1. теорія множин icon

1. теорія множин




Назва1. теорія множин
Сторінка6/6
Дата07.06.2012
Розмір0.7 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6
. Функції


Визначення 2.17. Функцією називається таке відношення , ніякі два різних елементи якого не мають однакових перших координат. Тобто є функцією тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє наступним умовам:

  елементами є упорядковані пари;

  якщо упорядковані пари і   елементи функції , то .

Отже, відношення на називається функцією з в і позначається як .

Якщо функція і , то говорять, що .

Визначення 2.18. Множина називається областю визначення функції і позначається , а множина   областю потенційних значень. Якщо , то множина називається образом множини . Образ усієї множини називається областю значень функції і позначається .

Приклад 2.18. Які із представлених відношень є функціями:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Рішення:

а) відношення не є функцією, тому що два елементи і мають однакову першу координату;

б) відношення є функцією, тому що перший елемент кожної впорядкованої пари зустрічається рівно один раз;

в) відношення є функцією, графіком якої буде парабола;

г) відношення не є функцією, тому що його елементами є, наприклад, і , і .

Приклад 2.19. Знайти область визначення і область значень функції:

а) ; б) .

Рішення:

а) область визначення функції , а область значень   ;

б) область визначення   , а область значень   .

Визначення 2.19. Функція називається ін’єктивною, або ін'єкцією, якщо з прямує (рис. 2.19,а). Функція називається “відображенням на”, сюр’єктивною функцією, або сюр’єкцією, якщо для кожного існує деяке таке, що (рис. 2.19,б). Функція, що є одночасно і ін’єктивною і сюр’єктивною, називається бієктивною або взаємнооднозначною (рис. 2.19,в).




(а) (б) (в)

Рис. 2.19.


Можна привести ще одне визначення взаємнооднозначної функції.

Визначення 2.20. Функція називається взаємнооднозначною, якщо вона переводить різні елементи в різні. Тобто з умови прямує .

Якщо   обернене відношення до взаємнооднозначного функціонального відношення , то визначає функцію , яку називають оберненою до функції .

Ін’єктивна функція має обернену функцію .

Функція , обернена до бієктивної, є відображенням не на множину , а в множину .

Взаємноодназначність функції зручно доводити виходячи з міркувань:

“з умови прямує ”.

Приклад 2.20. Чи є функція взаємнооднозначною?

Рішення:

; . З умови прямує; . Отже і функція є взаємноодназначною.

Визначення 2.21. Нехай   функція із множини в множину , тобто . Обернене відношення визначається як . При цьому називається перетворенням функції , або її оберненою функцією.

Приклад 2.21. Знайти функцію, обернену до даної: .

Рішення:

Обертаючи функцію, одержуємо , але це те ж саме, що і . Вирішуючи рівняння відносно , одержуємо .

Тобто, якщо , то .

Відповіді на питання, чи є представлене відношення функцією і чи є функція взаємнооднозначною, можна легко одержати за допомогою його графічної ілюстрації.

Відповідно до визначення функції, ніякі два різних елементи відношення не можуть мати однакових перших координат. Отже, промінь, спрямований паралельно осі , повинен перетинати графік відношення не більше одного разу. Тому що взаємнооднозначні функції переводять різні елементи в різні, то промінь, спрямований паралельно осі , повинен перетинати графік відношення теж не більше одного разу.

Приклад 2.21. З'ясувати, чи є дані відношення функціями? Якщо так, то чи будуть вони взаємнооднозначні? У випадку позитивної відповіді, знайти обернені функції:

а) ; б) ;

в) .

Рішення:

а) відношення не є функцією, тому що існує два різних елементи, що мають однакові перші координати (див. рис. 2.20, а);

б) відношення є функцією, тому що не існує елементів, що мають однакові перші координати. Дана функція не є взаємнооднозначною, тому що існують елементи, що мають однакові другі координати (див. рис. 2.20, б);

в) відношення є функцією. Дана функція є взаємнооднозначною, тому що переводить різні елементи в різні (див. рис. 2.20, в). Знайдемо функцію, обернену до даної:

; ;

; .





(а) (б) (в)

Рис. 2.20.

Визначення 2.22. Нехай дані дві функції і , де   довільні множини. Функція визначена на і приймає значення на , а функція визначена на і приймає значення на . Якщо для кожного найдеться такий елемент , що , то така відповідність між множинами і називається композицією або суперпозицією функцій і і позначається (рис. 2.21).




Рис. 2.21.


Приклад 2.22. Функції і задані на множині дійсних чисел. Знайти композицію функцій і .

Рішення:

;

.

Вправи:

  1. Нехай . Знайти області визначення і значень наступних функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; д) .

  1. З'ясуйте, які з наведених нижче відношень є функціями. Визначте властивості функцій. Для взаємнооднозначних функцій знайдіть обернені:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

  1. Знайти композицію функцій й , заданих на множині дійсних чисел:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , .




1   2   3   4   5   6

Схожі:

1. теорія множин iconФормат опису модуля
Булева логіка, логіка предикатів, теорія множин, теорія відношень, основи комбінаторики, теорія графів, теорія дерев
1. теорія множин iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №19) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПротокол №9) Програма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста)факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: інформатика Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: прикладна математика Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
1. теорія множин iconПрограма вступних фахових випробувань для вступників на навчання для здобуття окр магістра (спеціаліста) на факультет прикладної математики та інформатики Напрям підготовки: системний аналіз Математичний аналіз
Теорія множин. Точна верхня та нижня межі множини. Числові послідовності та підпослідовності. Границя числової послідовності. Часткові...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи