Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами icon

Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами




Скачати 68.32 Kb.
НазваПро асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами
Дата19.11.2012
Розмір68.32 Kb.
ТипДокументи

ВІСНИК ЛЬВІВ. УН–ТУ VISNYK LVIV UNIV

Серія прикладна математика та Ser. Applied Mathematiсs and Computer

інформатика. 2001. Вип. . C. -6 Science. 2001. No . P. -6


 УДК 517.925

ПРО АСИМПТОТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ СИСТЕМИ

ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З ПОВІЛЬНОЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ


Олена Стара

Дрогобицький державний педагогічний університет,

вул.Стрийська,3, м.Дрогобич, 82100, e-mail:fizmat@drohobych.net


Розглянуто побудову і показано вигляд формальних частинних розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами у випадку кратних коренів характеристичного рівняння.

^ Ключові слова: диференціальні рівняння; повільнозмінні коефіцієнти; характеристичні корені

1. ВСТУП

Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь вигляду

(1)

де – шуканий -вимірний вектор; – дійсні квадратні матриці -го порядку, які зображають формальними степеневими рядами

(2)

– малий дійсний параметр.

Відомо [1], що структура формальних частинних розв’язків системи (1) залежить від кореня характеристичного рівняння

(3)

Для коренів рівняння (3) можна довести такі леми.

Лема 1. Якщо матриці на сегменті мають неперервні похідні до порядку включно, і кратність коренів рівняння (3) не змінюється на , то ці корені також мають неперервні похідні до порядку включно.

Лема 2. Якщо – корінь рівняння (3) сталої кратності , то ранг матриці



задовольняє нерівність

(4)

Розглянемо випадок, коли корінь рівняння (3) має на сегменті сталу кратність . Згідно леми 2 ранг матриці задовольняє нерівності (4). Тоді можливі два випадки:

А. Ранг матриці дорівнює ;

В. Ранг матриці дорівнює .

2. побудова формальних частинних розв’язків у випадку а

Нехай , тобто при кожному фіксованому хоча б один мінор -го порядку відмінний від нуля. Не порушуючи загальності, можна вважати, що мінор -го порядку, який стоїть у лівому верхньому куті матриці , відмінний від нуля при всіх . Уведемо такі позначення:

; ;

; ; (5)

;

– вектор-розв’язок однорідної союзної системи, яка відповідає неоднорідній системі

(6)

Як відомо [3], для того щоб система (6) мала розв’язок, потрібно, щоб виконувалась умова

. (7)

Тоді справджується така теорема:

Теорема 1. Якщо  – необмежено диференційовні матриці на сегменті і виконується умова

(8)

то система диференціальних рівнянь (1) у випадку А має формальний частинний розв’язок, який відповідає двократному кореню рівняння (3) вигляду

(9)

де вимірний вектор, зображений формальним рядом

. (10)

Доведення. Визначимо коефіцієнти ряду (10) і скалярну функцію так, щоб вектор (9) формально задовольняв рівняння (1). Для цього підставимо (9) у систему (1) і отримаємо тотожність



(11)



(тут штрих означає диференціювання по ).

Прирівняємо у співвідношенні (11) коефіцієнти при :

. (12)

Використовуючи позначення (5), із (12) маємо

. (13)

Компонента залишається поки що невизначеною.

Прирівняємо в (11) коефіцієнти при :

(14)

Звідси, враховуючи (1), отримаємо

(15)

Відносно вектора маємо неоднорідну алгебричну систему, визначник якої дорівнює нулю при . Необхідна і достатня умова існування розв’язку системи (15) має вигляд

(16)

Як відомо [4],

. (17)

Оскільки  – двократний корінь рівняння (3), то при . Тому умова (16) виконується для довільних і . Для отримання нетривіального розв’язку системи (1) будемо шукати і .

Розв’язуючи (14) відносно , знаходимо

. (18)

Функції , , залишаються поки що невизначеними. Для їхнього відшукання прирівняємо у співвідношенні (11) коефіцієнти при :

. (19)

З урахуванням (13) із (19) маємо



(20)



Умова розв’язності системи (20) має вигляд

. (21)

Легко довести [4], що

. (22)

Із (21)

. (23)

Для знаходження вектора використовують умову існування розв’язку неоднорідної системи, яку отримують у разі прирівнювання коефіцієнтів в (11) при . Продовживши цей процес, можна знайти вектори необмежено диференційовні по .

Теорему доведено.

3. побудова формальних частинних розв’язків у випадку в

У цьому випадку ранг . Нехай – мінор -го порядку, що розташований у лівому верхньому куті визначника

(24)

відмінний від нуля при

Уведемо в розгляд матриці

; , (25)

; ; (26)

де – одинична матриця другого порядку;

; (27)

вектори і такі, що

(28)

- вимірний вектор;  – двовимірний вектор.

Нехай – мінор, який отримують шляхом дописування до знизу -го рядка визначника і справа -го стовпця визначника – матриця, складена з елементів

Тоді справджується така теорема.

Теорема 2. Якщо матриці необмежено диференційовні по на сегменті , і виконується умова, що

, (29)

то формальний частинний розв’язок системи (1), який відповідає двократному кореню , має вигляд

(30)

де

. (31)

Доведення. Для доведення цієї теореми потрібно також довести розв’язність матричних рівностей, отримуваних шляхом прирівнювання в (11) коефіцієнтів при Проте в цьому випадку ранг матриці дорівнює . Тоді, прирівнюючи коефіцієнти при і враховуючи (25)-(26), отримаємо

. (32)

Вектор залишається поки що невизначеним.

Прирівнюючи коефіцієнти в (11) при і враховуючи (32), одержимо систему

(33)

визначник якої дорівнює нулю. Тоді необхідна і достатня умова існування розв’язку отриманої системи має вигляд

(34)

де – лінійно незалежні розв’язки відповідної однорідної системи.

Можна довести [1], що для довільного двовимірного вектора

. (35)

Знайдемо вектор із (33), враховуючи (26):

(36)

де

,

причому вектори , і скалярна функція залишаються поки що невизначеними. Для їхнього знаходження прирівняємо в (11) коефіцієнти при і врахуємо (32) і (36):



(37)

Необхідною і достатньою умовою існування розв’язку цієї неоднорідної системи є умова





яка на підставі (35) набуде вигляду

(38)

Далі можна довести [4], що функцію визначають із системи (38).

Після знаходження функції послідовно визначають вектори які є необмежено диференційовні по .

4. Висновки

Методами [1,2] можна визначити асимптотичні властивості формальних розв’язків (9), (30) у розумінні [2].

ЛІТЕРАТУРА

  1. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пидченко Ю.П., Сотниченко Н.А. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. К: Наук. думка, 1981.

  2. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М: Наука, 1963.

  3. Смирнов В.И. Курс высшей математики: В 5 т. М.:Наука, 1974. Т.3. Ч.1.

  4. Стара О.В. Асимптотичні розв’язки систем лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з відхиленням аргументу: Автореф. дис. канд. фіз.-мат.наук. К., 1990.

About asymptotic presentation of the solutions of system of linear differential equatuions of the second order with slowly chanding coefficient


O. Stara

Drohobych State Pedagogical University

Struiska str,3, Drohobych, 82100, e-mail:fizmat@drohobych.net


This article deals with the construction and the form of formal particular solution of system of linear differential equations of the second order with slowly changing coefficient and which have multiple characteristic roots.

Key words: differential equations; slowly chanding coefficient; characteristic roots.

Стаття надійшла до редколегії 18.10.2001

Прийнята до друку

   Стара О.В., 2002


Схожі:

Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconСекція математичного аналізу та диференціальних рівнянь
Про асимптотичне розвинення розв’язків сингулярно збурених систем диференціальних рівнянь з виродженнями під точками повороту
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconКод модуля: вм 6011 С01 Тип модуля: обов‘язковий Семестр
Числові та функціональні ряди. Диференціальні рівняння першого та вищих порядків. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого...
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconДвох лінійних рівнянь має безліч розв’язків?
Яка система трьох лінійних рівнянь еквівалентна системі двох рівнянь з трьома невідомими?
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconЕкстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2] побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconКонтрольні питання з дисципліни «Вища математика» для 1-го курсу денної форми навчання спеціальності «Експлуатація суднових енергетичних установок» викладач: к ф. м н., доцент Бахарев Олег Геннадійович
Визначники 2-го порядку, системи 2-х лінійних рівнянь, формули Крамера, однорідна система 2-х лінійних рівнянь з 3-ма невідомими
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconКод модуля: вм 6010 С01 Тип модуля: обов‘язковий Семестр
Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь. Вектори. Рівняння прямої на площині. Криві другого порядку. Диференціальне числення...
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconПрограма з курсу "Вища, математика" Матриці. Визначники матриць. Системи рівнянь першої степені
Розв'язок системи "n" рівнянь з "n" невідомими, правило Крамера. Розв'язок І дослідження систем рівнянь першої степені методом повного...
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами icon§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами icon§5 Розв'язок систем n рівнянь із n невідомими
Встановивши основні властивості І способи обчислення визначників матриць будь-якого порядку, повернемося до основної задачі розв'язку...
Про асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами iconЧисельні методи
Методи чисельного розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь 1-го порядку
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи