В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності icon

В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності




Скачати 123.42 Kb.
НазваВ. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності
Дата18.10.2012
Розмір123.42 Kb.
ТипДокументи


УДК 656.052:681.51.54


В.М.Дубовой, д.т.н., проф.; О.О.Ковалюк, аспірант

АКСІОМАТИЧНА ОСНОВА ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ В УМОВАХ КОМБІНОВАНОЇ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

Анотація. Проведено аналіз основних аксіоматичних методів прийняття рішень. Запропоновану систему аксіом прийняття рішень в умовах комбінованої стохастичної і нечіткої невизначеності.

Аннотация. Проанализировано основные аксиоматические методы принятия решений. Предложено систему аксиом принятия решений в условиях комбинированной стохастической и нечеткой неопределенности.

Abstract. Analysis of the basic axiomatic decision making methods has been performed. A new axiomatic system for decision making under combined uncertainty conditions has been proposed.

^ Ключові слова: прийняття рішень, умови невизначеності, система аксіом, абстрактна корисність, система узагальнюючих функцій, альтернатива, оптимальне рішення.


Досить часто в задачах прийняття рішень постає проблема врахування факторів, що несуть в собі певну невизначеність. Ця невизначеність може мати різне походження, різний характер інформації щодо невизначених обставин прийняття рішень, відрізнятись ступенем невизначеності. В переважній більшості задач вхідні величини містять стохастичну або нечітку невизначеність. Стохастична невизначеність, як правило, пов’язана з використанням даних, отриманих в процесі вимірювання або накопичених на протязі певного часу. Причиною нечіткої невизначеності є використання експертних оцінок чи функцій належності, які формуються на основі висновків експертів. Проте існують задачі, в яких для отримання результату необхідно використовувати як стохастичні, так і нечіткі дані. На сьогоднішній день для прийняття рішень в умовах стохастичної невизначеності використовуються методи теорії статистичних рішень [1]. Прийняття рішень на основі нечітких даних відбувається за допомогою нечіткої логіки [2]. Проблеми, пов’язані з комбінованою невизначеністю, розглянуті щодо моделювання систем контролю та керування [3]. Проте загальних підходів до врахування статистичної і нечіткої невизначеності в задачах прийняття рішень не існує. Однією з причин цього є відсутність аксіоматичного базису прийняття рішень в умовах комбінованої стохастичної і нечіткої невизначеності.

Таким чином, постає задача побудови аксіоматичного базису для формалізації і систематизації підходів до прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності.

Для розв’язання поставленої задачі необхідно сформулювати систему аксіом, яка б задовольняла наступним вимогам:

  1. незалежність аксіом;

  2. повнота аксіоматичної системи;

  3. відсутність протиріч.

Крім зазначених вимог аксіоми повинні бути інтуїтивно зрозумілими, а їх кількість мінімальною.

Множина аксіом прийняття рішень на основі одного критерію в умовах комбінованої стохастичної і нечіткої невизначеності може бути побудована з використанням наступних груп аксіом:

  • аксіоми очікуваної корисності Неймана - Моргенштерна [4];

  • аксіоми системи узагальнення стохастичної та нечіткої невизначеності [3];

  • аксіоми функціонального аналізу [5]

(1)

Система аксіом очікуваної корисності, запропонована Нейманом і Моргенштерном, лягла в основу більшості аксіоматичних методів прийняття рішень. Вона визначає необхідні умови існування функції перетворення абстрактної корисності у число.

Під абстрактною корисністю розуміють уявну міру цінності різних наслідків від прийняття рішення. Дана величина описує характеристики системи індивідуальних переваг особи, яка приймає рішення. В теорії очікуваної корисності робиться припущення, що індивід може порівнювати як наслідки прийняття рішення і їх комбінації, задані з певною ймовірністю, так і корисності, що їм відповідають.

Передбачається, що на системі абстрактних корисностей величин . задане відношення переваги ( краще ) і для будь–якого числа визначена операція комбінування

. (2)

Дана операція характеризує можливість вираження корисності альтернативи за допомогою інших корисностей, що відповідають альтернативам з ймовірностями реалізації та .

Слід відзначити, що відношення “” (краще), “” (гірше), “~” (байдуже) для корисностей не є ідентичними для синонімічнихвфдношень над числами.

Таблиця 1
^

Аксіоми очікуваної корисності Неймана – Моргенштерна



Аксіоми лінійного впорядкування

Аксіома 1.


Для будь–яких має місце одне і тільки одне відношення:

, , .

Аксіома 2.

Якщо і , то .

Аксіоми впорядкування і комбінування

Аксіома 3.

Якщо , то .

Аксіома 4.

Якщо , то .

Аксіома 5.

Якщо , то існує таке значення , для якого виконується нерівність .

Аксіома 6.

Якщо , то існує таке значення , для якого виконується нерівність .

Алгебраїчні правила комбінування

Аксіома 7.



Аксіома 8.

,

де ; .
На основі аналізу розглянутих аксіом можна зробити наступні висновки:

  1. Система індивідуальних переваг індивіда є повною (аксіома 1).

  2. Для абстрактних корисностей є справедливою транзитивність у віддані переваг (аксіома 2).

  3. Альтернатива, яка має більшу корисність, буде її зберігати навіть з деякою ймовірністю (аксіоми 3, 4).

  4. Вплив альтернативи з найбільшою корисністю можна знівелювати, приписавши цій альтернативі достатньо малу ймовірність (аксіоми 5, 6).

  5. Не має значення в якому порядку розташовані корисності в комбінації та за скільки прийомів отримана ця комбінація (аксіоми 7, 8).

  6. Аксіоми 4 і 6 є двоїстими до аксіом 3 і 5 відповідно.

Наведена система аксіом є необхідною умовою існування хоча б однієї функції, яка переводить абстрактну корисність у число. Дана функція дозволяє перейти від операцій та для корисностей до відповідних операцій над числами [6]. В роботі [4] показано, що виконання аксіом передбачає існування нескінченної кількості функцій перетворення корисностей у числові значення, пов’язані між собою співвідношенням

, (3)

де – числові значення корисностей; – коефіцієнти, причому .

Якщо вибрати дві будь-які корисності і , для яких , то зв’язок між двома функціями корисності і буде виражатись співвідношенням

, (4)

де , ;

, .

Таким чином, корисність можна вважати числом з точністю до лінійного перетворення.

Наведені аксіоми доцільно використовувати для пошуку оптимального рішення, якщо відомі очікувані корисності від прийняття можливих рішень.

Основним недоліком системи аксіом Неймана – Моргенштерна є необхідність використання корисностей, визначених тільки однією особою. Ця обставина унеможливлює використання даного підходу, якщо інформація про абстрактні корисності була отримана від різних експертів.

В переважній більшості задач процес прийняття рішення відбувається за відсутності повної інформації про корисність альтернатив. В таких випадках використовуються статистичні дані про реалізацію альтернатив, зокрема закон розподілу ймовірностей появи альтернатив. Один із способів прийняття рішень в умовах ризику базується на системі аксіом, близькій до системи Неймана – Моргенштерна [7].

Нехай – множина розподілів ймовірностей на множині альтернатив, а ­– розподіли, які можна представити у вигляді лотереї

(5),

де – імовірності здійснення альтернатив ();

– рішення, що можуть бути прийняті.

Якщо кожному розподілу приписати числове значення очікуваної корисності , для яких виконується нерівність при , то для даних розподілів ймовірностей справедливі наступні групи аксіом:

  1. аксіоми „слабкого порядку” і транзитивності;

  2. аксіоми, що виключають аномалії у віддані переваги.

Аксіома 1. Для розподілів мають місце відношення:

.

Аксіома 2. Якщо , , то

Аксіома 3. Якщо і , то



Дана аксіома є однією із форм запису “архімедової” аксіоми, що забороняє використання альтернатив, які занадто переважають решту.

Аксіома 4. Якщо і , то



Порівняльний аналіз аксіоматичних систем прийняття рішень на основі очікуваної корисності наведено у табл. 2.
^

Таблиця 2.

Аксіоматичні системи прийняття рішень на основі очікуваної корисності


Аксіоми Неймана – Моргенштерна

Аксіоми прийняття рішень в умовах ризику

Аксіоми впорядкування корисностей

Аксіома 1.

Аксіома 1.

Аксіома 2.

Аксіома 2.

Аксіома 3. Аксіома 4.



Аксіоми комбінування корисностей

Аксіома 5.Аксіома 6.

Аксіома 3.



Аксіома 4.

Аксіома 7.Аксіома 8.



З табл. 2 видно, що ряд аксіом не має відповідності в іншій системі. Так аксіома 4 системи прийняття рішень в умовах ризику не має прямого аналогу в системі Неймана – Моргенштерна. Дане твердження співпадає з вимогою до системи абстрактних корисностей, яка необхідна для справедливості даної системи. Що стосується аксіом 7, 8 системи аксіом очікуваної корисності, то вони визначають алгебраїчні правила комбінування для взаємного вираження корисностей альтернатив.

Таким чином, на основі аналізу аксіом Неймана – Моргенштерна та аксіом прийняття рішень в умовах ризику можна зробити висновок, що дані аксіоматичні системи не містять суперечностей, а відрізняються за рахунок різного формулювання аксіом.

Особливий інтерес представляє випадок, коли рішення потрібно приймати на основі даних різної природи. Прикладом може бути ситуація, коли частина корисностей визначається на основі системи переваг індивіда (експертна інформація), а для інших альтернатив задано закон розподілу ймовірностей (стохастичні дані). Тоді формулювання аксіом і доведення незалежності, повноти і відсутності протиріч залежить від вигляду критерію оптимальності g. Критерій може бути функцією від n невизначених параметрів задачі

, (6)

де - узагальнююча функція невизначеності [3], і функціоналом

, (7)

де X – вектор невизначених параметрів, - область його визначення.

У першому випадку критерій g буде невизначеним і подаватиметься узагальнюючою функцією . Тоді аксіоми очікуваної корисності повинні бути сформульовані з врахуванням правил і аксіом порівняння системи узагальнюючих функцій. У другому випадку критерій g буде визначеним, і аксіоми очікуваної корисності є незалежними від системи узагальнюючих функцій. Слід відмітити, що систему аксіом Неймана – Моргенштерна не можна повністю співставляти з системою аксіом нечіткої логіки. Важливою відмінністю цих систем є різне формулювання аксіоми доповнення. Так в системі аксіом очікуваної корисності сума ймовірностей прийняття рішень дорівнює одиниці. В нечіткій математиці постулат доповнення не виконується.

Таким чином, для побудови системи аксіом прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності необхідно перейти від абстрактного і числового визначення корисностей до вираження цих величин за допомогою узагальнюючих функцій.

Система узагальнюючих функцій описує основні положення узагальнення стохастичних і нечітких даних. Аксіоматична основа даної системи включає в себе спільні аксіоми теорії ймовірностей і нечіткої логіки, а також частину аксіом, на яких ґрунтується обробка числових даних. Аксіоми системи узагальнюючих функцій формулюються наступним чином:

Аксіома 1. .

Аксіома 2. .

Аксіома 3.

Аксіома 4. , причому не визначене, якщо ,

де Е – довільна величина;

І –повністю визначена величина (достовірна подія);

– узагальнююча функція.

Розглянемо аксіоми очікуваної корисності для випадку комбінованої невизначеності. Нехай дано систему корисностей, яка складається з величин , представлених у вигляді закону розподілу ймовірностей або заданих експертним шляхом. Тоді в цій системі можна визначити відношення порівняння . В системі узагальнюючих функцій невизначені дані вважаються рівними, якщо . Для невизначених даних , якщо

, (8)

де . Якщо нерівність (8) не виконується, то .

Для системи корисностей в умовах комбінованої невизначеності може бути визначена операція комбінування корисностей

. (9)

Враховуючи відношення порівняння і операцію комбінування корисностей в мовах нечіткої і стохастичної невизначеності, а також вимоги до аксіоматичних систем, аксіоми Неймана – Моргенштерна можна записати наступним чином:

Аксіома 1. Для будь–яких має місце одне і тільки одне відношення:

Аксіома 2. Якщо і , то .

Аксіома 3. Якщо , то ,

Аксіома 4. Якщо , то ,

Аксіома 5. Якщо , то існує таке значення , для якого виконується нерівність .

Аксіома 6. Якщо , то існує таке значення , для якого виконується нерівність .

Аксіома 7.

Аксіома 8. , де

Таким чином, аксіоми 1-8 визначають властивості порівняння і комбінування корисностей, представлених у вигляді узагальнюючих функцій. При використанні наведених аксіом для знаходження рішення з максимальною корисністю математичні операції у аксіомах повинні виконуватись за правилами системи узагальнюючих функцій.

Висновки. В статті розглянуто аксіоматичні системи прийняття рішень, основані на порівнянні корисностей альтернатив. Проведено порівняльний аналіз даних систем. Запропоновано систему аксіом прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності, яка базується на аксіомах очікуваної корисності Неймана – Моргенштерна та використанні системи узагальнюючих функцій. Запропоновані аксіоми можуть бути використані для визначення оптимальних рішень на основі їх корисностей.

Список літератури

1. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения.– М.: Мир, 1974.– 436с.

2. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А.Поспелова – М.: Наука, 1986. – 312с.

3. Глонь О.В., Дубовой В.М. Моделювання систем керування в умовах невизначеності. Монографія. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2004. – 170 с.

4. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение.– М.: Наука, 1970.–707с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Физматиз, 1968. - 469 с.

  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 1.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1988.– 712с.

  2. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. – М.Наука, 1979.– 200с.


Дубовой Володимир Михайлович д.т.н., професор, Україна, м. Вінниця, Вінницький національний технічний університет, кафедра комп’ютерних систем управління, завідувач кафедри, тел.: (0432)-598157

Ковалюк Олег Олександрович Україна, м. Вінниця, Вінницький національний технічний університет, кафедра комп’ютерних систем управління, аспірант кафедри комп’ютерних систем управління, oleg_2333@mail.ru


Схожі:

В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconНавчальна дисципліна, для якої призначено розробку
Мета розробки. Виховання у студентів навичок у застосуванні критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconСхідноукраїнський національний університет імені Володимира Даля інформаційна картка про інноваційну розробку
Мета розробки. Виховання у студентів навичок у застосуванні критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconРобоча навчальна програма предмет психологія прийняття рішень
Мета курсу: сформувати у слухачів загальне уявлення про психологічні концепції ухвалення рішень, типи рішень, специфіку індивідуальних...
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconУдк 330. 45 Підтримка прийняття рішень щодо розподілу земельних угідь
України: від виробника сільськогосподарської продукції до вищих органів державної влади. Проте в умовах ринкової економіки ключовий...
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconНазва модуля: Оптимізація прийняття рішень
Змістовна та формалізована постановки задачі прийняття рішень. Етапи прийняття рішень. Структура множини альтернатив. Методи та алгоритми...
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconТести з дисципліни „Системи І методи прийняття рішень
Назвіть переваги використання в системах прийняття рішень байєсівського класифікатора
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconТести з дисципліни „Системи і методи прийняття рішень" (на „задовільно")
Назвіть переваги використання в системах прийняття рішень байєсівського класифікатора
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconТема прийняття управлінських рішень
У науковій літературі зустрічається як розширене, так і вузьке розуміння процесу прийняття рішень в управлінні
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності icon1. Назва науково-дослідної, дослідно-конструкторської роботи
Методи нелінійної динаміки, принципи симетрії та дискретні еволюційні моделі пошуку оптимальних рішень в умовах невизначеності
В. М. Дубовой, д т. н., проф.; О. О. Ковалюк, аспірант аксіоматична основа прийняття рішень в умовах комбінованої невизначеності iconТема 10. Класифікація підходів до прийняття управлінських рішень І критерії прийняття рішень в контролінгу

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи