Скачати 329.34 Kb.
|
ВСТУП Теоретична механіка - одна з найважливіших наук фізико-математичного профілю, що формує науковий світогляд інженера. На її законах базуються такі загально інженерні дисципліни, як опір матеріалів, будівельна механіка, прикладна механіка, деталі машин, теорія машин і механізмів, гідравліка та ін. Тому вивчення теоретичної механіки необхідне як для розуміння цих дисциплін, так і для наукового тлумачення явищ природи. Даний навчально-методичний посібник складено з метою допомоги студентам будівельних, електромеханічних, екологічних і транспортних спеціальностей вузу в самостійній роботі, при підготовці до занять, контрольних робіт, тестового контролю, захисту змістовних модулів, заліків та іспитів з теоретичної механіки. Визначення: Теоретична механіка - наука про найбільш загальні закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл і виникаючі між ними взаємодії. 1. СТАТИКА Статика - розділ теоретичної механіки, який вивчає методи перетворення одних систем сил в інші, їм еквівалентні, а також умови рівноваги твердих тіл під дією системи сил. ^ - матеріальне тіло, в якому відстань між будь-якими двома точками не змінюється. Матеріальна точка - найпростіша модель матеріального тіла, розмірами якого при умовах даної задачі можна знехтувати. ^ - сукупність взаємозв’язаних матеріальних точок, положення і переміщення кожної з яких залежить від положення і переміщення всіх інших. ![]()
Система сил - сукупність сил, що діють на будь-яке тіло. Еквівалентні системи сил - системи сил, під дією яких тверде тіло знаходиться в однаковому стані (рівноваги або руху). Позначається «~». ^ (або еквівалентна нулю) - система сил, під дією якої тверде тіло знаходиться у стані рівноваги. Рівнодійна системи сил - сила, еквівалентна даній системі сил. ^ :
2. Приєднання і відкидання взаємно зрівноваженої системи не порушує рівновагу абсолютно твердого тіла. ^ Дія сили на абсолютно тверде тіло не змінюється, якщо перенести силу уздовж лінії дії в іншу точку тіла. ![]() ![]() 3. Система двох сил, прикладених в одній точці під деяким кутом одна до одної, має рівнодійну, яка за своєю величиною і напрямом дорівнює діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах. 4. Сили взаємодії двох тіл завжди рівні за величиною і діють по одній прямій у протилежних напрямах. 5. Невільне матеріальне тіло можна розглядати як вільне, якщо в’язі замінити їх реакціями. 6. Принцип затвердіння: рівновага здеформованого тіла не порушиться, якщо тіло вважати абсолютно твердим. ^ - це таке тіло, на переміщення якого не накладені обмеження. В’язі - це тіла, що обмежують рух даного тіла. Реакція в’язі - це сила, з якою в’язь діє на тіло, рух якого вона обмежує. Види в’язей і напрям їх реакції: ![]() ![]() 1. Ідеальна гладенька поверхня. ![]() ![]() реакція такої поверхні спрямована перпендикулярно до дотичної площини, проведеної до поверхні цієї опори у точці стику з даним тілом.
![]() ![]() Якщо опора є ребром, реакція в’язі спрямована по нормалі до тієї поверхні, до якої можна провести нормаль. 3. Гнучка в’язь. ![]() ![]() Такі в’язі працюють тільки на розтяг. Їх реакції напрямлені вздовж нитки, каната, ланцюга, якщо вони прямолінійні, або по дотичній в точці А в іншому випадку.
![]() ![]() Реакція такої в’язі спрямована перпендикулярно до опорних площин, на яких знаходяться котки. ![]() Реакція нерухомого шарніра може мати довільний напрям залежно від сил, прикладених до тіла. Тому реакцію ![]() ![]() ![]() ![]() Так називається тонкий невагомий стержень, закріплений двома шарнірами на його кінцях. Такий стержень працює тільки на розтяг або на стиск, якщо в проміжних точках на нього не діють ніякі сили. Реакція ідеального стержня напрямлена по осі стержня. 7. Жорстке защемлення (нерухоме закріплення). ![]() ![]() Балка АВ одним своїм кінцем жорстко закріплена в стіні, а другий іі кінець служить опорою для конструкції. Якщо на балку діють сили, то в закріпленні виникають реакції, що складаються із сили ![]() ![]() ![]() 8. Сила тертя ковзання ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() де f - коефіцієнт тертя ковзання, ![]() ![]() ![]() ![]() Якщо циліндричний шарнір не перешкоджає переміщенню тіла тільки в одному напрямі вздовж осі циліндра і перешкоджає переміщенню у протилежному напрямі, то такий циліндричний шарнір називається підп’ятником. Опорна реакція підп’ятника має три складові по трьох взаємно перпендикулярних напрямах ![]() Якщо циліндричний шарнір не перешкоджає переміщенню тіла тільки в одному напрямі вздовж осі циліндра, то такий циліндричний шарнір називається підшипником. Опорна реакція підшипника має дві складові по двом взаємно перпендикулярним напрямам ![]() 10. Сферичний шарнір. ![]() ![]() У випадку сферичного шарніра тіло може обертатися навколо центра шарніра, але не має змоги переміщуватись у будь-якому напрямі. Реакцію сферичного шарніра виражають трьома складовими у трьох взаємно перпендикулярних напрямах: ![]() 1.1. Система збіжних сил
Теорема про три непаралельні сили: ![]()
Теорема про рівнодійну системи збіжних сил: Система збіжних сил має рівнодійну, що дорівнює геометричній
^ : Для рівноваги системи збіжних сил необхідно і достатньо, щоб рівнодійна системи сил дорівнювала нулю (геометричні умови): ![]() або сума проекцій цих сил на осі координат дорівнювала нулю (аналітичні умови): ![]() ![]() ![]() Якщо всі сили системи збіжних сил розташовані в площині, наприклад ХОУ, то для їх рівноваги повинно бути ![]() ![]() 1.2. Проекція сили на вісь Проекція сили на вісь - алгебраїчна величина, що дорівнює довжині відрізка між проекціями початку і кінця сили на цю вісь. Проекція має знак «+», якщо вектор сили нахилений у бік додатного напрямку осі, і знак
Якщо сила перпендикулярна до осі, то її проекція на цю вісь дорівнює нулю. Тому Fx = F cos, Fy= - F sin , Tx = 0, Ty = T. Я ![]()
1.3. Моменти сили і пари сил 1.3.1. Момент сили відносно точки Плечем h сили ![]()
^ О називається вектор ![]() Вектор моменту сили ![]() ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При розв’язанні задач у площині використовують поняття алгебраїчного моменту сили відносно точки. Правило визначення алгебраїчного моменту сили ![]()
Алгебраїчний момент сили відносно точки дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через цю точку. Тоді плече h=0, а момент ![]() ^ Моментом сили відносно осі z називається проекція на цю вісь вектора моменту сили відносно точки, що лежить на осі:
Правило визначення моменту сили ![]()
но точки перетину осі з площиною Оху: ![]() ![]() 4. Момент сили ![]() ![]() Момент сили відносно осі дорівнює нулю, якщо: а) сила паралельна осі (в цьому випадку проекція сили на площину ![]() б) лінія дії сили перетинає вісь (при цьому плече ![]() ^ Парою сил називається система двох розташованих в одній площині сил, які рівні за величиною, протилежно напрямлені і не лежать на одній лінії дії. ![]() ![]() ^ d - найкоротший відрізок між лініями дії сил, що скла-дають пару. Моментом пари сил називається вектор ![]()
Модуль моменту пари ![]() ^
Наслідком цієї властивості є те, що пару сил, яка діє на абсолютно тверде тіло, можна переміщати у площині її дії, або у паралельну площину, при цьому можна змінювати модулі сил або плече пари, але зберігати величину моменту і напрям обертання:
4. Система кількох пар, як завгодно розташованих у просторі, еквівалентна одній парі, момент якої дорівнює геометричній сумі моментів складових пар: ![]() ^ : Пари сил, як завгодно розташовані у просторі, перебувають у рі-вновазі, якщо геометрична сума їх моментів дорівнює нулю: ![]() 1.4. Довільна просторова система сил Просторова система сил - система сил, як завгодно розташованих у просторі. ^ : Не змінюючи механічного стану абсолютно твердого тіла, силу можна перенести паралельно її початковому напряму в іншу довільну точку тіла, додаючи при цьому пару сил, момент М якої дорівнює моменту початкової сили відносно точки перенесення:
^ - вектор ![]() ![]() Величина головного вектора визначається за формулами ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() Напрям головного вектора визначається напрямними косинусами: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Головний момент системи сил відносно точки О - вектор ![]() ![]() Величина головного моменту ![]() ![]() де ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Напрям головного моменту ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Теорема про зведення довільної системи сил (основна теорема статики): Довільну систему сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, можна звести: до сили ![]() ![]()
Окремі випадки зведення сил: 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
^ : для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю (геометричні умови): ![]() ![]() або суми проекцій усіх сил на кожну з трьох координатних осей і суми їх моментів відносно цих осей дорівнювали нулю (аналітичні умови): ![]() ![]() ![]() ^ Дві системи сил ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ^ (про момент рівнодійної): Якщо просторова система сил має рівнодійну ![]() ![]() 1.5. Довільна плоска система сил Плоска система сил - це така система сил, лінії дій яких розміщені в одній площині. ![]() ![]() ^ Ця система сил зводиться відносно центра зведення до сили ![]() ![]() ![]() ^ : для рівноваги довільної плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи дорівнювали нулю (геометричні умови): ![]() ![]() або алгебраїчна сума проекцій усіх сил на дві взаємно перпендикулярні осі і алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно будь-якої точки на площині дорівнювали нулю (аналітичні умови): ![]() ![]() ![]() Відзначимо, що кількість рівнянь рівноваги плоскої системи сил у загальному випадку дорівнює трьом. Ці рівняння можна подати ще у двох формах, а саме: ![]() ![]() ![]() (при цьому вісь Ох не повинна бути перпендикулярною до прямої АВ) або ![]() ![]() ![]() (при цьому точки А, В і С не повинні лежати на одній прямій). ^ Якщо плоска система сил зводиться до рівнодійної, то її момент відносно будь-якої точки площини дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил системи відносно тієї ж точки: ![]() ![]() ![]() Цю теорему зручно використовувати для знаходження алгебраїчного моменту сили відносно точки, розкладаючи силу на складові, паралельні осям координат: ![]() ![]() ![]()
1.6. Плоска система паралельних сил. Розподілені сили.
^ для рівноваги плоскої системи паралельних сил необхідно і достатньо, щоб алгебраїчна сума проекцій усіх сил на вісь, паралельну силам, і алгебраїчна сума моментів усіх сил відносно будь-якої точки на площині дорівнювали нулю: ![]() ![]() (якщо всі сили паралельні осі Оу). Складання двох паралельних сил: 1. Сили напрямлені в один бік:
2. Сили напрямлені в різні боки ![]()
^ ) - система паралельних сил, які діють на кожну точку об’єму, поверхні або лінії. ![]() Система розподілених сил (сили розподілені уздовж лінії) характеризується її інтенсивністю q, тобто силою, яка припадає на одиницю довжини: ![]() ^ : 1) Рівномірно розподілені сили: ![]()
2) Сили, розподілені за лінійним законом:
1.7. Методика розв’язання задач на рівновагу системи тіл Якщо конструкція складається з кількох твердих тіл, з’єднаних між собою за допомогою в’язів (складена конструкція), то можна розв’язати задачу одним з двох способів: 1) розглянути рівновагу всієї конструкції і додатково рівновагу одного або кількох окремих твердих тіл, що складають конструкцію; 2) початкову конструкцію відразу розчленити на окремі тверді тіла і розглянути рівновагу кожного з них окремо. Приклад 1. Два невагомих стержні АDС i BC з’єднані між собою шарніром С і закріплені нерухомими шарнірами А і В. На конструкцію діють сили Р1=10 кН, Р2=20 кН, розподілене навантаження інтенсивністю q = 4 кН/м і пара сил з моментом М=50 кНм. Розміри задані на вихідній схемі. Треба визначити реакції опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С складеної конструкції. Р ![]() ![]()
В ![]() ![]() ![]()
Складемо рівняння рівноваги нерозчленованої конструкції: ![]() ![]() ![]()
Складемо рівняння рівноваги стержня ВС: ![]() ![]() ![]() відповідно до розглянутих розрахункових схем ми маємо шість невідомих реакцій опор ![]() ![]() Із третього рівняння знаходимо ![]() з другого рівняння отримаємо ![]() ![]() Із шостого рівняння знаходимо ![]() з п’ятого отримаємо ![]() з четвертого - ![]() ![]() З ![]() ![]() Для перевірки одержаних величин реакцій опор ![]() Перевірка: ![]() ![]() при цьому рівність нулю суми моментів сил відносно точки Е означає правильність визначених реакцій. Приклад 2. Знайти реакції опор А і В, а також тиск у проміжному шарнірі С складеної конструкції, на яку діють сили Р1 = 6 кН, Р2 = 10 кН, розподілене навантаження інтенсивністю q = 1,4 кН/м і пара сил з моментом М = 15 кНм. Розміри задані на початковій схемі, кут = 60о. Розв’язання. При розв’язанні задачі другим способом будемо розглядати рівновагу стержнів ADC i BC конструкції окремо. Побудуємо розрахункові схеми за звичайним правилом. Тут слід враховувати, що відповідно до аксіоми 4 реакції ![]() ![]() ![]() ![]() Визначимо величини сил ![]() ![]()
![]() ![]() Далі складемо рівняння рівноваги стержня ADC:
З отриманих шести рівнянь визначимо невідомі реакції: ![]() Із третього рівняння знаходимо ![]() з першого рівняння ![]() з другого рівняння ![]() з п’ятого рівняння ![]() з четвертого ![]() з шостого ![]() Для перевірки розглянемо конструкцію в цілому і складемо для неї рівняння моментів відносно точки ^ , через яку не проходять лінії дій визначених реакцій. Шарнір С вважаємо затверділим .
|
![]() | Теоретична механіка Теоретична механіка: (Навчально-методичний посібник І завдання для контрольних робіт студентів факультету післядипломної освіти І... | ![]() | Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства о.І. Рубаненко, В. П. Шпачук теоретична механіка. Спецкурс Теоретична механіка. Спецкурс: Конспект лекцій (для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямом 060101 “Будівництво”).... |
![]() | Теоретична механіка Механікою називається наука про механічний рух або рівновагу матеріальних тіл І виникаючу при цьому взаємодію між ними. Відноситься... | ![]() | Теоретична механіка |
![]() | Та робоча програма навчальної дисципліни "теоретична механіка (спецкурс)" На механіка (спецкурс)" (для слухачів другої вищої освіти заочної форми навчання за напрямом підготовки 0921– Будівництво спеціальності... | ![]() | «теоретична механіка» «Гідротехніка (водні ресурси)», 070101 «Транспортні технології (за видами транспорту)») |
![]() | В. П. Шпачук, М. С. Золотов, О.І. Рубаненко, А. О. Гарбуз, В. О. Скляров теоретична механіка кінематика Конспект лекцій для студентів денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 092100 “Будівництво” | ![]() | Тип модуля: обов’язковий Семестр: ІV обсяг модуля Автомобілі”, “Вступ до фаху”, “Теорія машин І механізмів”, «Опір матеріалів», “Основи теплотехніки”, “Теоретична механіка” |
![]() | Нових надходжень до бібліотеки квітень Федорченко, А. М. Теоретична фізика [Текст] : Підручник т. 1 : Класична механіка І електородинаміка / А. М. Федорченко. – У 2-х т.... | ![]() | Міністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства теоретична механіка статика Конспект лекцій для студентів 1і 2 курсу денної І заочної форм навчання бакалаврів за напрямами 060101 “Будівництво” |