Скачати 396.16 Kb.
|
Вища математика __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Цей випадок означає, що прямі паралельні; б) ранг розширеної матриці (13) дорівнює одиниці, тобто ![]() Цей випадок означає, що прямі збігаються. Приклад. З'ясувати, як розташовані прямі ![]() ![]() Розв'язок. Складемо систему ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Висновок. Прямі перетинаються у точці в с координатами (2;1). 2.^ . Рівняння (2), яке приведено спочатку розділу 2, описує (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві другого порядку. Розглянемо їх. 1) Коло - це множина всіх точок площини, які лежать на даній додатній відстані (радіус) від даної точки площини, яка зветься центром. Виведемо рівняння кола. Нехай: ^ довільна точка кола; О(а, b) – його центр і R - радіус. Із визначення кола запишемо співвідношення: ![]() яке і є рівнянням кола. Перетворимо (14) таким чином: ![]() ![]() Тобто, це коло радіуса ^ із центром у точці О(1,-2). 2) Еліпс – це множина точок площини, для яких сума відстаней від двох даних точок площини (фокусів), - додатна стала величина, яка більша за відстань між фокусами. ^ Нехай на площині взято прямокутну систему координат Оху (рис.15) і нехай точки F1 і F2 з координатами (-с;О) і (с;О) відповідно - фокуси еліпса. Якщо М(x,y) - довільна точка еліпса, то, згідно з означенням еліпса, виконується рівність ![]() ![]() Рис. 15 Згадану у визначенні еліпса сталу величину позначили через 2а. Відрізки [F1 M] і [F2 M] є фокальні радіуси еліпса, їхні довжини обчислюємо за формулами: ![]() ![]() Підставивши вирази для довжини фокальних радіусів у рівність (15), виконаємо відповідні перетворення: ![]() ![]() ![]() ![]() Розділимо обидві частини останньої рівності на величину ![]() ![]() ![]() Точки перетину еліпса з його осями симетрії (рис.15), які співпадають з осями координат Ох і Оу, є вершинами еліпса. Вони мають координати (а;О), (-а;О), (О;b), (O;-b). Відрізок |ОА|=а звуть великою піввіссю еліпса, а відрізок |ОВ|=b - малою піввіссю еліпса. Точка О є центр еліпса. Еліпс є центральне-симетричною фігурою відносно центру. Ексцентриситет еліпса це відношення відстані між фокусами еліпса до довжини його великої осі: ![]() ![]() Ексцентриситет характеризує форму еліпса: чим ближчий ексцентриситет до одиниці, тим менше відношення b/а і тим більше еліпс витягнутий; чим менший ексцентриситет, тим ближче відношення b/а до одиниці і тим ближче еліпс за формою наближається до кола. ^ Припустимо, що еліпс, заданий канонічним рівнянням (16), має а >b. Тобто, він має таку форму, як на рис.15. Дві прямі, перпендикулярні до великої осі еліпса (у цьому випадку осі Ох) і розміщені на відстані а/с від центра еліпса, звуть директрисами еліпса. Рівняння директрис еліпса мають вигляд: ![]() Оскільки для еліпса е<1, то права директриса розміщена правіше від правої вершини еліпса; аналогічно ліва директриса розміщена лівіше від його лівої вершини. ^ Якщо r - відстань від довільної точки еліпса до якого-небудь фокуса, d - відстань від тієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення r/d є стала величина, яка дорівнює ексцентриситету еліпса: r/d = е. Приклад. Скласти канонічне рівняння еліпса, велика піввісь якого дорівнює ^ , а фокус знаходиться у точці ![]() Розв'язок. Канонічне рівняння еліпса має вигляд (16). За умовою задачі велика піввісь а = 3, а половина фокусної відстані ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Гіпербола це множина точок, для яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок площини (фокусів) є стала додатна величина, менша за відстань між фокусами. ^ Нехай на площині узято прямокутну декартову систему координат Оху (рис. 16), і нехай точки F1(-c;O) і F2(c;O) - фокуси гіперболи. Множина точок М(х,у), які утворюють гіперболу згідно з означенням гіперболи, задовольняє рівняння ![]() Відрізки F1М і F2М є фокальні радіуси гіперболи. Обчисливши їх довжину, маємо рівняння ![]() Перетворення цього рівняння аналогічні тим, що робилися з рівнянням (15) еліпса. Звільнившись від ірраціональностей, рівняння зводимо до вигляду ![]() Позначивши ![]() ![]() Рис.16 Точки перетину гіперболи з віссю ^ є вершини гіперболи (на рис. 16 це точки А1(-а;О) і А2 (а;О) відповідно). Точка О є центр гіперболи. Відрізок |A1 A2| є дійсною віссю гіперболи, а відрізок |В1 В2| є уявною віссю гіперболи. Прямокутник зі сторонами 2a і 2b, розміщений симетрично відносно осей гіперболи, звуть основним прямокутником гіперболи. ^ Гіпербола є як центрально-симетричною фігурою, так і фігурою, симетричною відносно осей Ох і Оу, що має дві вітки. Вітки гіперболи, що лежать у першій і третій координатних чвертях, при нескінченному зростанні х наближаються до прямої у=(b/a)x. Вітки гіперболи, що лежать у другій та четвертій координaтних чвертях, при нескінченному зростанні x наближаються до прямої у=(-b/a)x. Ці прямі звуть асимптотами гіперболи. Подамо загальне визначення асимптоти. Асимптота графіка функції у = f(х) є пряма, яка має таку властивість, що відстань від точки на графіку (х, f(х)) до прямої прямує до нуля, якщо ця точка рухається вздовж вітки графіка до нескінченності. Тобто, рівняння асимптот гіперболи знаходимо з рівняння (20), розв'язавши його відносно у ![]() а потім, зробивши граничний перехід, коли х прямує до нескінченності. Маємо, ![]() рівняння асимптот гіперболи. Ексцентриситет гіперболи є відношення відстані між її фокусами до відстані між вершинами цієї гіперболи: ![]() ![]() Ексцентриситет гіперболи характеризує форму її основного прямокутника, а отже , і форму самої гіперболи: чим менший ексцентриситет гіперболи, тим більше вигтянутий її основний прямокутник у напрямі осі, яка з'єднує вершини. Якщо b = a, то гіперболу звуть рівносторонньою. ^ Дві прямі, перпендикулярні до дійсної осі гіперболи і розміщені на відстані а/е від центра гіперболи, звуть директрисами гіперболи. Рівняння директрис у прямокутній системі координат, відносно якої гіпербола задається канонічним рівнянням (20), мають вигляд: ![]() Оскільки для гіперболи е > 1, то права директриса розмішена між центром і правою вершиною, а ліва директриса - між центром і лівою вершиною гіперболи (рис. 16). Директриса гіперболи має таку властивість: якщо r - відстань від довільної точки гіперболи до якого-небудь фокуса, d - відстань від тієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення r/d -стала величина, яка дорівнює ексцентриситету гіперболи. Тобто, r/d=e. Приклад. Точки М(5,8/3), N(–4,(2 ![]() Розв'язок. Канонічне рівняння гіперболи будемо шукати у вигляді (20). Оскільки точки Μ і N належать до гіперболи, то їх координати перетворюють (20) у тотожність: ![]() ![]() Маємо систему двох рівнянь з двома невідомими ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Розв'язавши цю систему (зробіть це самостійно), матимемо: ![]() ![]() ![]() Обчислимо ексцентриситет за формулою ![]() ![]() Рівняння асимптот: ![]() Рівняння директрис: ![]() Парабола – це множина точок площини, для яких відстань до заданої точки F, (фокуса), дорівнює відстані до певної заданої прямої, (директриси). Відстань ![]() ![]() /FM/ = /MN/ . (24) Канонічне рівняння параболи. Нехай на площині узято прямокутну декартову систему координат Оху, і нехай точка F з координатами (p/2; 0) - фокус параболи, а пряма, задана рівнянням х = –р/2, - директриса параболи (рис.17). Координати будь-якої точки М(x, y), яка належить параболі, задовольняють рівняння ![]() Рис.17 Звільнившись від ірраціональності, останнє рівняння зводимо до вигляду ![]() яке є канонічним рівнянням параболи. Вісь симетрії параболи (у даному випадку це вісь Ох) є вісь параболи. Точка перетину параболи з віссю симетрії є вершина параболи. Зазначимо, що, згідно з означенням параболи і властивостями директрис еліпса і гіперболи, можна вважати, що парабола має ексцентриситет, який дорівнює одиниці. Приклад. Скласти канонічне рівняння параболи, у якої рівняння директриси х = –4. Розв'язок. Оскільки рівняння директриси х = –р/2, то –р/2 = -4. Звідси р = 8. Вісь симетрії параболи співпадає з віссю Ох. Таким чином, ![]() ![]() ^ 1. Полярна система координат. Щоб визначити положення точки на площині, крім розглянутої вище декартовоі прямокутної системи координат, ще потрібна полярна система координат. Визначимо її. Для цього візьмемо на площині довільну точку О, яку звуть полюсом, і направлений промінь ОР, який звуть полярною віссю. На ній відкладемо відрізок ОЕ який звуть одиничним або масштабним відрізком (рис.18). ![]() Рис. 18 Точці Μ0, яка належить площині і відмінна від точки О, ставиться у відповідність упорядкована пара чисел ( ![]() ![]() ![]() Між множиною всіх точок площини (крім точки О) і множиною упорядкованих пар чисел (r ,φ), де ![]() ![]() Приклад. Знайти точку ![]() ![]() ![]() Рис.19 Зв'язок між полярними і прямокутними координатами. Якщо за полюс узяти початок прямокутної декартової системи координат, а за полярну вісь – додатний напрям осі Ох (рис. 19), то полярні координати точки М0, яка не збігається з полюсом, і її прямокутні координати зв'язані рівностями: ![]() ![]() які маємо з прямокутного ΔОМ0N. Перехід від прямокутних координат точки М0 до її полярних координат робимо за формулами: ![]() ![]() де ![]() Приклад. Знайти полярні координати точки М(1;–1). Розв'язок. За формулами переходу від прямокутних координат до полярних, маємо: ![]() ![]() ![]() Оскільки точка Μ розташована у четвертій чверті, тому ![]() ![]() ![]() 3. Рівняння ліній другого порядку у полярних координатах. Нехай АВС (рис.20.) - крива лінії другого порядку (еліпса, гіперболи або параболи), у якої: точка В - вершина; точка F - фокус і лінія DE - відповідна директриса. Полярну систему координат розташуємо таким чином, щоб полюс був у точці F (тобто у фокусі), а полярна вісь збігалася з віссю симетрії. Ексцентриситет кривої раніше позначено буквою е. Нехай М0 - точка кривої АВС, яка лежить на перпендикулярі FK до полярної осі. Позначимо довжину відрізка FM0 через р. Цю величину звуть параметром кривої. Рис. 20 Нехай Μ0 - довільна точка кривої у обраної полярної системи координат. Складемо рівняння, яке виявляє залежність між її полярними координатами r ,φ та даними числами е і р. З попереднього відомо, що е = |FM|/|MN|. Відрізок NM = NK + +KM. Тут KF||DE, і NK||N0M0, тому NK = N0M0. З ΔFKM маємо: KM = FM cosφ. Таким чином, NM = N0M0 + FM cosφ. (27) З другого боку, е = FM0 / M0N0 або M0N0 = р/е. Перше відношення для е дає: NM = FM/e або NM і r/е, тому що FM=r. Формула (27), після підстановки обчислених величин, має вигляд: ![]() r = p /(1– ecosφ). (28) Рівняння (28) визначає: еліпс, якщо е < 1; параболу, якщо е = 1; гіперболу, якщо е > 1. Фокальний параметр р зв'язаний з параметрами а і b еліпса і гіперболи співвідношенням: ![]() ![]() Приклад. Записати рівняння параболи ![]() Розв'язок. Скористаємося формулами переходу від прямокутної системи координат до полярної: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Розв'язавши останнє рівняння відносно r, маємо шукане рівняння ![]() Рис. 21 |
![]() | Назва модуля: Вища математика ч. 1 Вища математика: основні означення, приклади І задачі. /Ред. Кулинич Г. Л. Ч. 2-К: Либідь, 1992 | ![]() | Є. С. Пахомова вища математика конспект С. Пахомова. Вища математика. Конспект лекцій. Напрям підготовки 030601 „Менеджмент”,спец. „Менеджмент готельного, курортного І туристичного... |
![]() | Документи 1. /_стор_я економ_ки та ек. думки.pdf 2. /Безпека... | ![]() | Документи 1. /_стор_я економ_ки та ек. думки.pdf 2. /Безпека... |
![]() | Є. С. Пахомова перший проректор Стадник Г. В. 2007р. Програма та робоча програма навчальної дисципліни «Вища математика (вища та прикладна математика)» (для студентів 1 курсу денної та заочної форми навчання за напрямом підготовки 030601... | ![]() | Roz group іеф Математика для економістів:-вища математика, корп. 1, ауд. 304, Ковальчук Т. М., Лекція |
![]() | М.І. Самойленко, Г. В. Білогурова, В. П. Протопопова методичні вказівки до виконання практичних, гозрахунково-графічних та самостійних робіт з дисципліни „Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика; Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика; Математичне програмування” | ![]() | Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Подвійні інтеграли та їх застосування» для студентів інженерних спеціальностей Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика»/укладач А. М. Шкіра. – Суми |
![]() | Л. Б. Коваленко програма та робоча програма навчальної дисципліни Програма та робоча програма навчальної дисципліни «Вища та прикладна математика (Вища математика)» (для студентів 1 курсу денної... | ![]() | Робоча програма індивідуальні контрольні завдання з вивчення дисципліни "Вища математика" для студентів групи ап заочної форми навчання Але студент повинен пам’ятати, що тільки при систематичній самостійній роботі допомога академії буде носити ефективний характер.... |
![]() | Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» «Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення») для студентів напряму 050202- автоматизація... |