Числовые и алгебаические преобразования основные понятия
Скачати 191.34 Kb.
|
|
ГЛАВА 3. ЧИСЛОВЫЕ И АЛГЕБАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 3.1. Основные понятия Определение. Выражения, состоящие из действительных чисел, знаков действий и скобок, называются числовыми выражениями. Например: 3 + 5,7; 7 ∙ 103 + 5 ∙102 -  ;  .Определение. Математические выражения, в которых над числами и буквами, входящими в выражения, выполняются действия сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения арифметического корня, называются алгебраическими выражениями. Например, алгебраическими являются выражения: 3x2-7y+1, 3x-5;  .Значения величин x, y, …,z, при которых выполнимы все действия, указанные в выражении A(x, y, …, z ), называются допустимыми значениями. Они образуют область определения или область допустимых значений (сокращено ОДЗ) выражения А. При совместном рассмотрении нескольких алгебраических выражений нужно брать общую часть их областей определения. Например,  и  . ОДЗ: x?-1, x?0, у?-2.Алгебраические выражения подразделяются на рациональные и иррациональные. Алгебраическое выражение называется рациональным, если относительно переменных (букв), которые в него входят, выполняются только действиями сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Например:  ;  ;  .Алгебраическое выражение называется иррациональным, если в нем выполняются действия извлечения арифметического корня из букв (переменных) или выражений, содержащих буквы (переменные). Например:  ;  ;  .Последнее выражение иррациональное относительно х и рациональное относительно у. ^ 3.2.1 Отношение чисел и однородных величин. Проценты Отношением числа а к числу b называется частное  чисел a и b.Например, отношение 12 к 10 равно 1,2, так как 12 : 10 = 1,2; отношение 3 к 7 равно  , так как 3:7=.Отношением называют не только результат деления одного числа на другое, но и само выражение. Например, отношения 12 : 10, 3 : 7. Числа, входящие в отношение, называют членами отношения. Отношение двух положительных чисел часто выражают в сотых долях. В этом случае сотую долю числа называют процентом. Например, отношение 4 : 5 = 0,8; 0,8 равно 80 сотым. Данное отношение составляет 80 процентов. Если слово "процент" непосредственно идет после числа, то вместо него ставят знак %. Отсюда 4:5 = 0,8 или 80%. Говорят, что число 4 составляет 80 % от числа 5. Чтобы выразить отношение двух чисел в процентах, надо значение этого отношения умножить на ^ . Пусть отношение числа а к числу b равно r (%). Тогда  Рассмотрим три основные задачи на проценты. Задача 1. Нахождение процентов отношения чисел. Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22 человека. Сколько процентов учащихся группы присутствовало на занятиях? Решение. Так как a = 22, b = 25, то  88 (%).Задача 2. Нахождение числа, составляющего процент от данного числа. При перегонке нефти получается 30 % керосина. Сколько керосина получается при перегонке 360 т нефти? Решение. Используем формулу  . Так как r= 30, b = 360, то  , отсюда: а = 108 (т).Задача 3. Нахождение числа по его процентам. За один час машина прошла 48 км, что составляет 12% всего пути. Каков весь путь? Решение. Используем формулу Так как r =12, а =48, то  ; отсюда: b = 400 (км).3.2.2. Пропорции Пропорцией называется верное равенство  , (4.2.1)где числа а, b, с, d не равны нулю. Числа а и d называются крайними членами пропорции, а числа b и c– её средними членами. Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Это означает, что если , то ad = bс.Из основного свойства пропорции следует, что:  и  ;Крайний член пропорции равен произведению средних членов, деленному на известный крайний член пропорции;  и  , средний член пропорции равен произведению крайних членов, деленному на известный средний член пропорции. Пусть дана пропорция (4.2.1.), тогда верна производная пропорция вида  , (4.2.2)где а ?0, b?0, c ?0, d ?0, та + nb ? 0, mс + nd ? 0, ka + lb ? 0, kc+ld ? 0. Справедливо также свойство равных отношений (равных дробей): из этих равенств следуют равенства:  . (4.2.3) (4.2.4)Кроме того, из равенств (4.2.3) следуют равенства:  (4.2.5)Задача 1. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен процент всхожести семян? Решение. Пусть всхожесть семян равна r (%). Тогда один процент всхожести семян можно найти так: разделить 1800 на r или2000 на 100. Отсюда 1800: r = 2000 : 100. Найдем неизвестный средний член этой пропорции:  Задача 2. Чертеж составлен в масштабе ^ Чему будет равна длина болта на чертеже, если в натуре длина болта 60 мм? Решение. Пусть х (мм) - длина болта на чертеже. Так как масштаб показывает отношение длины отрезка на чертеже к длине отрезка в натуре, то получим пропорцию х : 60 = 2:5. Найдем неизвестный крайний член этой пропорции:  ^
^ Определение. Два выражения с переменными называются тождественно равными на множестве, если их соответствующие значения совпадают при всех значениях переменных, которые принадлежат этому множеству. Пример. Выражения 5 (х + 2) и 5х + 10 – тождественно равные на множестве всех чисел; выражения  и x-y – тождественно равные на множестве всех чисел, кроме нуля; выражения а2- b2 и (а + b) ∙ (а - b) – тождественно равные на множестве всех пар чисел.Определение. Тождественным преобразованием выражения называется замена выражения тождественно равным ему. Равенство, в котором правая и левая части – тождественно равные выражения на определенном множестве, называется тождеством на этом множестве. ^ Определение. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит действия деления на переменную (букву) или на выражение, содержащее переменную. Например, целыми являются выражения 3,25+5,5a-7b,  . Определение. ^ . 3.3.2 Одночлены Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами, называют одночленом. Степень числа с натуральным показателем и произведение степеней чисел с натуральными показателями также называют одночленами, так как в виде степени можно записать произведение равных множителей. ^ это такая запись одночлена, в которой есть только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а затем различные буквенные множители или их степени с натуральными показателями. В стандартном виде одночлена нет одинаковых букв. Любой одночлен можно записать в стандартном виде. Для этого нужно умножить все числовые множители и поставить их произведение на первое место, а затем произведения одинаковых буквенных множителей записать в виде степени. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом этого одночлена. Например, приведем к стандартному виду одночлен 3а2bc2· (-2ab2c)3 . По свойствам степени с натуральным показателем получим 3а2 bc2·(-2)3a3 (b2)3c3 =3а2bс2·(-8)а3b6с3. Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства умножения, а также свойство степени с одинаковыми основаниями, получим -24a5b7c5. Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами. Приведем основные правила действий над одночленами. 1. Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их один за другим и привести подобные члены, если они есть. 2. Чтобы вычесть одночлен из одночлена достаточно прибавить вычитаемое к уменьшаемому с противоположным знаком. 3. Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить их коэффициенты и к полученному коэффициенту приписать множителем каждую букву из перемножаемых одночленов с показателем, равным сумме показателей этой буквы в сомножителях. Например,  .4. Деление одночлена на одночлен основывается на правилах деления степеней, т.е. чтобы разделить одночлен на одночлен, надо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и к полученному результату приписать множителем каждую входящую букву с показателем, равным разности показателей этой буквы в делимом и делителе. Например,  .5. Для возведения одночлена в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту степень каждый его множитель. При умножении одночленов или возведении в степень с натуральным показателем снова получается одночлен. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его буквенных множителей. Если одночленом является число, то степень такого одночлена считается равной нулю. Например, 4х2 – одночлен второй степени, 7х3y2z – одночлен шестой степени, 5 –одночлен нулевой степени. 3.3.3 Многочлены Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов, т.e. алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность двух или нескольких одночленов. Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом многочлена. Если все члены многочлена записать в стандартном виде и привести подобные члены, то получится многочлен стандартного вида. Например, приведем к стандартному виду многочлен 3х∙(-2ху2) + 4х∙ 5ху2 -(5ху2)2 + 8х2y4. Для этого надо записать все одночлены в стандартном виде и привести подобные члены: 3х∙ (-2ху2) + 4х∙ 5ху2 -(5ху2)2 + 8х2y4=14x2y2-17x2y4. В зависимости от числа членов многочлены называют двучленами, трехчленами и т.д. Одночлен также можно рассматривать как многочлен, состоящий из одного члена. ^ называют наибольшую степень одночлена, входящего в этот многочлен. Например, в многочлене 2х2у + 5x4y3 - ху + 6 наибольшую степень, равную 7, имеет одночлен 5х4у3. Значит, степень этого многочлена тоже равна 7. 1. При сложении и вычитании нескольких многочленов надо привести подобные члены. В результате снова получается многочлен. 2. Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый член одного многочлена на каждый член другого многочлена. В результате снова получается многочлен; его нужно записать в стандартном виде. Например: (3х-2у +z)·(5х-2z)=15х2-6xz-10ху+4yz+5xz-2z2=15х2-xz-10ху+4yz-2z2. В результате сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем нескольких одночленов и многочленов снова получается многочлен. 3^ . Например: (45х2у4-36х3у3):3х2у3=(45x2y4):(3x2y3)+ (-36х3у3):(3х2у3)=15у-12х. 4. Разделить многочлен на многочлен – значит найти новый многочлен, умножив который на делитель, получим делимое. Чтобы разделить многочлен на многочлен, нужно: а) расположить многочлены по убывающим степеням буквы, относительно которой производится деление; б) разделить первый член делимого на первый член делителя (это будет первый член частного); в) умножить первый член частного на делитель и подписать полученное произведение под делимым; г) вычесть из делимого подписанный под ним результат. Полученную разность назовем первым остатком. Если первый остаток равен нулю, то деление закончено, если же не равен нулю и степень его выше степени делителя, то разделить первый член первого остатка на первый член делителя (это будет второй член частного). В дальнейшем действия повторяются до тех пор, пока какой-либо остаток не будет равен нулю или пока степень остатка не окажется меньше степени делителя. В первом случае многочлен делится на многочлен без остатка. Пример 1. Разделить 6x3-x2+5x-7 на 2x2+x+3. Решение. 1-е действие:  ;2-е действие: 3х(2х2 + х + 3)= 6х3 + 3х2 + 9х; 3-е действие: вычитание из первой строки второй, причем степени с одинаковыми показателями располагают друг под другом. 4-е действие: сравнивают старшую степень полученного остатка со старшей степенью делителя. Если старшая степень 1-го остатка меньше старшей степени делителя, то деление закончено; если же больше или равна, то деление продолжается. Второе действие для приведенного примера – деление старшего члена остатка на старший член делителя, т.е.  . 2-й остаток (окончательный, т.к. его старший член (-2х) имеет степень меньшую, чем степень в старшем члене делителя 2х2).
Деление закончено. Частное двух данных многочленов записывают в виде суммы целого и дроби, в числителе которой остаток, а в знаменателе многочлен-делитель. В случае нашего примера:  или другая форма записи:  . Замечание. Процесс деления считается завершенным, когда остаток по старшей степени ниже делителя. Пример 2. (x5+1):(x+1)=? Решение. Продемонстрируем правило «деление в столбик» x5+1 |x+1 -x5+x4 |x4-x3+x2-x+1 -x4+1 --x4-x3 x3+1 - x 3+x2 -x2+1 -x2-x x+1 -x+1 Деление выполнено нацело, т.к. остаток равен 0. Результат можно записать в виде:  .Пример 3. x4+2x3-3 : x-1=? Решение.  Результат запишем в виде: x4+2x3-3 = (x-1)(x3+x2+3x+3). ^ 1. Квадрат суммы: (а + b)2 =a 2 + 2ab + b2. 2. Квадрат разности: (а b)2 = а2 2ab + b2. 3. Куб суммы: (а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 4. Куб разности: (a b)3 =a3 -3a2b + 3ab2 - b3. 5. Разность квадратов: (а + b) (a b) =a2 b2. 6. Сумма кубов: (а + b) (a2 -ab + b2) =а3 +b3. 7. Разность кубов: (а b) (a2 +ab + b2) =а3 b3. Пример. Вывести тождества для  .Решение: Пользуясь формулами для квадрата суммы и квадрата разности, получим: (а - b + с)2 = а2 + b2 + с2 - 2ab + 2ac - 2bc; Аналогично: (a + b + c + d)2 =а2 +b2 +с2 +d2 + 2ab + 2ас + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd. Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения выражений. Пример: (а + 1)(а - 1) (а4+а2 + 1) + (а2 а + 1)(а + 1) = = (а2 1)(а4+а2+ 1) + (а+1)(а2 a+1) = (а6 1) + (а3 + 1) = а6 +а3. Здесь последовательно использовались формулы для разности квадратов, разности и суммы кубов. ^ Определение. Преобразование многочлена к виду произведения двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется разложением многочлена на множители. Например: x2 – a2= (x – a)(x + a). Рассмотрим различные приемы разложения многочленов на множители. 1) ^ При использовании этого способа иногда целесообразно применить "искусственные" преобразования — разбить отдельные члены на подобные слагаемые или ввести взаимно уничтожающиеся члены. Пример 1. Разложить на множители многочлен a2 -2bc + 2ac - ab. Решение. а2 – 2bс + 2ас ab= (а2 + 2ас) (2bс + ab) = =a (а + 2с) –b(2с + а) = (a + 2с)(a b). Пример 2. Разложить на множители многочлен: х2 3х + 2. Решение. х2 3х + 2 = х2 – х 2х + 2 = (х2 х) - (2х 2) = х(х 1) 2(х 1) = (х 1)(х 2). 2) Применение формул сокращенного умножения. С помощью формул сокращенного умножения часто значительно облегчается разложение на множители. Пример 3. Разложить на множители многочлен: 5a5x3 + 5а2х9. Решение. Сначала вынесем за скобки общий множитель 5a2х3, а затем применим формулу для суммы кубов: 5a5х3 + 5а2 х9 = 5а2х3(а3 + х6) = 5a2х3 (a3 + (х2)3) = 5a2x3(a+x2)(a2 ax2 +x4). Пример 4. Разложить на множители многочлен Р(х) = х3 - 3х - 2. Решение. Р(х) =х3 3х 2 = х3 х 2х 2 = (х3 х) (2х+ 2) = = х(х2 1) 2(х+1) =х(х + 1)(х 1) 2(х + 1) = (х + 1)(х2 – х 2). Так как, х2 х 2 = х2 х 1 1 = (х2 1) (х + 1) = (x+1)(x 1) (x+1)=(x+1)(x 2), то P(x)=(x+1)2(x 2). Иногда полезно выделение полного квадрата. Пример 5. Разложить на множители х4+ 4. Решение. х4 + 4 = х4 + 4х2 + 4 4х2 = (х2 +2)2 - (2х)2 = (х2 +2х + 2)(х2 2х + 2). Для разложения на множители оказалось удачным выделение полного квадрата в выражении х4+4=(х2)2 + 22 (использована формула a2 + b2 = (а + b)2 2ab. 3) Разложение квадратного трёхчлена на множители. ах2 + bх + с = а(х – х0)(x х2); (а?0,D = b2 4ac?0), где x1 и х2 – корни трехчлена ах2 + bх + с. 4) Разложение многочлена n-ой степени относительно х на множители. Многочлен n-й степени относительно х имеет вид Р(х) = аохп +a1xn-1 +...+аn-1x+аn, где а0 ? 0, n ? 0 – целое число, а0,, a1,..., аn – постоянные (коэффициенты многочлена), буква (величина) х может принимать любые числовые значения. Многочлен Р(х) записан в стандартном виде по убывающим степеням х. Два многочлена Р(х) и P1(х) считаются равными: Р(х) = Р1(х),если при всех значениях х они принимают одинаковые значения. Теорема Безу. При делении многочлена Рn(х) на двучлен (х-х0) получаем остаток R, равный значению многочлена при х =x0, т.е. R=Pn(x0). Рn(x)=(х - х0 )Qn-1 (х) + P(x0). Следствия из теоремы Безу: 1. Если Рn(х) делится на (х х0) без остатка, т.е. R = 0, то х = х0 – корень многочлена Рn(x), т.е. Рn(x0) = 0. 2. Если х = х0 – корень многочлена Рn(x), т.е. Рn(х0) = 0, то Рn(х) делится на (х–х0) без остатка, т.е. Рn(x)=(х х0 )Qn-1 (х)). Обобщая, получим: Рn(x)=a0(х – х1) (x - x2)…(x xn), где x1, x2, …,xn – корни многочлена. Пример 6. Разложить на множители многочлен Р(х) = (х2 + х + 1)(х2 + х + 2) - 12. Решение. Р(х) = (х2 + х + 1)((х2 +х + 1) + 1) 12 = (х2 +x + 1)2 + (х2 + х + 1) - 12. Пусть x2 + х + 1=у. Тогда имеем у2 + y 12 = (у + 4) (у 3), так как корни трехчлена у2 + у 12 равны 4 и 3. Переходя от у к x, получаем Р(х) = (х2 + х + 5) (х2 +x 2). Так как трехчлен x2 + х 2 = (х 1) (х + 2), то Р(х) = (х 1) (х + 2) (х2 + х + 5). ^ Выражение вида  , где Р(х) и Q(х) – многочлены, называется алгебраической дробью, причем многочлен Р(х) называется числителем алгебраической дроби, а многочлен Q (х) – её знаменателем.Дробь рассматривается только при допустимых значениях входящей в нее величины (буквы) х, т.е. Q(x) . Например, для дроби  считаем, что х2 1 ?0, т.е. х ? 1, х ? 1.Определение. Алгебраические дроби и  считаются равными: =, если выполняется равенство Р(х)∙Q1(x) = Q(x)∙P1(x).Например,  . Т.к. (x+1)∙(x 1)=(x2 1), то ОДЗ: x?1, x? 1.Из определения равенства дробей вытекает, что алгебраическая дробь не изменится, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же многочлен К(х) :  (Q(x)?0, K(x)?0) (основное свойство алгебраической дроби).Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую дробь на общий множитель (многочлен, входящий в разложение числителя и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему знаменателю. Например,  . ОДЗ: (x?1).Сложение и умножение алгебраических дробей определяются по следующим правилам:  += , ∙= ,где Q(x)?0, Q1(x)?0. Вычитание и деление алгебраических дробей определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Из этого определения выводятся правила вычитания и деления: = , := ,где Q(x)?0, Q1(x)?0. Кроме того, во втором случае деления Р1(х) ? 0. Практически для выполнения сложения или вычитания дроби приводят к общему знаменателю. Разложив знаменатели дробей на множители, принимают за общий знаменатель произведение всех полученных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят в знаменатели данных дробей. Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями. Пример 1. Выполнить действия:  .Решение. Сначала выполним действия в скобках:  ; .Затем умножим полученные дроби:  .Допустимые значения: x ? y, x ? -y, x ? 0, 2x-y ? 0. Пример 2. Упростить выражение:  .Решение. Порядок выполнения действий над алгебраическими дробями такой же, как для действий над числами: сначала выполняют возведение в степень, затем – умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии скобок прежде всего выполняют действие в скобках. В данном примере:  .Использовано тождество a3 +b3 = (a + b) (a2 -ab + b2) и сокращение дроби.  ; ; .Полученные результаты справедливы для всех значений х, удовлетворяющих условиям х3+8 ?0, х 2?0, т.е. x? 2, x?2. Пример 3. Сократить дробь:  .Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители:  , Поэтому данная дробь равна дроби:  где a?2.^ Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содержит какую-нибудь величину (букву) под знаком корня. Пусть S –данное выражение, содержащее корни. Определение. ^ называется всякое выражение К, не равное тождественно нулю, такое, что выражение S К не содержит корней. Знание сопряженного множителя позволяет представить выражение  в виде выражения, не содержащего корней либо в числителе, либо в знаменателе:  где К1 – сопряженный множитель числителя Р, К2 – сопряженный множитель знаменателя Q. Это преобразование и называется уничтожением иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного множителя. 1. Для выражения вида  где p,q,... ,l– натуральные числа, меньшие п (п? 2) , сопряженный множитель К есть  так как SK = XY...Z.2. Для выражения вида  , сопряженный множитель есть  так как  Аналогично, для выражения вида:  сопряженный множитель  3. Для выражения вида  сопряженный множитель  так как  для любых X и Y.4. Для выражения вида  сопряженный множитель  так как  для любых X и Y.Пример 1. Выполнить действия:  .Решение. Сначала освободимся от иррациональности в знаменателе, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Для  сопряженным множителем будет  , для  сопряженный множитель есть  , а для  сопряженный множитель равен  . = =  .Пример 2. Освободиться от иррациональности:  .Решение. Сопряженный множитель для выражения  равен . Используем тождество (a-b)(a2+ab+b2)= a3+b3 . =  =  =  .3.4 Упражнения I. Разложить на множители:
II. Сократить дробь:
III. Упростить выражение и найти его значение:
IV. Упростить выражение. V. Упростить выражения: 1.  ; 2.  ;3.  ; 4.  .VI. Упростить выражения:
3.  4.  . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
% больше, чем в первый. 
% того, что получил первый, и ещё 60 грн., а третий получил 
при y = 0,5; 
при c = 1/2; x = -0,5; 
при n = 4/9; m = 16/81;
при a = 16/9; 
при m = 25/4;
при a = 18; m = 1; 
при a = -0,25; b = 23;
при x = 9; 
при y = -1/3;
при a=1,2; b=
.
2. 
;