Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету icon

Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету




НазваМетодичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету
Сторінка1/7
Дата20.04.2013
Розмір1.46 Mb.
ТипМетодичні рекомендації
  1   2   3   4   5   6   7

Міністерство освіти і науки України


Вінницький національний медичний університет ім. М.І. Пирогова


Кафедра медичної та біологічної фізики


^ ПРОГРАМА ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

ДО ВИВЧЕННЯ ДИСЦИПЛІНИ І ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ З КУРСУ
„Вища математика і математична статистика”



для студентів І курсу фармацевтичного факультету

заочної форми навчання


Затверджено

на засіданні кафедри МБФ


Протокол №1 від 28.08.2010 р.


Вінниця 2010

Програма та методичні рекомендації до вивчення дисципліни і виконання контрольної роботи по курсу “Вища математика і математична статистика” для студентів фармацевтичного факультету заочної форми навчання.


Укладач: доц. А.Т. Теренчук.


Методичні рекомендації до курсу “Вища математика і математична статистика” містять перелік програмних питань курсу і орієнтовний переліе екзаменаційних питань, приклади розв’язання типових задач, рекомендації по виконанню і оформленню контрольної роботи та список рекомендованої літератури.


ВСТУП


Математичні методи є основою усіх галузей сучасної науки і технології. Недарма існує висловлювання „У кожній науці стільки науки, скільки в ній математики”. Більш або менш явно математика застосовується буквально на кожному кроці і у повсякденній виробничій діяльності. Її роль стає особливо важливою і всеосяжною внаслідок розвитку інформаційних технологій і „тотальної комп’ютеризації” усіх сфер життя. Сучасні комп’ютерні засоби та інформаційні технології роблять доступним для широкого кола користувачів, не пов’язаних безпосередньо з математикою, надзвичайно складний і потужний математичний апарат, звільняючи їх від складної, трудомісткої та марудної аналітичної та обчислювальної роботи, які потребують значних зусиль, витрат часу і глибоких та детальних математичних знань. Причому складність математичного апарату приховується прозорим та гнучким („дружнім”) інтерфейсом, що робить цей апарат доступним і простим у використанні. Таким чином, комп’ютерні технології суттєво змінили методологію і технологію розв’язання прикладних задач. Тепер користувач не повинен займатися складними аналітичними перетвореннями, розробкою метода розв’язання задачі, її алгоритмізацією та програмуванням – усе це надається у готовому вигляді і у „зручній упаковці” відповідними програмними засобами спеціального або загального призначення. Тим не менш це аж ніяк не звільняє користувача від необхідності володіти математичним апаратом, навіть навпаки – підвищує вимоги до рівня загальної математичної культури та ґрунтовності математичної підготовки. Це обумовлюється тим, що на користувача покладаються, як і раніше, такі ключові моменти процесу розв’язання задачі, як її формалізація та постановка, розробка чи вибір і адаптація математичної моделі, аналіз та інтерпретація проміжних і кінцевих результатів. Завдання користувача полягає при цих умовах у розробці плану розв’язання задачі, виборі і застосуванні адекватних програмних засобів, реалізації інтерактивного процесу розв’язання задачі на комп’ютері. Це вимагає достатньо широкої математичної підготовки, володіння широким спектром математичних понять і методів та розуміння прикладного, практичного їх змісту, здатності до самостійного оволодіння різноманітними інструментами розв’язання задач і наступного кваліфікованого їх застосування. Доступність потужних математичних засобів, простота їх використання і „легкість” отримання результату обумовлюють підвищення „вартості” (тобто серйозності наслідків) помилок, які можуть бути припущені при некваліфікованому механічному застосуванні цих засобів.

Таким чином, оволодіння основами математичних методів, засвоєння певного рівня загальної математичної культури є в сучасних умовах важливою умовою підготовки спеціалістів практично будь-якої галузі.

Даний методичний посібник має метою повторення і вивчення студентами-фармацевтами основних розділів вищої математики, а саме: елементи диференційного та інтегрального числення, основи теорії диференційних рівнянь, основи теорії ймовірностей та елементи математичної статистики.

Посібник містить практикум (приклади типових задач з розв’язками і завдання до контрольних робіт), короткі вказівки до самостійної роботи студентів, орієнтовний перелік питань до іспиту та список рекомендованої літератури.


І. Загальні засади курсу.


У курсі „Вища математика” студенти повторюють і вивчають елементи математичного аналізу, теорії ймовірностей та математичної статистики, які лежать в основі методів обробки інформації у медико-біологічних науках та фармації. Студенти вчаться розв’язувати та аналізувати типові математичні задачі, а також задачі медико-фармацевтичного і медико-біологічного змісту, самостійно оволодівати необхідними навичками за допомогою відповідної літератури.

В результаті вивчення дисципліни „Вища математика” студент повинен знати:

– основи диференційного та інтегрального числення;

  • основи теорії диференційних рівнянь та її застосування у фармації та медико-біологічних науках;

  • основи теорії ймовірностей та її застосування;

  • основи математичної статистики та її застосування.

Студент повинен вміти розв’язувати типові математичні задачі, вміти виконувати математичну постановку прикладних задач, вміти застосовувати основні математичні методи.

Студент повинен вміти аналізувати медико-біологічну та фармацевтичну інформацію, самостійно працювати з відповідною літературою.

Об’єм знань та вмінь, які студент повинен отримати в результаті вивчення дисципліни, визначається програмою з вищої математики для студентів вищих фармацевтичних навчальних закладів, затвердженою Міністерством охорони здоров’я України.

Програмні питання курсу “Вища математика і математична статистика”


  1. Поняття функції. Функції однієї змінної та функції багатьох змінних.

  2. Послідовності і границі послідовності.

  3. Границя функції. Властивості границь.

  4. Нескінченно малі і нескінченно великі величини.

  5. Неперервність функції.

  6. Похідна та диференціал функції.

  7. Правила диференціювання функцій.

  8. Похідні та диференціали вищих порядків.

  9. Застосування похідної. Дослідження функцій за допомогою похідних.

  10. Функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали.

  11. Оцінка похибок і наближені обчислення за допомогою повного диференціала.

  12. Невизначений інтеграл.

  13. Методи інтегрування.

  14. Визначений інтеграл.

  15. Застосування визначеного інтеграла.

  16. Диференціальні рівняння.

  17. Диференціальні рівняння першого порядку.

  18. Диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

  19. Моделювання процесів за допомогою диференціальних рівнянь.

  20. Основні поняття теорій ймовірностей. Класичне і статистичне означення ймовірності.

  21. Основні теореми теорії ймовірностей.

  22. Формула повної ймовірності і формула Байєса.

  23. Випробування Бернуллі.

  24. Випадкові величини. Дискретні і неперервні випадкові величини.

  25. Інтегральні та диференціальні функції розподілу.

  26. Числові характеристики випадкових величин та їх зміст.

  27. Основні закони розподілу випадкових величин.

  28. Нормальний розподіл.

  29. Закони великих чисел. Граничні теореми теорії ймовірностей.

  30. Основні поняття математичної статистики. Вибірковий метод.

  31. Знаходження характеристик розподілу.

  32. Аналіз варіаційних рядів. Емпіричні функції розподілу та густини розподілу.

  33. Статистична перевірка гіпотез.

  34. Закони розподілу статистик вибірки (?2-розподіл, t-розподіл, F-розподіл) та їх значення.

  35. Кореляційний аналіз та його застосування.

  36. Регресійний аналіз та його застосування.



Орієнтовний перелік екзаменаційних питань

з вищої математики для студентів

І курсу фармацевтичного факультету


І. Основи математичного аналізу.


  1. Поняття функції. Функції однієї змінної і функції багатьох змінних. Графік функції. Елементарні функції.

  2. Неперервність функції. Неперервні і розривні функції. Функціональні залежності у медицині та фармації.

  3. Похідна функції. Геометричний і фізичний зміст похідної

  4. Властивості похідної. Похідна суми, добутку і частки функцій. Похідна складеної функції.

  5. Диференціал функції. Геометричний і фізичний зміст диференціалу. Застосування диференціалу.

  6. Похідні і диференціали вищих порядків, їх обчислення і застосування. Фізичний зміст похідної другого порядку.

  7. Визначення екстремумів та інтервалів монотонності функцій за допомогою похідних.

  8. Визначення точок перегину та інтервалів опуклості функцій за допомогою похідних.

  9. Дослідження функції за допомогою похідних. Побудова графіків функцій.

  10. Функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали функцій багатьох змінних. Повний диференціал.

  11. Застосування повного диференціала функцій для наближених обчислень.

  12. Застосування диференціалів для обчислення похибок непрямих вимірювань. Абсолютна і відносна похибки.

  13. Невизначений інтеграл. Означення і основні властивості.

  14. Інтегрування заміною змінної.

  15. Інтегрування частинами.

  16. Визначений інтеграл та його властивості.

  17. Формула Ньютона-Лейбніца для визначеного інтеграла. Застосування визначеного інтеграла.

  18. Геометричний і фізичний зміст визначеного інтеграла та йoгo застосування.

  19. Середнє значення функції на проміжку та його обчислення за допомогою визначеного інтеграла.

  20. Інтегральна сума. Наближене обчислення визначеного інтеграла (метод прямокутників).

  21. Визначені інтеграли зі змінними границями інтегрування. Невласні інтеграли.

  22. Диференціальні рівняння (означення, класифікація). Застосування диференціальних рівнянь.

  23. Загальний і частинний розв'язки диференціального рівняння. Початкові умови. Знаходження частинного розв'язку за допомогою початкових умов.

  24. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Метод розв'язання. Початкові умови. Загальний і частинний розв'язки.

  25. Лінійні однорідні диференційні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Метод розв'язання. Початкові умови. Загальний і частинний розв'язки.

  26. Поняття про математичне моделювання. Моделювання процесів за допомогою диференційних рівнянь першого порядку. (Закон радіоактивного розпаду, закон поглинання світла, закон хімічних реакцій першого порядку).

  27. Поняття про математичне моделювання. Математичні моделі у фармації і медицині. (Закон розчинення ліків з таблеток, закон розмноження бактерій, однокамерні фармакокінетичні моделі).


ІІ. Основи теорії ймовірностей.


  1. Основні поняття і задачі теорії ймовірностей (випробування, випадкова подія, ймовірність). Класичне і статистичне означення ймовірності. Види випадкових подій.

  2. Класичне і статистичне означення ймовірності. Вибірковий простір (повна система випадкових подій). Властивості ймовірності.

  3. Класичне означення ймовірності і теоретико-множинна інтерпретація випадкових подій. Операції над випадковими подіями (доповнення, сума -об'єднання, добуток - переріз).

  4. Сумісні і несумісні випадкові події. Теорема додавання ймовірностей.

  5. Залежні і незалежні випадкові події. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей.

  6. Формула повної ймовірності та її застосування.

  7. Формула Байєса та її застосування.

  8. Випадкові величини. Види випадкових величин.

  9. Дискретні випадкові величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини і способи його задання. Умова нормування.

  10. Функція розподілу випадкової величини і її властивості.

  11. Неперервні випадкові величини. Способи задання неперервної випадкової величини.

  12. Функція густини розподілу ймовірності. Функція розподілу ймовірності та її властивості. Умова нормування.

  13. Числові характеристики випадкових величин (мат. сподівання, дисперсія, стандартне відхилення) та їх зміст.

  14. Математичне сподівання випадкової величини (дискретної і неперервної), його зміст і властивості.

  15. Дисперсія і стандартне відхилення випадкової величини (дискретної і неперервної), їх зміст і властивості.

  16. Центровані і нормовані випадкові величини та їх числові характеристики. Зміст операцій центрування і нормування.

  17. Послідовні незалежні випробування (схема Бернуллі) і біномний закон розподілу.

  18. Біномний закон розподілу і розподіл Пуассона.

  19. Рівномірний розподіл ймовірностей та його властивості.

  20. Нормальний закон розподілу ймовірностей та його властивості. Ймовірність попадання нормально розподіленої випадкової величини у заданий проміжок.

  21. Стандартний нормальний розподіл та його властивості. Ймовірність попадання випадкової величини у заданий проміжок. Інтеграл ймовірності.

  22. Граничні теореми теорії ймовірностей та їх значення. Теорема Чебишова та її роль в теорії вимірювань.

  23. Закон Бернуллі і його значення. Зв'язок зі статистичним означенням ймовірності.

  24. Центральна гранична теорема Ляпунова та її значення.


ІІІ. Основи математичної статистики


  1. Математична статистика, її задачі і методи. Статистичне означення ймовірності. Генеральна і вибіркова сукупності.

  2. Варіаційні ряди, їх види і форми подання. Полігон, гістограма, кумулята.

  3. Емпірична функція розподілу.

  4. Емпірична функція густини розподілу.

  5. Визначення характеристик розподілу генеральної сукупності на основі виборки. Точкові та інтервальні оцінки.

  6. Точкове оцінювання характеристик розподілу. Основні вибіркові точкові оцінки. Вимоги до точкових оцінок.

  7. Інтервальне оцінювання характеристик розподілу. Поняття про надійний інтервал і надійність оцінки.

  8. Визначення вірогідного інтервалу для математичного сподівання при відомій дисперсії.

  9. Закони розподілу статистик вибірки (розподіл ?2 , t-розподіл Стьюдента, F-розподіл Фішера) та іх значення.

  10. Визначення вірогідного інтервалу для дисперсії нормально розподіленої ознаки.

  11. Визначення надійного інтервалу для мат. сподівання нормально розподіленої ознаки при невідомій дисперсії.

  12. Статистична перевірка гіпотез. Критерій перевірки гіпотези. Помилки першого та другого роду.

  13. Вимоги до вибірки. Перевірка вибірки на однорідність.

  14. Перевірка статистичної гіпотези про узгодженість теоретичного закону розподілу з емпіричним на основі критеріїв згоди.

  15. Перевірка статистичної гіпотези про рівність центрів розподілу нормальних сукупностей.

  16. Перевірка статистичної гіпотези про рівність дисперсій нормальних сукупностей.

  17. Кореляційний аналіз та його застосування. Коефіцієнт кореляції.

  18. Регресійний аналіз та його застосування. Метод найменших квадратів.

  19. Ряди динаміки та їх аналіз. Тренди.



ЛІТЕРАТУРА

Основна.

  1. Чалий О.В. та інш. Вища математика: Навч. посібник для студ. ед. та фарм. навч. закладів. – К.: Техніка, 2001.

  2. Свердан П.Л. Вища математика. Аналіз інформації у фармації та медицині: Підручник. – Львів: Світ, 1998.

  3. Лобоцкая Н. Л. и др. Высшая математика: Учебник для вузов. – М.: Высшая школа, 1987.

Додаткова.

  1. Бронштейн И.И., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и студентов втузов. – М.: Наука.

  2. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика. Ч.1., ч.2. Київ, 2002.

  3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей: Задача и упражнения. – М.: Наука, 1977.

  4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –М.: Высшая школа, 1977.

  5. Ивашов-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Наука, 1988.

  6. Овчинников П.П. Вища математика. У 2 ч. Ч.1, ч.2 – К.: Техніка, 2000.


Загальні методичні вказівки до вивчення курсу.


При вивченні курсу „Вища математика” і виконанні контрольної роботи слід керуватися наступними рекомендаціями.

    1. Уважно ознайомитись з програмою курсу і оцінити свій рівень підготовки.

    2. Вибрати один з рекомендованих посібників. Бажано використовувати один з основних підручників, оскільки в них висвітлені усі питання курсу з урахуванням медико-фармацевтичного аспекту курсу.

    3. При вивченні певного питання коротко законспектувати теоретичний матеріал, відповісти на контрольні питання, після чого розв’язати завдання контрольної роботи.

    4. Проконтролювати засвоєння матеріалу за орієнтовним переліком екзаменаційних питань.



^ Вказівки до виконання і оформлення контрольної роботи з курсу „Вища математика”


  1. Контрольна робота виконується студентом самостійно і здається на перевірку до деканату не пізніше призначеного деканатом терміну.

2. Контрольна робота виконується в загальному зошиті, титульна сторінка якого підписується за зразком:


Контрольна робота з вищої математики

студента фармацевтичного факультету ВНМУ

(Прізвище, ім.’я та по-батькові) .

______________ _____група .

адреса .

_____________________телефон, e-mail ____________ ________



Крім того, прізвище, ім’я та по-батькові студента мають бути чітко написані на обкладинці зошита, якщо вона не є титульною сторінкою.

  1. Варіант завдання до контрольної роботи видається студентові індивідуально разом з бланком рецензії.

  2. Індивідуальне завдання і бланк рецензії підклеюються до зошита, в якому виконується контрольна робота.

  3. До кожної задачі потрібно наводити не тільки відповідь, але і розв’язання задачі з необхідними поясненнями. Графічні матеріали і таблиці мають бути виконані охайно, з усіма необхідними підписами. Перед розв’язанням задачі слід переписати її умову, підставивши конкретні чисельні значення параметрів, заданих у таблиці, у відповідності з варіантом.

  4. Задачі, що потребують великого обсягу обчислень, можуть розв’язуватись за допомогою комп’ютерних засобів, але у цьому випадку необхідно вказати, яка програма використовується, навести математичні формули, описати процедуру розв’язання задачі і додати роздруківку результату.

  5. Виконання завдань чужого варіанту не припускається. Така робота повертається без перевірки.

  6. Робота повинна бути оформлена охайно, на аркушах слід залишати поля для зауважень викладача при перевірці роботи.

  7. Робота, виконана з брутальними порушеннями вимог, повертається студентові без перевірки.

  8. Виконана робота здається студентом до деканату, перевіряється і рецензується викладачем. Зарахована контрольна робота зберігається на кафедрі і видається студенту під час сесії. Незарахована робота повертається студентові на доопрацювання. Доопрацьована робота оформлюється у тому ж зошиті і здається до деканату разом з рецензією викладача.

  9. Зарахована робота захищається студентом у співбесіді. За результатом захисту виставляється оцінка.

Методичні рекомендації до вивчення тем курсу, типові задачі та приклади їх розв’язання.


Тема 1. Диференціальне числення функції однієї змінної.

    1. ^ Методичні рекомендації до вивчення теми.

При вивченні диференціального числення слід звернути особливу увагу на засвоєння і розуміння практичних аспектів його застосування. Це в першу чергу фізичний зміст похідної та застосування похідної до аналізу функціональних залежностей, а також поняття диференціалу та його фізичний зміст. Розуміння цих питань є абсолютно необхідним для наступного засвоєння основ моделювання процесів та диференційних рівнянь. Основою для успішного засвоєння диференційного числення є добре володіння поняттям функції, способами її задання та опису процесів за допомогою функцій.

Стосовно техніки диференціювання слід максимум уваги приділити засвоєнню правил диференціювання, особливо правил диференціювання добутку, частки та складеної функції, та використанню таблиць похідних.


1.2. Приклади розв’язання задач.

Приклад 1.1. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Задана функція є степеневою, що стає очевидним, коли записати її у вигляді

.

Застосовуючи правило диференціювання степеневої функції, знаходимо:


.

Приклад 1.2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Задана функція y є добутком двох функцій , де , . Отже, застосовуємо правило диференціювання добутку функцій:



Приклад 1.3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Задана функція y є складеною функцією з трьома рівнями вкладеності функцій: аргументом а ступеневої функції (функція нульового рівня, або ж зовнішня) є функція (першого рівня вкладеності), аргументом якої є функція другого рівня вкладеності. Позначимо

,

,

.

Застосовуючи правило диференціювання складеної функції, знаходимо:



Приклад 1.4. Знайти диференціал функції .

Розв’язання. Диференціал функції dy знаходимо як добуток першої похідної функції на диференціал незалежної змінної dx. За допомогою правила диференціювання складеної функції знаходимо похідну



Диференціал функції



Приклад 1.5. Знайти похідні першого, другого і третього порядку функції .

Розв’язання. Використовуючи правила диференціювання добутку і суми функцій, послідовно знаходимо:

– похідна першого порядку

– похідна другого порядку

– похідна третього порядку



Приклад 1.6. Розчинення лікарської речовини з таблетки описується функцією , де m0 – початкова маса таблетки, m – нерозчинена маса в момент часу t, k константа швидкості розчинення, t – час. Знайти рівняння швидкості розчинення і визначити швидкість розчинення при m0 = 10г, t = 10 хвилин, k = 0,001 с-1.

Розв’язання. Як відомо, похідна функції визначає швидкість її зміни. У цьому полягає фізичний зміст похідної – це швидкість зміни величини, що описується функцією, залежно від зміни аргумента. Таким чином, швидкість розчинення речовини з таблетки є



Отже, швидкість розчинення речовини з таблетки пропорційна нерозчиненій масі таблетки.

Швидкість розчинення, визначаємо підставляючи чисельні значення у вираз похідної. При заданих значеннях параметрів швидкість дорівнює

(г/c)


Приклад 1.7. Дослідити функцію і побудувати її графік



Розв’язання. Дослідження функції проводимо за загальною схемою дослідження функції, яка вивчається у середній школі.

  1. Функція визначена і неперервна на множині усіх дійсних чисел, оскільки визначеними і неперервними при усіх дійсних значеннях t є експоненціальні функції і , сума яких утворює задану функцію. Отже область визначення

  2. Поведінка функції на кінцях області визначення.

Знайдемо наступні границі





  1. Функція y є функцією загального вигляду. Вона не має властивості парності, оскільки для неї не виконується умова

,

і властивості непарності, оскільки не виконується умова



Функція також не є періодичною, оскільки не існує такого Т, що



  1. Інтервали монотонності та екстремуми функції.

Знаходимо першу похідну функції:



Знаходимо критичні точки функції з умови .



Шляхом тотожних перетворень переходимо до еквівалентного рівняння

,

яке має один корінь



Оскільки при маємо , а при маємо , то можемо зробити висновок про те, що при (на інтервалі ) функція є монотонно спадаючою, а при (на інтервалі ) – монотонно зростаючою, точка є точкою мінімуму функції, оскільки в ній характер монотонності функції змінюється з спадання на зростання. Мінімум функції дорівнює



Відомості про інтервали монотонності і екстремуми функції зведемо у таблицю


Табл.1. Інтервали монотонності і екстремуми.

x










y’

-

0

+

y

спадає




зростає


5. Інтервали опуклості та точки перегину.

Інтервали монотонності і точки перегину визначаються за допомогою другої похідної функції. Знайдемо другу похідну:



Точки перегину визначаються з умови , звідки отримуємо рівняння

.

За допомогою перетворень переходимо до еквівалентного рівняння

,

корінь якого є



Отже, графік функції має перегин при . Функція у точці перегину має значення3



Оскільки при маємо , а при маємо , то при (на інтервалі ) функція є опуклою донизу, а при (на інтервалі ) – опуклою догори. У точці графік функції має перегин, оскільки при переході через неї змінюється характер опуклості функції.

Відомості про інтервали опуклості і точки перегину зведемо у наступну таблицю


Табл.1. Інтервали опуклості і точки перегину.


x













y’’

+

0

-

y

опукла донизу




опукла догори


6. Точки перетину з осями координат.

Точки перетину з віссю абсцис Ot знаходимо з умови у=0 , з якої отримуємо рівняння

.

Переходимо до еквівалентного рівняння



і, розв’язуючи його, знаходимо єдиний корінь рівняння



який і визначає точку перетину графіка функції з віссю Ot.

Точки перетину з віссю ординат Oу знаходимо з умови t=0 , підставляючи t=0 у вираз функції:



Отже графік функції перетинається з віссю абсцис Ot у точці і з віссю ординат Oу у точці (0; –1).

7. Асимптоти графіка функції.

Для знаходження асимптот графіка функції визначимо границі





З нескінченності першої границі і неперервності функції витікає, що графік не має асимптот при . З того, що друга границя є нульовою, витікає, що графік має горизонтальну асимптоту при . Оскільки границя функції при дорівнює нулю (п.2), то горизонтальною асимптотою є пряма , тобто вісь Ot.

8. Графік функції.

На основі отриманих в результаті дослідження функції відомостей будуємо графік функції, який наведено на рис. 1.1.

рис.1.1.


Приклад 1.8. Зміщення, викликане імпульсним подразненням м’яза, описується рівнянням Релея



Знайти швидкість і прискорення залежно від часу.

Розв’язання. З фізичного змісту першої і другої похідної функції витікає, що швидкість скорочення м’яза описується похідною зміщення по часу x’, а прискорення – другою похідною зміщення по часу x’’. Отже, швидкість дорівнює



і прискорення дорівнює




  1   2   3   4   5   6   7

Схожі:

Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМ.І. Самойленко, Г. В. Білогурова, В. П. Протопопова методичні вказівки до виконання практичних, гозрахунково-графічних та самостійних робіт з дисципліни „Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика;
Вища та прикладна математика: Теорія ймовірностей та математична статистика; Математичне програмування”
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМіністерство освіти І науки України Харківська національна академія міського господарства Методичні вказівки до самостійного вивчення курсу й виконання контрольної роботи з дисципліни
Методичні вказівки до самостійного вивчення І виконання контрольної роботи з дисципліни „Економіка технічної експлуатації будівель”...
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи з курсу «теорія ймовірностей І математична статистика»
Рекомендовано кафедрою Економіки й управління в будівництві І міському господарстві, протокол №1 від 30. 08. 06 р
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconДо виконання самостійної роботи з дисципліни «статистика»
Методичні вказівки до виконання самостійної роботи з дисципліни «Статистика» (для студентів 2 курсу денної та 3 курсу заочної форм...
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМіністерство освіти І науки україни харківська національна академія міського господарства о. В. Васильєв Методичні рекомендації до виконання практичних завдань І контрольної роботи з курсу «інвестування»
Методичні рекомендації до виконання практичних завдань І контрольної роботи з курсу «інвестування» (для студентів заочної форми навчання...
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМетодичні вказівки для виконання контрольної роботи студентами 5 курсу обліково-фінансового факультету заочної форми навчання
Методичні вказівки для виконання контрольної роботи з дисципліни «Фінансовий облік у галузях народного господарства» підготували
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи з курсу
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з курсу «Інвестування» (для студентів 5 курсу заочної форми навчання фпо І зн...
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМетодичні вказівки до самостійного вивчення та виконання контрольної роботи
Методичні вказівки до самостійного вивчення та виконання контрольної роботи з курсу «Аудит» (для студентів заочної форми навчання...
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconХарківська національна академія міського господарства методичні вказівки до виконання контрольної роботи з курсу
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з курсу «Інвестування» (для студентів 4 курсу заочної форми навчання бакалаврів...
Методичні рекомендації до вивчення дисципліни І виконання контрольної роботи з курсу „Вища математика І математична статистика для студентів І курсу фармацевтичного факультету iconМ. І. Самойленко, Г. В. Білогурова вища та прикладна математика теорія ймовірностей та математична статистика Математичне програмування
Конспект лекцій для студентів 1-го курсу денної та заочної форм навчання за напрямами підготовки 030601 – Менеджмент та 020107 –...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи