Двовимірне відображення «кіт Арнольда» icon

Двовимірне відображення «кіт Арнольда»




Скачати 26.73 Kb.
НазваДвовимірне відображення «кіт Арнольда»
Дата05.07.2013
Розмір26.73 Kb.
ТипДокументи

Двовимірне відображення «кіт Арнольда»

Рассмотрим двумерное отображение

(1)

которое называют отображением кота Арнольда (Arnold's cat map).

Геометрически первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат



а второй — в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него. Последнее отвечает, конечно, операции взятия модуля, благодаря присутствию которой фазовое пространство можно считать периодическим по обеим динамическим переменным р и х и интерпретировать как поверхность тора. Впрочем, для наглядного графического представления динамики удобнее использовать просто единичный квадрат, как на рис. 1.

Отображение кота Арнольда относится к классу консервативных динамических систем. Математически это выражается в том, что детерминант матрицы М, задающей отображение, равен 1, и оно, следовательно, сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота.

Можно рассмотреть более широкий класс линейных отображений на торе, определяемых всевозможными матрицами 2 X 2 с целочисленными элементами и единичным определителем:

(2)

(3)

В зависимости от собственных чисел матрицы, которые находятся из решения квадратного уравнения

(4)

отображения вида (2) относятся к одному из трех типов:

  • гиперболический, если одно из собственных чисел больше, а второе меньше 1;

  • параболический, если ;

  • элиптический, если и комплексно-сопряженные.

Отображение кота Арнольда принадлежит к гиперболическому типу, поскольку его собственные числа и . При итерациях этого отображения закрашенная область (изображение кота) вытягивается вдоль направления первого (неустойчивого) собственного вектора на каждом шаге в раз и сжимается вдоль второго (устойчивого) собственного направления, соответственно, в раз. После достаточно большого числа итераций изображение кота превращается в чрезвычайно уз­кую полосу, вытянутую вдоль неустойчивого собственного направления, т. е. близкую к длинному отрезку линии, заданной уравнением



Из-за того что угловой коэффициент иррационален, эта линия покрывает поверхность тора всюду плотно. Поэтому картина выглядит как набор большого числа узких чередующихся черных и белых полосок, в которые превратились, соответственно, множество точек, принадлежащих изображению кота, и дополнение этого множества: черная и белая «жидкости» оказываются хорошо перемешанными. Оно строго доказывается в своей точной математической формулировке для гиперболических отображений на торе и служит основанием для заключения о хаотической динамике этих систем. В частности, из перемешивания следует свойство эргодичности, которое состоит в том, что вычисление статистических средних по ансамблю эквивалентно усреднению по времени вдоль типичной индивидуальной траектории.

% cgray = 256*rand(30); % 30x30 random grayscale image

% image(cgray), colormap gray % display image and set colormap to grayscale

% crgb = rand(30,30,3); % 30x30(x3) random RGB image

% image(crgb) % display (colormap has no effect)


smokey = imread('test.BMP');

image(smokey)

% smokeytrim = smokey(:,1:127,:);

image(smokey);

pause

X = smokey;

for i = 1:100

X = catmap(X);

image(X)

pause

end


function X = catmap(Y)

% applies Arnold's Cat Map to the image Y to produce image X


p = size(Y,1); % get the number of pixels on each side

X = zeros(size(Y)); % make space for X (all zeros to start)

for i = 1:p % loop through all the pixels

for j = 1:p

newi = mod(((i-1) + (j-1)),p) + 1; % get new i coord (m+n) mod p

newj = mod(((i-1) + 2*(j-1)),p) + 1; % get new j coord (m+2n) mod p

X(newi,newj,:) = Y(i,j,:);

end

end

X = uint8(X); % this may have to be adjusted depending on the type of image

Схожі:

Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconМножина жюлія,мандельброта,біфуркац діаграма
Одним із способів завдання фракталів на площині є комплексні відображення. Розглянемо нелінійне комплексне перетворення =const –...
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconМножина жюлія,мандельброта,біфуркац діаграма
Одним із способів завдання фракталів на площині є комплексні відображення. Розглянемо нелінійне комплексне перетворення =const –...
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconГусак Н. Г. група оа-91 Науковий керівник: к е. н., ас. Макаренко І. О. Відображення змін в облікових політиках на будівельних підприємствах у контексті переходу на мсфз
Відображення змін в облікових політиках на будівельних підприємствах у контексті переходу на мсфз
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconШановні колеги! Запрошуємо Вас до участі в Міжнародній науковій конференції «Системний аналіз функціонування мовних одиниць»
Академії педагогічних наук України, дійсного члена Академії вищої школи України, заслу­же­ного діяча науки і техніки Укра­їни Арнольда...
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconОксана Кіт Особливості інтерпретації образу Жанни д’Арк у драматичній літературній традиції
Цей образ перегукується із образами міфологічних дів-войовниць, героїв-воїнів, які так само були наділені містичним натхненням. Цей...
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconС. А. Шубович, Н. С. Вінтаєва
Проблеми візуального сприйняття І графічне відображення архітектурного середовища
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconІсторія латинської мови
Система індоєвропейських голосних і дифтонгів та їх відображення у латинській мові
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconУдк 657: 634 Михальська В. В., аспірантка
Відображення біологічних активів садівництва у фінансовій звітності бюджетних установ
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconПерелік питань до заліку (іспиту)
Основні положення міжнародних контрактів та особливості відображення інформації в системі бухгалтерського обліку
Двовимірне відображення «кіт Арнольда» iconФормат опису модуля
Знати основи методології web програмування для відображення та пересилання інформації в комп’ютерних мережах
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи