Скачати 142.03 Kb.
|
ГЛАВА 6. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ 6.1. Показательная функция Функция y=ax , где а – заданное число, называется показательной функцией переменной x. Если a>0, то функция y=ax определена при всех действительных значениях x, причём при а=1 имеем 1x=1. Если a<0, то функция y=ax определена только при целых x (при условии, что знаменатель показателя – нечётное число). При a=0 выражение 0x определено при x>0. В связи с выше изложенным, показательную функцию рассматривают при a>0 и a?1. График показательной функции приведен на (Рис. 6.1). ![]() Рис. 6.1 Основные свойства показательной функции:
7. ![]() ![]() ![]() ^ Определение. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b, т.е. ![]() ![]() ![]() Свойства логарифмической функции.
![]()
Следовательно, свойства логарифмической функции определяются свойствами показательной функции и график логарифмической функции получается из графика показательной функции, если поменять местами оси координат. ![]() Рис. 6.2 ^ Логарифмированием называется действие, состоящее в нахождении показателя степени по данной степени и основанию степени. Прологарифмировать выражение означает выразить его логарифм через логарифмы компонентов. Задача обратная логарифмированию, называется потенцированием. Пропотенцировать логарифмическое выражение означает по данной зависимости между логарифмами чисел найти зависимость между числами. Правила логарифмирования. При a>0, a?1, b>0, b?1, x>0, y>0 справедливы равенства: 1. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() ![]() 6. ![]() В частности: а) ![]() ![]() ![]() е= 2,71828… (lnx– натуральный логарифм), c) ![]() d) ![]() Пример. Прологарифмировать по основанию a выражение ![]() Решение. ![]() Пример. Прологарифмировать по основанию a выражение ![]() Решение. ![]() Пример. Доказать, что ![]() Решение. Прологарифмируем равенство по основанию с, что даст тождество: ![]() Пример. Вычислить ![]() Решение. Перейдём в показателях степеней к основаниям 7 и 5. ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Пример. Упростить ![]() Решение. ![]() ![]() ![]() Пример. Найти ![]() ![]() Решение: ![]() Упражнения
d) ![]() ![]()
^ Определение. Показательным называется уравнение, содержащее неизвестные только в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ![]() Укажем несколько типов показательных уравнений, решения которых находятся методами элементарной математики.
5. ![]() 6. ![]() ![]() Определение. Логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестные под знаком логарифма или в основании логарифма. Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: ![]() ![]() Общего метода решения логарифмического уравнения не существует, но можно выделить несколько наиболее распространенных случаев.
Уравнение называется показательно-логарифмическим, если неизвестное входит в основание и под знак логарифма в степени. Как правило, показательно-логарифмические уравнения логарифмированием приводятся к логарифмическим. ^ Пример. Найти решение показательного уравнения ![]() Решение. ОДЗ: x ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Найти решение показательного уравнения ![]() ![]() ![]() Ответ. x1 = 3; x2 = -1/5. Пример. Найти решение показательного уравнения 53-x=42x-1. Решение. ОДЗ: x ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Найти решение показательного уравнения ![]() Решение. ОДЗ: x ![]() ![]() Ответ. x=5. Пример. Найти решение показательно-логарифмического уравнения ![]() Решение. ОДЗ: x > 0. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 4. ![]() Сделаем замену ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Найти решение показательного уравнения ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Найти решение показательного уравнения. ![]() Решение. ОДЗ: x ![]() ![]() Ответ. x=log210. Пример. Найти решение показательного уравнения ![]() Решение. ОДЗ: x ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 1) ![]() ![]() 2) ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Решить показательное уравнение ![]() Решение. ОДЗ:x ![]() ![]() ![]() Тогда ![]() ![]() Пример. Решить показательное уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Решить показательно-степенное уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() 1) Находим корни исходного уравнения среди решений уравнения ![]() 2) Если 1 + x2 > 1, то исходное уравнение эквивалентно уравнению ![]() Ответ. х1 =0; x2 =4. ^ Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() ![]() Ответ. x=1. Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() Перейдём к основанию 4, воспользовавшись формулой перехода к другому основанию: ![]() ![]() ![]() Замена log4x=t. ![]() 3t2+9t+6+4t+2t2+3t+3t2=0 ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: x-1>0 ![]() ![]() ![]() Получим уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Решение. Найдем некоторый результат. Затем выполним проверку. Поиск ОДЗ в этом случае трудоемкий. ![]() Проверка: ![]() Ответ. x=8. Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() Откуда ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Решение. Заменим отыскание ОДЗ проверкой полученного результата. ![]() Проверка: ![]() Ответ. x = 2. Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() Исходное уравнение представим в виде: ![]() Убеждаемся, что x = 13 ОДЗ, т.к. 213 > 0. Ответ. х = 13. Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() Ответ. x=-3 Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: x-1>0 ![]() Пусть log3(x-1)=y, тогда получим уравнение: ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() ![]() Следовательно, действительных корней нет. Ответ. ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Решение. ОДЗ: x>0. ![]() Ответ. x1=100; x2=0,01. ^ При решении систем показательных и логарифмических уравнений применяются те же методы, что и при решении систем алгебраических уравнений – линейные комбинации, подстановки. Пример. Решить систему: ![]() Решение. ОДЗ: x-y>0 ![]() ![]() Ответ. x=4; y=2. Пример. Решить систему: ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() ![]() ![]() Поскольку ![]() ![]() которая заменой ![]() ![]() Возвращаемся к исходным переменным. ![]() Ответ. ![]() ^ Показательное неравенство ![]() ![]() ![]() Логарифмическое неравенство ![]() ![]() ![]() При решении логарифмических неравенств надо найти область определения неравенства; при потенцировании по основанию, большему единицы, знак неравенства сохраняется, а при потенцировании по положительному основанию, меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный. На практике удобно применять формулы: ![]() ![]() Приведенные утверждения имеют место и в случае нестрогих неравенств. Пример. Определить целое значение х, не удовлетворяющее неравенству ![]() Решение. ОДЗ: ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Найти наименьшее целое решение неравенства 5х+1 > 5х-1 + 120. Решение. ОДЗ: ![]() ![]() Условию задачи удовлетворяет х = 3. Ответ. 3. Пример. Решить неравенство ![]() Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: ![]() ![]() ![]() ![]() Решили каждое неравенство системы методом интервалов. Пересечение этих множеств дает решение системы: ![]() Ответ: ![]() Пример. Решить неравенство ![]() Решение неравенства сводится к решению совокупности, состоящей из двух систем неравенств: 1) ![]() ![]() Решение системы 1): ![]() ![]() Решение системы 2): ![]() ![]() Объединяем решения систем. Ответ. ![]() Пример. ![]() ![]() ![]() Решение: ОДЗ: ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ. ![]() Пример. Найти область определения функции ![]() Применим метод интервалов при решении неравенства ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 6.9. Упражнения Решить уравнения: 1. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() 5. ![]() ![]() 7. ![]() Решить системы уравнений. Решить неравенства:
Найти область определения функции:
Решить неравенства:
^ 1. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в ВУЗ. Под ред. М.И. Сканави, М.: Высшая школа, 1992 . 2. А.И. Павлович. Анализ ошибок абитуриентов по математике. К.: Вища школа, 1990. 3. Справочник по элементарной математике. Для поступающих в ВУЗы Под редакцией А.И. Приленко, М.: Высшая школа, 1990. 4. Графики функций. Справочник, Под ред. И.И. Ляшко, К.: Наукова думка: 1990. 5. Цыпкин А.Г. Справочник по математике. М.: Просвещение, 1992. СОДЕРЖАНИЕ с.
Учебное издание Пособие по математике для дополнительных занятий со студентами 1 курса дневной формы обучения всех специальностей, а также с иностранными студентами. Составители: Елена Семеновна Архипова, Людмила Александровна Быстрова, Валентина Петровна Протопопова, Евгения Серафимовна Пахомова, Валентина Семеновна Ситникова. Ответственный за выпуск С.А. Станишевский Редактор: Н. З. Алябьев План 2005, поз. 77 __________________________________________________________________ Подп. к печати 2.12.2005 Формат 60Ч84 1/16 Печать на ризографе Бумага офисная Усл.- печ. лист. 5,0. Уч.-изд. л. 5,5. Зак. № Тираж 150 экз. ХНАГХ, 61002, Харьков, ул. Революции, 12 Сектор оперативной полиграфии ИВЦ ХНАГХ 61002, Харьков, ул. Революции, 12, ХНАГХ |
![]() | §6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение Функция f(X) называется бесконечно малой при х→х0 (или в точке х0), если f(X)=0 | ![]() | §6 Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение Функция f(X) называется бесконечно малой при х→х0 (или в точке х0), если f(X)=0 |
![]() | Об изучении понятий "области определения и нули функции" Многие процессы и явления, которые мы знаем, описываются с помощью функции. Так как сущность понятия функции описано во многих работах... | ![]() | §3 Понятие границы функции Пусть функция определена на некотором подмножестве множества действительных чисел, и предельная точка множества. Напомним, что в... |
![]() | §3 Понятие границы функции Пусть функция определена на некотором подмножестве множества действительных чисел, и предельная точка множества. Напомним, что в... | ![]() | Ііі. Дифференциальное исчисление Пусть функция определена на промежутке (возможно бесконечном). Возьмем произвольную точку и придадим ей произвольный прирост такой,... |
![]() | Ііі. Дифференциальное исчисление главаvi: Производные и дифференциалы Пусть функция определена на промежутке (возможно бесконечном). Возьмем произвольную точку и придадим ей произвольный прирост такой,... | ![]() | V: Граница и непрерывность Понятие границы функции одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального... |
![]() | Лабораторная работа №10 Инструмент «Поиск решения» Для этого создайте таблицу значений функции. В столбце А, начиная с 1-й строки введите значения Х: 0, 0,2, 0,4, …, в ячейку В1 введите... | ![]() | Нарушение функции жевания Нарушение функции дыхания |