Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь icon

Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь




Скачати 84.73 Kb.
НазваЕкстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь
Дата19.11.2012
Розмір84.73 Kb.
ТипДокументи

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН–ТУ VISNYK LVIV UNIV

Серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and

інформатика. 2002. Вип.4 . C. -7 Computer Science. 2002. No. 4. P. -7


УДК 518.12

ЕКСТРАПОЛЯЦІЙНИЙ МЕТОД МАЖОРАНТНОГО ТИПУ

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ


Г.Цегелик*, Л.Підківка*, Н.Федчишин**

*Львівський національний університет імені Івана Франка

вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000, e-mail: kafmmsep@franko.lviv.ua

**Технологічний університет Поділля

вул. Інститутська, 11, м. Хмельницький, 29016, тел. 72-84-62


З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2] побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку та досліджено його збіжність.

^ Ключові слова: мажоранта і діаграма Ньютона функції; задача Коші; екстраполяційний метод мажорантного типу.

1. ВСТУП

Апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій дійсної змінної, заданих аналітично чи таблично, який вперше запропонований у [1,2], має широке застосовання у чисельному аналізі для побудови чисельних методів розв’язування різних класів задач алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь тощо. Зокрема, за допомогою апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, побудовано чисельний метод відшукання екстремуму негладких і розривних функцій, виведені формули мажорантного типу для наближеного обчислення визначених інтегралів, побудований чисельний метод інтерполяційного типу розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь. Цей апарат використано для апроксимації неперервних і кусково-неперервних функцій [3]. Ми використали апарат некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, для побудови екстраполяційного методу мажорантного типу чисельного розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

2. Формулювання задачі

Розглянемо задачу Коші для звичайного диференціального рівняння

, (1)

. (2)

Припустимо, що розв’язок цієї задачі треба знайти на проміжку , де . Вважатимемо, що в області , яка містить прямокутник , функція є неперервною і задовольняє умову Ліпшиця за зі сталою .

Виберемо на проміжку систему точок , де , , , і, використовуючи апарат некласичних мажорант Ньютона функцій, заданих таблично, побудуємо чисельний метод відшукання наближених значень точного розв’язку задачі (1), (2) в точках .

3. Чисельний метод екстраполяційного типу розв’язування задачі Коші

Нехай – шуканий розв’язок задачі (1), (2). Підставимо його в рівняння (1) і одержимо тотожність

.

Проінтегруємо цю тотожність на кожному з проміжків . Отримаємо

.

Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що для всіх . Замінимо підінтегральну функцію мажорантою Ньютона, побудованою за двома точками і , тобто функцією

,

де

.

Одержимо

,

або

.

Оскільки при



,

то

,

або

.

Отже, для визначення одержуємо формулу

.

Зазначимо, що для роботи методу треба мати наближене значення розв’язку у точці . Його можна знайти, використовуючи інший метод.

4. Збіжність методу

Розглянемо питання збіжності методу. Доведемо, що справджується границя

. (3)

Справді,



.

Оскільки

,

то на підставі відомої границі



випливає правильність границі (3).

Теорема. Якщо в області , яка містить прямокутник , функція неперервна, задовольняє умову Ліпшиця за зі сталою і

, (4)

де – деяка стала, то наближені значення при рівномірно відносно збігаються до точного розв’язку задачі (1), (2).

Доведення. Нехай – похибка наближеного значення розв’язку задачі (1), (2) у точці . Тоді приріст похибки на -му кроці



.

Оскільки (інтегруючи за частинами)



,

то

.

На підставі (3) одержимо

,

де при . Тому

.

Звідси

.

Оскільки функція задовольняє умову Ліпшиця за зі сталою , то

.

Крім того, на підставі (4)

.

Отже,

.

Із нерівності



випливає, що

,

або

.

Ми одержали рекурентну формулу для оцінки похибки на -му кроці через похибку на -му кроці. Оскільки , то при

.

Далі при маємо



;





;

. . . . . . . . . . . . . . . . .





.

Нехай

.

Тоді

,

або

.

Звідси

.

Оскільки при виконується нерівність , то

.

Враховуючи, що , остаточно одержуємо

.

Звідси випливає, що при незалежно від абсолютна величина похибки . А це означає, що наближені значення при рівномірно відносно збігаються до точного розв’язку . Теорема доведена.

Приклад. Знайти чисельний розв’язок задачі Коші



на проміжку .

Точний розв’язок задачі .

Результати чисельного розв’язування задачі запропонованим екстраполяційним методом мажорантного типу та значення точного розв’язку в точках наведені в таблиці. Наближене значення розв’язку у точці знайдено за допомогою методу Рунге-Кутта третього порядку.

Порівняння наближеного і точного розв’язків



Наближений розв’язок

Точний розв’язок





0,0

0,50000

0,50000

0,50000

0,1

0,42981

0,42981

0,42982

0,2

0,36849

0,36854

0,36856

0,3

0,31513

0,31523

0,31526

0,4

0,26884

0,26896

0,26901

0,5

0,22880

0,22894

0,22899

0,6

0,19426

0,19441

0,19447

0,7

0,16456

0,16472

0,16477

0,8

0,13909

0,13925

0,13930

0,9

0,11731

0,11746

0,11752

1,0

0,09874

0,09889

0,09894

Як видно із таблиці, похибка методу в цьому випадку становить .

Отже, з використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, побудовано екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Доведено збіжність цього методу.

Оскільки мажоранта Ньютона на кожному з проміжків є опуклою функцією, то побудований чисельний метод дає найточніші результати у випадку, коли права частина диференціального рівняння є опуклою функцією. Крім того, якщо розв’язок диференціального рівняння має вигляд , де , то побудований метод дає точні результати.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Цегелик Г. Г. Теория мажорант и диаграмм Ньютона функций, заданных таблично, и ее приложение // Укр. матем. журн. 1989. Т.41. №9. С.1273-1276.

  2. Цегелик Г. Г. Мажоранты и диаграммы Ньютона функций действительной переменной, заданных в промежутке // Докл. АН УССР. Сер.А. 1987. №6.
    С.18-19.


  3. Цегелик Г. Г., Федчишин Н. В. Використання апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, для апроксимації функцій // Доп. НАН України. Математика. Природознавство. Технічні науки. 2001. №6. С.32-37.
^

EXTRAPOLATIon METHOD OF MAJORANt TYPE OF SOLVING THE cAUCHY PROBLEM FOR ordinary DIFFERENTIAL EQUATIONS


H.Tsehelyk*, L.Pidkivka*, N.Fedchyshyn**

*Ivan Franko National University In Lviv

Universytetska str., 1, Lviv, 79000, e-mail: kafmmsep@ franko.lviv.ua

**Technological University of Podillia

Instytutska str., 11, Hmelnytskyj, 29016, tel. 72-84-62


Cauchy problem for ordinary differential equations of the first order has been considered in this paper. Extrapolation method of majorant type has been proposed to solve the problem. For its constructing we have used the theory of Non-Classical Newtonian Majorants and Diagrams of function, given in some points. The theorem of convergence has been formulated and proved. Given numerical method is illustrated with example.

Key words: Newtonian Majorant and Diagram of function, Cauchy problem; Extrapolation method of majorant type.

Стаття надійшла до редколегії 10.10.2001

Прийнята до друку

© Цегелик Г., Підківка Л., Федчишин Н., 2002


Схожі:

Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ
Обгрунтовано нелінійний, неявний однокроковий чисельний метод мажорантного типу розв’язування задачі Коші для звичайних диференціальних...
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconВісник львів. Ун-ту visnyk LVIV univ серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and інформатика. 2002. Вип C.6 Computer Science. 2002. No. P.6 
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2], побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconЧисельні методи
Методи чисельного розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconЗадача для рівняння (1) полягає в знаходженні функції, котра всередині відрізка [a,b] задовольняє рівняння (1), а на його кінцях лінійні крайові умови
Наближене розв’язування лінійної крайової задачі для звичайних диференціальних рівнянь
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь icon01. 01. 02 Диференціальні рівняння (фізико математичні науки) київ 2004
Задача Коші для системи диференціальних рівнянь у нормальній формі. Теорема Пікара. Теорема Пеано. Теореми Каратеодорі та Осгуда...
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconМ. П. Метод послідовних наближень у розв’язках фізичних задач
Розглядається двовидова модель типу «хижак-жертва», що описує взаємини живих організмів з навколишнім середовищем, яке представляє...
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconСекція 11. Машинобудування
Методологія ґрунтується на сумісному інтегруванні нелінійних диференціальних рівнянь електромагнітного стану двигунів і звичайних...
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconДипломна робота спеціаліст на тему деякі задачі для лінійних інтегро диференціальних рівнянь типу фредгольма

Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconСекція математичного аналізу та диференціальних рівнянь
Про асимптотичне розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженнями під точками повороту
Екстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь iconМетод Лобачевського розв’язування
Через дуже складну логіку практично не можливо скласти достатньо універсальну програму розв’язання широкого класу рівнянь за методом...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи