Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини icon

Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини




Скачати 63.81 Kb.
НазваВипадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини
Дата30.11.2012
Розмір63.81 Kb.
ТипЗакон

§4.Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин.

4.1. Дискретні і неперервні випадкові величини.

В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події і ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад, час безвідмовної роботи деякого приладу, число появ герба при трьох підкиданнях монети і т.п.

Назвемо випадковою величину, пов’язану з даним дослідом, яка при кожному здійсненні досліду може приймати те чи інше числове значення, залежно від випадку.

Між випадковими подіями і випадковими величинами існує тісний зв’язок. Випадкова подія

є якісною характеристикою випадкового результату досліду, а випадкова величина – його кількісною характеристикою. Випадкові величини за своїм характером поділяються на дискретні і неперервні.

Дискретна випадкова величина - це така величина, яка може приймати лишень розрізнені (дискретні, перервні) значення. Іншими словами, вона має таку властивість, що кожне з її можливих значень має окіл, який вже не містить жодного з інших значень цієї ж величини. Всі можливі значення дискретної випадкової величини можуть бути перенумеровані

.

Випадкова величина називається неперервною, якщо сукупність її можливих значень цілком заповнює деякий проміжок числової осі, який може бути скінченним або нескінченним. Наприклад, випадкова величина - час безвідмовної роботи приладу, - неперервна, оскільки її можливе значення .

^ 4.2. Закон розподілу випадкової величини.


Важливою характеристикою випадкової величини є розподіл ймовірностей цієї величини. Справа в тому, що випадкова величина може приймати ті чи інші числові значення, взагалі кажучи, із різними ймовірностями.

Приклад 1. При трьох підкиданнях монети випадкова величина - число появ герба – може приймати значення із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі






Співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими приймаються ці значення, називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини.

Для дискретної випадкової величини закон розподілу може бути заданий таблично або графічно. В першому випадку закон розподілу називається рядом розподілу ймовірностей випадкової величини .









. . .


Р






. . .




В першому рядку таблиці записують всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а в другому - відповідні їм ймовірності.

Оскільки події становлять повну групу несумісних подій, то за теоремою додавання ймовірностей маємо

, (1)

тобто сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці.

Графічне зображення закону розподілу називається многокутником розподілу: по осі абсцис відкладаємо можливі значення випадкової величини , а по осі ординат – ймовірності цих значень.
^

Для розглянутого вище прикладу 1 ряд і многокутник розподілу мають вигляд відповідно






0

1

2

3

Р











Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично (з допомогою формули). Табличне задання неможливе, оскільки ймовірність отримати будь-яке певне значення неперервної величини дорівнює нулеві, що пов’язане не з неможливістю самої події (попадання в певну точку на числовій осі), а з безмежно великим числом можливих випадків.

Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі.

Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал визначають як ймовірність події

і позначають

, (2)

(ліву межу інтервалу включають, а праву не включають).

^ 4.3. Функція розподілу.

Для кількісної оцінки закону розподілу випадкової величини (дискретної або неперервної) задають функцію розподілу ймовірностей випадкової величини, яку визначають як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше деякого фіксованого числа і позначають

(3)

або .

Функцію розподілу інколи називають інтегральною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини.

Знаючи функцію розподілу , можна обчислити ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал :

. (4)

Дійсно, випадкова подія є об’єднанням двох несумісних подій і .

Отже, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо

,

звідки ,

або, враховуючи позначення (3) .

Встановимо деякі властивості функції розподілу.

. є неспадною функцією, тобто , якщо .

. Значення функції розподілу належать відрізку , тобто .

Інакше:

. Функція розподілу неперервна зліва:

.

Для прикладу 1 побудуємо функцію розподілу випадкової величини Х , заданої рядом розподілу


Х


0

1

2

3

Р











При

при

при

при

при .


Приклад 2. Нехай функція розподілу деякої неперервної випадкової величини Х задана у вигляді

.

Визначити значення коефіцієнта і побудувати графік функції.

Оскільки функція неперервна зліва, то при маємо , звідки .

^ 4.4. Щільність розподілу.

Закон розподілу ймовірностей неперервних випадкових величин може бути заданий також і щільністю розподілу.

Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу , неперервною і диференційовною. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в деякий інтервал знайдемо на підставі співвідношення (4):



тобто як приріст функції розподілу на цьому інтервалі.

Відношення виражає середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини інтервалу.

Перейшовши до границі при , отримаємо

.
^

Функція (5)


називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини Х , а її графік – кривою розподілу. Іноді вживають термін – диференціальна функція розподілу .
^

З означення (5) випливає, що . (6)


Використавши формули (4) і (6), виразимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал через щільність розподілу

. (7)

Дійсно, .

Встановимо деякі властивості щільності розподілу:

. є невід’ємною функцією, тобто .

Дійсно, оскільки неспадна функція, то .

. .

Це випливає із формули (6) і властивості для функції розподілу .

Геометричне тлумачення щільності розподілу випливає із формули (7): ймовірність попадання випадкової величини Х обчислюється як площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком кривої , знизу – відрізком осі абсцис, зліва і справа - відрізками прямих , .

Властивість геометрично означає, що вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.






Схожі:

Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconРозподіли Бернуллі та Пуассона
Розділ Основні поняття про дискретні випадкові величини одновимірні дискретні випадкові величини
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconЗакон розподілу функції випадкових величин
Тому при розв’язуванні задач такого типу необхідно знати закони розподілу випадкових величин, що фігурують в постановці задачі. Звичайно...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconЧислові характеристики випадкових величин
Користуючись такими характеристиками, ми в стислій формі можемо отримати інформацію про істотні особливості законів розподілу випадкової...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини icon§ Числові характеристики системи випадкових величин
Початковим моментом порядку системи називається математичне сподівання добутку –го степеня випадкової величини і –го степеня випадкової...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconКонтрольні питання з курсу “Теорії ймовірностей”
Закони розподілу дискретної випадкової величини (ряд розподілу, багатокутник розподілу, функція розподілу)
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconРозділ 1 Основні поняття про дискретні випадкові величини
Будь-яка дискретна випадкова величина вважається заданою, якщо визначені всі її можливі значення та ймовірності, з якими ці значення...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconЩо називають розмірністю одиниці будь-якої фізичної величини?
У чому полягає своєрідність методу аналізу розмірностей при встановленні залежності величини від величин, що визначають досліджуване...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconАнотація навчальної дисципліни «Теорія ймовірностей І математична статистика»
Підходи „ТЙіМС” надають можливість застосовувати методи теорії ігор в задачах взаємодії підприємця з економічним середовищем. Знання...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини iconЧислові характеристики функції випадкових величин Математичне сподівання і дисперсія функції випадкової величини
В найпростішому випадку задача ставиться таким чином: на вхід деякого технічного пристрою поступає випадковий сигнал, і технічний...
Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин. Дискретні і неперервні випадкові величини icon§ Системи випадкових величин
При вивченні випадкових явищ в залежності від їх складності доводиться використовувати дві, три або більше випадкових величин. Наприклад,...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи