Радиационные дефекты в твёрдых телах icon

Радиационные дефекты в твёрдых телах




Скачати 291.99 Kb.
НазваРадиационные дефекты в твёрдых телах
Сторінка3/3
Дата15.09.2012
Розмір291.99 Kb.
ТипРеферат
1   2   3

^ 4. СЛОЖНОСТЬ ИЕРАРХИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ ДЕФЕКТОВ

Несмотря на достигнутое понимание экспериментальной ситуации построение полной картины эволюции дефектной структуры сдерживалось тем, что до последнего времени не осознавалась её иерархическая природа [6]. На рис.5 она проявляется в том, что с изменением масштаба увеличения



Рисунок 5. Дислокационная структура сплава NiFe при деформациях 0.05, 0.05, 0.16, 0.28 (a, b, c, d, соответственно)


электронно-микроскопической фотографии, рост которого отвечает переходу на более глубокий структурный уровень, закономерности грубой структуры определяют более тонкие её детали. Согласно рис.6, каждому



Рисунок 6. a) Распределение термодинамического потенциала по состояниям различных структурных уровней; b) дерево Кейли, определяющее иерархическую связь этих состояний


структурному уровню можно сопоставить горизонтальную линию иерархического дерева Кейли, которой отвечает определённый уровень разрешения минимумов термодинамического потенциала. В результате эволюция системы может быть представлена в рамках фрактальной кинетики иерархизованных структур. Следует однако иметь в виду одно важное обстоятельство. Подход, основанный на использовании континуального ультраметрического пространства, предполагает, что число уровней бесконечно велико, а характер связи между ними не существенен и важна только структура дерева. В нашем случае число структурных уровней (отвечающих дислокациям, дисклинациям, зернам, их конгломератам, ..., образцу) заведомо невелико и принципиально важен характер их связи. Поэтому полное описание картины эволюции дефектной структуры не может быть достигнуто в рамках аналитического подхода, и следует использовать численные методы, в рамках которых поле деформации на данном уровне определяется стандартным образом, а связь со следующим структурным уровнем задается через граничные условия.

С формальной точки зрения эволюция самоподобной дефектной структуры сводится к аномальной диффузии в ультраметрическом пространстве иерархической системы, геометрическим образом которой является дерево Кейли [7, 8]. Основная особенность случайных иерархических систем состоит в том, что при переходе на более глубокий уровень каждый статистический ансамбль разделяется на более мелкие подансамбли, которые, в свою очередь, состоят из ещё более мелких субансамблей следующего уровня, и т.д. Со статистической точки зрения набор указанных (под)ансамблей определяется сложностью системы, которая по аналогии с энтропией характеризует беспорядок иерархической связи [9].

Статистическая теория самоподобных структур основывается на использовании деформированных функций логарифма и экспоненты, которые сохраняют свои свойства при соответствующем деформировании операций произведения и частного [10]. Для демонстрации необычности такого произведения на рис.7 приведена зависимость такого произведения




Рисунок 7. Зависимость деформированного произведения от параметра


от параметра деформации . Из рисунка видно, что обычное значение получается только в отсутствие деформации (), тогда как при минимальном значении имеем , а при получаем .

Использование деформированных полиномиальных коэффициентов приводит к следующей связи между сложностями ближайших иерархических уровней [9]

(34)

Здесь положено, что каждое состояние верхнего уровня разделяется на групп , занятых с вероятностью ; каждая из них содержит узлы , которые заполняются с вероятностями на нижнем уровне иерархического кластера; кроме того, введен физический параметр неаддитивности , принимающий значения . Если статистические состояния распределены по микроканоническим ансамблям, то вероятности и соответствующие сложности определяются номером уровня :

(35)

В результате равенство (34) принимает простой вид

(36)

где число узлов распределено по уровням согласно степенному закону

(37)

с показателем , для которого условие самоподобия даёт

. (38)

При этом вероятности реализации состояний на соседних иерархических уровнях определяются рекуррентным соотношением

, (40)

где – число иерархических уровней. При это соотношение сводится к стационарному уравнению Фоккера-Планка.

Для определения сложности дефектной структуры проще всего воспользоваться в равенстве (36) распределением Цаллиса [10]

, (41)

применимым в континуальном пределе (параметр характеризует ширину разброса статистических состояний). При этом вероятности заполнения соседних уровней связаны соотношениями

(42)

в последнем из которых учтена связь (40), представленная в континуальном приближении. Подстановка (42) в (36) даёт

(43)

Полагая , с учётом (41), (37) сводим разностное уравнение (43) к дифференциальному

(44)

где проведена замена на . В предельном случае решение этого уравнения приводит к зависимости

(45)

где использовано начальное условие . Она означает, что с ростом сложность монотонно нарастает до предельного значения

(46)

спадающего с увеличением параметра неаддитивности и дисперсии [9].

В общем случае решение уравнения (44) выражается через гипергеометрическую функцию:

(47)

Анализ правой части уравнения (44) показывает, что в пределе его решение не принимает бесконечных значений, если показатель не превышает максимальной величины

(48)

С другой стороны, должно выполняться условие самоподобия (38). Тогда нечётные аргументы гипергеометрической функции совпадают, и она принимает простой вид [11]

(49)

В результате сложность (47) сводится к выражению

(50)

Как и для вырожденного дерева (), эта величина монотонно нарастает с числом иерархических уровней до максимального значения

(51)

где корни представляют золотое сечение. С ростом параметра неаддитивности максимальная сложность монотонно спадает от бесконечного значения при до нулевого при . Однако в отличие от (46) зависимость от дисперсии становится немонотонной: при значениях параметра неаддитивности, ограниченных верхним пределом , максимальная сложность с ростом увеличивается, а при – уменьшается. Характер изменения сложности в зависимости от числа иерархических уровней , параметра неаддитивности и дисперсии показан на рисунках 8, 9.



Рисунок 8. Зависимость сложности от числа иерархических уровней при и (цифры у кривых указывают значения )




Рисунок 9. Зависимость максимальной сложности от дисперсии иерархического ансамбля при и


Изложенное рассмотрение показывает, что установление иерархической связи быстро повышает сложность статистического ансамбля до предельного значения. Хотя сложность определяется энтропией Цаллиса, их физическая природа совершенно различна: если для простых систем эта энтропия характеризует беспорядок в распределении наименьших структурных единиц (например, атомов), то в иерархических системах их роль играют подансамбли, на которые разделяется полный статистический ансамбль.

В общем случае поведение сложной системы определяется кластерной структурой всех иерархических уровней, однако свойство самоподобия позволяет ограничиться заданием типичного кластера и номера уровня . Исследование различных иерархических деревьев показало [12], что возможны три их основных типа: вырожденное дерево, у которого на каждом уровне ветвится единственный узел, благодаря чему с ростом число узлов нарастает по линейной зависимости; регулярное дерево, на каждом уровне которого все узлы ветвятся одинаковым образом и их число увеличивается экспоненциально; самоподобное дерево, у которого число узлов нарастает по степенному закону с показателем . В первом случае вероятность реализации состояний на различных иерархических уровнях изменяется логарифмически медленно, во втором экспоненциально быстро и только в последнем обнаруживает присущее самоподобным системам степенное поведение с показателем, определяющим фрактальную размерность ультраметрического пространства, геометрическим образом которого является иерархическое пространство. Согласно (38), параметр неаддитивности определяется показателем ветвления : регулярное и вырожденное деревья характеризуются предельными значениями и , а самоподобное распределение (41) с показателем реализуется при . Такая связь объясняет бесконечное нарастание сложности при параметре неаддитивности – при этом неограниченно возрастает показатель ветвления иерархического дерева , обеспечивая предельную сложность системы.

Выше мы рассмотрели самоподобные иерархические ансамбли. При произвольном распределении по узлам иерархического дерева, не обладающего свойством самоподобия, разностное уравнение (36) приводит к более сложному выражению

, (52)

где вероятность сводится к значению при . В (52) подразумевается, что на уровне иерархического дерева, обладающего уровнями, состояния , ,…, образуют кластер, которому отвечает узел на более высоком уровне . Поэтому при вычислении сложности (52) следует сначала провести суммирование по узлам нижнего уровня , принадлежащих кластеру, который отвечает узлу следующего уровня . Затем выполняется суммирование по узлам уровня , принадлежащим всем остальным кластерам, и процедура повторяется для каждого последующего уровня иерархии $ (при определении сложности слабо ветвящихся деревьев более удобно проводить суммирование не по кластерам, а по ветвям иерархического дерева).

Выражение (52) является основой численного определения сложности произвольного иерархического ансамбля (в частности, развитой дефектной структуры твёрдого тела, подверженного интенсивному внешнему воздействию типа пластической деформации или жёсткого облучения). Для определения сложности реальной структуры следует сначала разделить дефекты по иерархическим уровням , затем на каждом из них провести подсчёт числа дефектов , принадлежащих кластеру , ,…, , и приписать вероятность

(53)

узлу следующего уровня . При этом полное число дефектов всех уровней определяется равенством

, (54)

где - число возможных состояний в кластере, отвечающем узлу (при следует положить ) В общем случае распределение состояний по кластерам определяет их число на данном уровне согласно равенству

(55)

Для регулярного дерева, каждый узел которого ветвится с одинаковым показателем , отсюда следует . Переход к нерегулярному самоподобному дереву трансформирует это выражение в биномиальную зависимость , которая в пределе воспроизводит указанную экспоненту, а при показателе сводится к степенному закону (37).

Подстановка вероятностей , в (52) даёт сложность иерархически соподчинённой дефектной структуры. Очевидно, величина этой сложности задаёт такие феноменологические параметры как прочность и пластичность твёрдого тела. Характерно, что определение структурной сложности не может быть достигнуто использованием одних экспериментальных методов (например, электронной микроскопии) и требует последующей компьютерной обработки согласно изложенному алгоритму.


Публикации

  1. A.I. Olemskoi, Theory of Structure Transformations in Non-equilibrium Condensed Matter (N.-Y.: NOVA Science: 1999).

  2. J. Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford: Clarendon Press: 1993).

  3. А.И. Олемской, А.А. Кацнельсон, Синергетика конденсированной среды (Москва: Едиториал УРСС: 2003).

  4. A.I. Olemskoi, I.A. Sklyar, Sov. Phys. Uspekhi, 35: 455 (1992).

  5. A.I Olemskoi, D.O. Kharchenko, I.A. Knyaz’, Phys. Rev. E, 71: 041101(12) (2005).

  6. A.I.Olemskoi, in: Physics Reviews, ed. I.M. Khalatnikov, 18, Part 1: 1 (1995).

  7. А.И.Олемской, Письма в ЖЭТФ, 69: 391 (1999).

  8. А.И.Олемской, Письма в ЖЭТФ, 71: 412 (2000).

  9. А.И.Олемской, Письма в ЖЭТФ, 85: 137 (2007).

  10. M. Gell-mann, C. Tsallis, Nonextensive Entropy: Interdisciplinary Applications (Oxford: Oxford University Press: 2004).

  11. Справочник по специальным функциям, под ред. М. Абрамовица, И. Стиган, (Москва: Наука 1979).

  12. A.I. Olemskoi, A.D. Kiselev, Phys. Lett. A, 247: 221 (1998).
1   2   3

Схожі:

Радиационные дефекты в твёрдых телах iconРадиационные дефекты в твёрдых телах
Институт прикладной физики нан украины, ул. Петропавловская, 58, Сумы 40030, Украина (e-mail: alex@ufn ru)
Радиационные дефекты в твёрдых телах icon«Предложить план ортопедического лечения» Ι. Материальное обеспечение
Дефекты зубных рядов неограничен-ные с одной или двух сторон; множественные включенные дефекты зубного ряда
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconГост 20763-85 межгосударственный стандарт электронасосы центробежные погружные для загрязненных вод основные параметры ипк издательство стандартов москва межгосударственный стандарт
К (0°С) до 308 к (35°С), с водородным показателем в пределах 5-10 рН, плотностью до 1100 кг/м3, при содержании твердых механических...
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconПерелік публікацій кафедри «Матеріалознавство» за 2009 рік
Взаимосвязь параметров пластического деформирования и структурообразования в порошковых пористых телах
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconПерелік публікацій кафедри «Матеріалознавство» за 2009 рік
Взаимосвязь параметров пластического деформирования и структурообразования в порошковых пористых телах
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconГосударственный стандарт союза сср контроль неразрушающий методы дефектоскопии радиационные область применения гост 20426-82
Постановлением Государственного комитета СССР по сгандартам от 5 февраля 1982 г. №484 срок введения установлен
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconВ. Н. Хохлов Хаос и предсказуемость концентраций парниковых газов в атмосфере
Принципы обращения и управления потоками твердых бытовых отходов в Одесской агломерации
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconГосударственный стандарт союза сср штангенциркули технические условия гост 166-89
Т-1 односторонние с глубиномером с измерительными поверхностями из твердых сплавов (черт 2)
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconЗразок виконується українською мовою
Тема: "Разработка техники компаундирования твердых и жидких углеродистых отходов перед термообработкой" (Срок обучения: 01. 12. 99...
Радиационные дефекты в твёрдых телах iconСписок вопросов для самоподготовки по предмету «Динамика твердых тел»
Общее решение стандартного уравнения системы с одной степенью свободы и с правой частью
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи