутом. Цей кут визначається кутом між дотичними  та  до цих дуг. Неважко довести, що  , тому що  та  .Для двох довільних точок  та  на поверхні сфери азимутом точки по відношенню до точки називається сферичний кут  , що утворюється ортодромією  та меншою дугою меридіана  , що проходить через точку (рис. 1 ). Рис. 1  На поверхні сфери звичайно розглядають фігури, що утворюються перетином дуг великих кіл сфери. Найпростішою фігурою є двокутник (наприклад  ) − частина поверхні сфери, що обмежена двома великими півколами (у даному прикладі півколами та , що мають спільний діаметр (рис. 1)). Сторони двокутника завжди рівні 180°. Сферичний двокутник визначається значенням кута його вершини. У разі двокутника цей кут − .
Сферичним трикутником називається частина поверхні сфери, обмежена трьома дугами великих кіл, що взаємно перетинаються. У подальшому будемо розглядати тільки так звані Ейлерові сферичні трикутники. У таких трикутників кути та сторони змінюються лише в межах від 0° до 180°. Оскільки через дві точки, що не лежать на одному діаметрі, можна провести тільки одну дугу великого кола, меншу за 180°, то побудова трикутника на поверхні сфери є однозначною. Площини великих кіл, якщо їх дуги утворюють сферичний трикутник  , перетинаються між собою у центрі сфери  та утворюють тригранник  (рис. 2). Рис. 2. Сферичний трикутник має шість основних елементів: три кути , ,  та три сторони  ,  ,  . Кути позначаються тими ж великими літерами, що й вершини трикутника, а протилежні їм сторони – відповідними малими буквами.Із рис. 2 видно, що кути сферичного трикутника рівні відповідним двогранним кутам тригранника. Сторони трикутника, визначені у кутовій чи радіанній мірі, дорівнюють відповідним плоским кутам тригранника. Тобто, усі шість елементів сферичного трикутника дорівнюють відповідним елементам тригранника. Оскільки сторони сферичного трикутника , та . прийнято вимірювати у кутовій або радіанній мірі, то вибір радіуса сфери стає не суттєвим. Це видно з рис. 3. Трикутники та  − подібні. Вони мають різні (пропорційні) лінійні розміри, але їх елементи, відображені у кутовій мірі, є відповідно рівними. Тому з метою спрощення доведення формул радіус сфери приймають за одиницю, тобто беруть  . Рис. 3 За формою сферичні трикутники поділяють на:
Сферичні трикутники (по їх означенню) одночасно можуть бути прямокутними та прямосторонніми. Таким, наприклад, є трикутник  рис. 1, який має кути при вершинах та та сторони  та  , що дорівнюють 90°. Можливо побудувати сферичний трикутник, що має всі сторони та всі кути, що дорівнюють 90°. Цей трикутник являє собою восьму частину поверхні сфери та утворюється перетином трьох великих кіл з взаємно перпендикулярними площинами.У сферичній геометрії, за аналогією до геометрії на площині, прийняті також поняття про рівнобічні та рівносторонні трикутники. Розв’язання сферичних трикутників складає предмет сферичної тригонометрії та знаходить застосування в астрономії, картографії, навігації, вищій геодезії, кристалографії, фотограмметрії та при розв’язанні різноманітних геометричних задач у ряді інших дисциплін.
На рис. 4 зображено сферичний трикутник . Розглядаючи вершини , та як полюси, побудуємо для них відповідні поляри −  ,  та  . Одержані так поляри при перетині між собою утворюють сферичний трикутник , який називають полярним відносно до даного трикутника . Рис. 4 Виявляється, що трикутники та взаємополярні, тобто якщо вершини трикутника є полюсами сторін трикутника , то і, навпаки, вершини трикутника є полюсами сторін трикутника .Основна властивість полярних трикутників: сума якого-небудь кута даного трикутника та відповідної йому сторони полярного трикутника дорівнює 180°. 180°. (1.4)З того, що трикутники та − взаємополярні випливає: 180°. (1.5)
Симетричні та спряжені трикутники Два сферичних трикутники називаються рівними, якщо вони співпадають при накладанні. Два сферичних трикутники, що розміщені на одній і тій же сфері, рівні між собою якщо вони однаково розташовані та мають відповідно рівні: 1) дві сторони та кут між ними; 2) одну сторону та два прилеглих до неї кути; 3) три сторони; 4) три кути. Перші три випадки аналогічні відповідним випадкам у геометрії на площині та можуть бути доведені шляхом накладання трикутників. Справедливість рівності трикутників у четвертому випадку випливає з наступних міркувань. Відомо, що три двогранні кути повністю визначають тригранник. Але два тригранники, що мають відповідно рівні двогранні кути, будуть рівними, отже їх можна сумістити один з одним усіма їхніми точками. Такі тригранники будуть утворювати на поверхні однієї і тієї ж сфери трикутники, що мають усі відповідно рівні та однаково розташовані елементи. На поверхні сфери, як і на площині, можливий випадок, коли два трикутники мають відповідно рівні, але неоднаково розташовані елементи. Такі трикутники не є рівними між собою, тому що їх не можливо сумістити один з одним шляхом переміщення на поверхні сфери. Такі трикутники та показані на рис 5. Вони називаються симетричними трикутниками. Трикутник утворюється дугами великих кіл, що є продовженням сторін трикутника . Отже, відповідні вершини обох трикутників лежать у діаметрально протилежних точках.Рівність кутів симетричних трикутників доводиться шляхом порівняння відповідних їм двокутників. На основі рівності кутів трикутників та зазначаємо, що сторони цих трикутників також відповідно рівні одна одній, а їх площі рівновеликі.На рис. 6 зображений двокутник з кутом |
Схожі:
 | А. В. Якунін основи сферичної геометрії Основи сферичної геометрії та тригонометрії: Навчальний посібник для студентів 2 курсу за напрямом підготовки 080101 “Геодезія, картографія... | | Нти сферичної геометрії та тригонометрії (Навчальний посібник із завданнями для самостійної роботи студентів спеціальності «Геоінформаційні системи та технології») Харків хнамг 2007 М. П. Данилевський, А.І. Колосов, А. В. Якунін. Елементи сферичної геометрії та тригонометрії. (Навчальний посібник із завданнями... |
| Контрольні запитання І завдання вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії Сформулюйте теорему про розклад визначника n-го порядку за елементами будь-якого рядка або стовпця | | Вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії Перетворення координат на площині. Застосування перетворення координат до спрощення рівнянь кривих другого порядку |
| Перелік тем для написання рефератів Методика проведення занять факультативу (за вибором): „Основи креслення", „Геометричне креслення", „Проекційне креслення", „Елементи... | | 8-а міжнародна конференція з топології, геометрії та викладання геометрії організатори міністерство освіти І науки України Черкаський державний технологічний Н. А. Тарасенкова (заст голови) – проректор з наукової роботи чну, професор (Україна) |
| Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані | | Задачі І вправи для самостійної роботи вища математика т елементи лінійної алгебри І аналітичної геометрії глава І. Матриці. Визначники матриці. Системи рівнянь першого степеня Для виробництва промислової продукції створено 3 фірми, кожна з яких випускає один вид продукції. В таблиці задані |
| Методичні вказівки з нарисної геометрії Методичні вказівки з нарисної геометрії для виконання практичних завдань та розрахунково-графічних робіт” (для студентів 1 курсу... | | Міністерство освіти І науки України Харківська національна академія міського господарства практикум з нарисної геометрії Практикум з нарисної геометрії: навчально-методичний посібник (для студентів 1 курсу всіх спеціальностей академії). Авт.: Лусь В.І.,... |