Частина третя динаміка icon

Частина третя динаміка




НазваЧастина третя динаміка
Сторінка4/6
Дата21.06.2012
Розмір0.62 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6

Варіант 24. У деякій момент часу вантаж D (m=1 кг) закріплюють до кінців А недеформованих послідовно зєднаних пружин, коефіцієнти жорсткості яких . Одночасно (t=0) другий кінець пружини В починає рухатися за законом . Вісь - спрямована уздовж нахиленої площини вниз (). Положення початку відліку на осі х відповідає середньому положенню точки В .


Варіант 25. Кінці двох однакових паралельних пружин зєднані бруском АВ. Статична деформація кожної пружини під дією вантажу D (), який знаходиться на нахиленій площині , . У деякий момент часу вантажу D надають швидкість , спрямовану вверху уздовж нахиленої площини. Опір руху вантажу пропорційний швидкості вантажу: , де V – швидкість.

Масами бруска АВ і демпфера нехтують.

^ Варіанти 26 – 30 (рис. 8.26). Нехтуючи масою плити і вважаючи її абсолютно жорсткою, знайти рівняння руху вантажу D масою m з моменту дотику його з плитою, вважаючи, що при подальшому русі вантаж від плити не відокремлюється. Рух вантажу віднести до вісі х, за початок відліку прийняти положення спокою вантажу (при статичній деформації пружин).

Варіант 26. Плита покоїться на двох паралельних пружинах, коефіцієнти жорсткості яких і . Вантаж D (m=500 кг) падає без початкової швидкості з висоти в точку F плити, яка знаходиться на відстані а і в від осей пружин .

Варіант 27. Коефіцієнти жорсткості кожної з двох паралельних пружин, на яких лежить плита, . Вантаж D (m=40 кг) встановлюють на середину плити і відпускають без початкової швидкості при недеформованих пружинах. Опір руху вантажу пропорційний швидкості: , де V- швидкість. Масами плити і демпфера нехтують.

Варіант 28. Вантаж D падає на плиту з висоти . Статичний прогин пружини під дією цього вантажу .

Варіант 29. Плита покоїться на двох однакових паралельних пружинах 1 і 2, коефіцієнти жорсткості яких . У деякий момент часу вантаж D (m=200 кг) встановлюють на середину плити і одночасно прикріплюють до недеформованої пружини 3, коефіцієнт жорсткості якої . Одночасно (при недеформованих пружинах) вантажу надають швидкість , cпрямовану вниз.

Варіант 30. У деякий момент часу вантаж D (m=100 кг) встановлюють на плиту і відпускають (при недеформованій пружині) без початкової швидкості. Одночасно точка В (нижній кінець пружини) починає рухатися по вертикалі за законом . (вісь спрямована вниз). Коефіцієнт жорсткості пружини .

Початок відліку осі х відповідає середньому положенню точки В .




Запитання для самоконтролю

  1. Скільки і які закони Ньютона лежать в основі динаміки?

  2. Чим відрізняється форма запису диференційних рівнянь руху матеріальної точки від форми запису другого закону Ньютона?

  3. Як записується диференційне рівняння руху вільної матеріальної точки в координатній і натуральній формах?

  4. У чому суть прямої задачі динаміки, як вона вирішується?

  5. У чому суть оберненої задачі динаміки, як вона вирішується?

  6. Який механічний рух матеріальної точки називають коливальним?

  7. Які сили, діючі на матеріальну точку, викликають вільні, згасаючі або змушені коливання?

  8. Як записують динамічні рівняння руху матеріальної точки в координатній формі для вільних, згасаючих і змушених коливань?




  1. ^ Загальні теореми динаміки точки і системи

Системою матеріальних точок називається сукупність матеріальних точок, положення і рухи яких взаємозв’язані. Розрізняють вільні й невільні системи.

Якщо на рух точок системи не накладені наперед задані обмеження, що не залежать від закону руху, то система називається вільною. Невільною називається така система матеріальних точок, на рух яких накладені в’язі.

В’язі поділяються на геометричні й кінематичні. Геометричні в’язі накладають обмеження на координати точок системи. Рівняння геометричної в’язі мають вигляд

.

Кінематичні в’язі накладають обмеження на швидкості точок системи. Рівняння кінематичного зв’язку записуються у формі

.

За класифікацією німецького фізика Герца, в’язі поділяються на голономні й неголономні.

Голономними називаються в’язі, рівняння яких можуть бути зінтегровані. Неголономними називаються в’язі, в диференційні рівняння яких явно входять швидкості так, що для цих рівнянь не існує інтегруючого множника і рівняння не можуть бути зінтегровані.

^ Сили, що діють на механічну систему, поділяються на: 1) зовнішні й внутрішні та 2) активні й реакції в’язів.

Зовнішні сили - це сили взаємодії між матеріальними точками певної системи та іншими фізичними тілами, що не входять у систему.

^ Внутрішні сили - сили взаємодії між матеріальними точками однієї системи.

Властивості внутрішніх сил.

  1. Головний вектор внутрішніх сил системи дорівнює нулю:

.

  1. Головний момент внутрішніх сил системи відносно деякої точки, наприклад О дорівнює нулю:

.

Активні сили , реакція в’язів . Ця класифікація застосовується у разі невільної системи матеріальних точок. Реакціями в’язів називають сили, з якими в’язі діють на систему матеріальних точок.

Реакції в’язів на відміну від активних сил є невідомими величинами і в загальному випадку залежать від закону руху механічної системи.


^ 9.1. Диференційне рівняння руху системи матеріальних точок

Диференційне рівняння руху вільної системи матеріальних точок має вигляд

,

або в координатній формі



Диференційне рівняння руху невільної системи матеріальних точок має вигляд

,

де - рівнодійна активних сил, прикладених до і-точки системи,

- рівнодійна реакція в’язів, прикладених до і-точки системи.

Це рівняння в координатній формі:



де X, Y, Z – проекції рівнодійної активних або заданих сил на осі декартових координат, а - проекції рівнодійної реакції на ті ж самі осі координат.


^ 9.2. Геометрія мас

9.2.1. Центр мас системи

Масою системи, що складається з n матеріальних точок М, називається сума мас точок системи

.



Рис. 9.1

Центром мас механічної системи (рис. 9.1) називається геометрична точка С, радіус-вектор якої ,

де - маса системи.

Координати центра мас системи визначають за формулами

.

Центр ваги тіла геометрично завжди збігається з центром мас.


^ 9.2.2. Моменти інерції механічної системи. Радіус інерції

1. Моментом інерції матеріальної точки відносно осі називають добуток маси цієї точки m на квадрат її відстані h до цієї осі, наприклад OZ:

.

2. Моментом інерції системи, що складається з n матеріальних точок, відносно осі визначають суму добутків мас точок системи на квадрати відстаней від точок до осі

.

У разі неперервного розподілу маси замість суми буде інтеграл, що поширений на всю масу.

3. Моментом інерції твердого тіла відносно осі, осьовий момент інерції, наприклад OZ, називають інтеграл, що поширений на всю масу і має вигляд , або



де - відстань від осі частини тіла масою ;

- координати частини тіла.

Поряд з осьовим моментом інерції твердого тіла розглядають полярні, планарні й відцентрові, які обчислюють за такими формулами:

полярний момент інерції тіла відносно полюса О:

,

планарні моменти інерції тіла відносно координатних площин:

,

відцентрові моменти інерції тіла:



Якщо відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю, то осі називають головними осями інерції тіла в даній точці. Якщо ця точка розміщується в центрі мас, то осі є головними і центральними осями інерції. Залежність між полярними, осьовими і планарними моментами інерції визначається за формулами



Тобто сума осьових моментів інерції дорівнює подвоєному полярному моменту інерції, а сума планарних моментів інерції - полярному моменту інерції.

^ Радіусом інерції тіла ? називають відстань, на якій від осі обертання треба розмістити масу тіла m, що розглядається, зосередивши її в одній точці, щоб вона мала той самий момент інерції, що і розглядуване тіло:

.

^ Теорема Гюйгейса - Штейнера. Момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно осі , яка проходить паралельно до неї крізь центр мас системи, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями:



де - відстань між осями.


^ 9.3. Теорема про рух центра мас механічної системи

Центр мас механічної системи рухається як вільна матеріальна точка, яка володіє масою цієї системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему:

,

де - сили, які діють на тіло і точки системи з боку тіл, що не входять до системи.

Диференційні рівняння руху центра мас:



Наслідки теореми.

  1. Якщо головний вектор зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, , то центр мас перебуває у спокої або рухається рівномірно і прямолінійно залежно від початкових умов.

  2. Якщо одна з проекцій головного вектора зовнішніх сил на вісь нерухомої системи координат дорівнює нулю (наприклад ), то проекція швидкості центра мас на цю вісь () не змінюється, є сталою величиною .


^ 9.4. Диференційне рівняння руху твердого тіла

Диференційні рівняння руху твердого тіла залежать від видів руху.

При поступальному русі тіла швидкості і прискорення усіх точок тіла однакові, тому достатньо мати рівняння руху будь-якої точки. Якщо за неї обрати цент мас тіла, то його рух описується рівняннями п. 9.3, або рівняннями на природні осі.

При обертальному русі диференційне рівняння має вигляд

,

де - момент інерції тіла відносно осі обертання z,

- закон обертального руху твердого тіла.

Плоский рух твердого тіла задається трьома рівняннями: двома рівняннями руху будь-якої точки, обраної за полюс, і рівнянням обертового руху навколо полюса:

,

де - координати центру мас тіла,

- момент інерції тіла відносно осі, яка проходить крізь центр маси тіла перпендикулярно площині його руху.


^ 9.5 Теореми про зміну кількості руху матеріальної

точки і кількості руху механічної системи

Кількістю руху (мірою механічного руху) матеріальної точки масою називається вектор , який дорівнює добутку маси точки на вектор її швидкості (рис. 9.2):

.



Рис. 9.2


Кількістю руху системи матеріальних точок називається головний вектор (векторна сума) кількостей руху всіх точок системи:



Або кількість руху всієї системи дорівнює кількості руху однієї матеріальної точки, маса якої дорівнює масі системи, а швидкість - швидкості центра мас: .

Векторній формі цього рівняння відповідають три рівності в координатній формі:

.

Імпульсом сталої сили називається векторна величина, яка дорівнює добутку сили на час її дії



Повний імпульс сили

Проекції імпульсу сили на координатні осі

.

Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки в диференціальній формі: похідна за часом від кількості руху матеріальної точки геометрично дорівнює рівнодійній сил, прикладених до точки :

або .

^ Теорема про зміну кількості руху матеріальної точки в інтегральній формі: зміна кількості руху матеріальної точки за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу рівнодійної сили за той же проміжок часу: , або в проекціях на осі координат:



^ Теорема про зміну кількості руху системи матеріальних точок у диференціальній формі: похідна за часом від кількості руху системи матеріальних точок дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему:

,

або в проекціях на осі координат:



в інтегральній формі: зміна кількості руху системи за якийсь проміжок часу дорівнює сумі імпульсів, що діють на систему зовнішніх сил, за цей же проміжок часу:

,

у проекціях на осі:



Закон збереження кількості руху системи.

  1. Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю , то вектор кількості руху системи буде постійним за модулем і напрямком .

  2. Якщо сума проекцій всіх діючих сил на будь-яку вісь дорівнює нулю , то проекція кількості руху системи на цю вісь є величиною постійною, .

Приклад



Рис. 9.3

По горизонтальній ділянці шляху рухається тіло масою m зі швидкістю 10 м/с, і зустрічає силу опору , яка дорівнює 0,2 від ваги тіла (рис. 9.3).

У деякий момент часу рухаюча сила – сила тяги – відмикається, а тіло продовжує рухатися далі. Визначити, через який час тіло зупиниться?

Розв’язання. За теоремою імпульсів

,

,

.

Тоді .

Відповідь: тіло зупиниться за 5 с. після вимкнення тяги.

1   2   3   4   5   6

Схожі:

Частина третя динаміка iconЧастина третя перетворювальні пристрої
Дослідження однофазних випрямлячів з пасивними фільтрами І компенсаційним стабілізатором
Частина третя динаміка iconЧастина третя. Історія української культури
Українська культура після татаро-монгольської навали (друга половина ХIII – Xvст.)
Частина третя динаміка iconЛекція Театральна система К. С. Станіславського (4 год.)
Перша частина системи є наукою про театр, розділ науки про акторське мистецтво. Друга частина системи – яким повинен бути актор....
Частина третя динаміка iconДокументи
1. /Частина 1/101.pdf
2. /Частина 1/107.pdf
Частина третя динаміка iconДокументи
1. /Частина 2/10.pdf
2. /Частина 2/100.pdf
Частина третя динаміка icon3. Динаміка точки
Динаміка  розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух матеріальних об’єктів (матеріальної точки, системи матеріальних...
Частина третя динаміка iconТип модуля: обов’язковий. Семестр: Обсяг модуля
«Опір матеріалів (частина І)», а також такі розділи інших дисциплін. З вищої математики: диференціальне та інтегральне числення,...
Частина третя динаміка iconТаблиця Динаміка контингенту студентів за 2009 – 2012 рр
Ще два роки тому в нас було 20 тис студентів. Сьогодні їх – близько 16 тис. Динаміка зміни контингенту студентів наведена в таблиці...
Частина третя динаміка iconМ. Г. Шульженко, С. О. Закурдай динаміка рухомого складу конспект лекцій
Динаміка рухомого складу. Конспект лекцій /для студентів 4 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 050702 – «електромеханіка»...
Частина третя динаміка iconВикладачів, аспірантів, співробітників та студентів факультету іноземної філології та соціальних комунікацій (Суми, 19–20 квітня 2013 року) Частина третя Суми Сумський державний університет
Викладачів, аспірантів, співробітників та студентів факультету іноземної філології та соціальних комунікацій
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи