6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 icon

6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006




Назва6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006
Сторінка15/15
Дата22.06.2012
Розмір0.5 Mb.
ТипНавчально-методичний посібник
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15
^

Формула Стокса



Для поверхневих інтегралів має місце формула, аналогічна формулі Гріна. Існують різні шляхи виведення цієї формули, обгрунтовані до найменших подробиць, але ними ж і обтяжені. Зупинимось на дещо полегшеному варіанті, зате на такому, який наглядно ілюструє суть усіх різновидів – зв'язок поверхневого інтегралу з подвійним, а останнього – через формулу Гріна – з криволінійним.

Розглянемо у просторі деяку поверхню , обмежену лінією L. Проекцією цієї поверхні на площину XOY буде область D, обмежена замкненою лінією l. Нехай у просторі задано векторне поле . Якщо покласти z=0 і R(x;y;z)0, матимемо плоске векторне поле, яке в області D приймає значення .

Обчислимо ротор цього векторного поля: .

Тоді потік цього ротора через область D буде: .

Оскільки нормаль до області D співпадає з , тобто і згадуючи формулу Гріна, маємо: .

Остаточно: .

У просторі для замкненої поверхні , обмеженої лінією l, формула залишиться в тому ж вигляді , при цьому напрямок обходу контуру L погоджується з обраною стороною поверхні таким чином: якщо дивитися з кінця вектора нормалі до поверхні, то цей обхід здійснюється проти ходу годинникової стрілки. Висновок: циркуляція векторного поля по замкненій лінії L, яка обмежує поверхню , дорівнює потоку ротора цього векторного поля через цю поверхню.


Приклад. Обчислити потік ротора векторного поля через поверхню : x2+y2+z2=1,   z  0.

Розв'язання. Поверхня являє собою півсферу, радіус якої дорівнює 1, а L відповідно – коло в площині XOY.

Отже:

Далі, врахуємо, що L лежить в площині XOY, значить z=0, і перейдемо до параметричних координат

.

Принагідно зауважити, що, коли векторне поле потенціальне, . За формулою Стокса якщо , то це означає, що векторне поле потенціальне. Інакше – потенціальне векторне поле є безвихорним.

Із формули Стокса виходить, що потік вихора векторного поля не залежить від виду поверхні , яка "натягнута" на контур L. Якщо через цей контур провести дві поверхні 1 та 2, то . За правилами орієнтації поверхні 2 очевидно , а, отже,

.

З іншого боку, поверхні 1 та 2 обмежують деякий об'єм V, для поверхні якого одержуємо рівність:

Отже, потік вихора векторного поля через замкнену поверхню дорівнює нулю.

Якщо в деякій частині поля (або в усьому полі) , то де L   довільний контур, який лежить цілком у зазначеній частині поля.


Вправи.

Обчислити циркуляцію векторного поля по контуру трикутника, утвореного в результаті перетину площини з координатними площинами, при додатному напрямку обігу контуру відносно нормального вектора цієї площини двома способами: 1) використовуючи означення циркуляції, 2) за допомогою формули Стокса















^

Розбіжність поля. Формула Остроградського



Нехай маємо векторне поле . Візьмемо в ньому довільну точку P і розмістимо її всередині замкнутої поверхні , яка обмежує об'єм v.

Знайдемо   потік вектора через замкнену поверхню (в напрямку зовнішньої нормалі).

Обчислимо величину .

Припустимо, що існує границя цієї величини за умови, якщо поверхня стягується в точку P. Ця границя зветься розбіжністю або дивергенцією векторного поля і позначається:



є скалярною величиною. Якщо в точці P , то для досить малого v , і оскільки v>0, то , що за фізичним змістом потоку векторного поля означає, що в точці ^ Р маємо джерело поля. Якщо , тоді в точці P маємо стік поля. У точках, де векторні лінії починаються, а в точках, де , вони закінчуються.

Векторне поле, в кожній точці якого , називається соленоїдальним (або трубчатим). У такому полі немає ані джерел, ані стоків.


Розглянемо у просторі тіло ^ V, обмежене замкненою поверхнею (Рис.26). Проекцію тіла на площину XOY позначимо через D. Лінія на поверхні тіла, яка проектується в границю області D, поділяє поверхню на дві частини + та  , які описуються функціями відповідно z=f2(x;y) та z=f1(x;y). Окрім того, будемо відрізняти зовнішню сторону поверхні та внутрішню в залежності від направленості нормалі до поверхні. Нехай тепер у цьому просторі задано векторне поле

.


Обчислимо потрійний інтеграл



.

Перетворимо одержані подвійні інтеграли в поверхневі. Для цього розглянемо поверхневий інтеграл

,

враховуючи, що .

Аналогічно:

,

враховуючи, що в цьому випадку склавши одержані два інтеграли, маємо:



.

Таким чином .

Аналогічно можна обчислити:

;

.

Склавши ці три рівності, маємо:

.

Ця рівність і є формулою Остроградського.


Вправи.

Обчислити потік векторного поля через зовнішню поверхню піраміди, утворену площиною (р) і координатними площинами, двома способами: 1) використовуючи означення потоку, 2) за допомогою формули Остроградського-Гаусса













Використаємо формулу в наступній теоремі:

Теорема. Дивергенція векторного поля виражається формулою , де значення частинних похідних беруться в точці M.

Доведення. За формулою Остроградського потік векторного поля можна записати у вигляді



Потрійний інтеграл за теоремою про середнє значення дорівнює добутку об'єму ^ V на значення підінтегральної функції в деякій точці M1 області V, тобто

Якщо об'єм V стягується в точку M, то точка M1 також прямує до точки M, і ми маємо

,

що і треба було довести.

Користуючись одержаним виразом для дивергенції, тепер і формулу Остроградського можна записати у вигляді: , тобто потік векторного поля з середини замкнутої поверхні дорівнює потрійному інтегралу за об'ємом, обмеженим цією поверхнею від дивергенції поля.

Розглянемо соленоїдальне (або трубчате) поле саме таке, для якого .

Візьмемо в цьому полі яку-небудь площинку 0 і проведемо через кожну точку її границі векторні лінії. Ці лінії обмежують частину простору, так звану векторну трубку. Рідина рухається в цій трубці, не перетинаючи її стінок. Розглянемо частину цієї трубки, обмеженою вже згадуваною площинкою 0 і 1 деяким перерізом (Рис.27).

Оскільки умовою , то потік векторного поля через будь-яку замкнену поверхню дорівнює нулю, отже

,

де    бічна поверхня трубки, а   зовнішня нормаль.

Оскільки на бічній поверхні трубки нормаль перпендикулярна до векторної лінії поля, то .

Тоді виходить, що .

Якщо змінити напрямок нормалі на площинці 0, тобто взяти внутрішню нормаль , то одержимо: .

Це означає, що потік вектора в напрямку векторних ліній через кожний переріз векторної трубки один і той же, тобто в полі без джерел через кожний переріз векторної трубки протікає одна й та ж кількість рідини.

Відповідно до формули поле ротора довільного векторного поля – трубчате. Справедливо й зворотне твердження – кожне трубчате поле є полем ротора деякого векторного поля, тобто якщо , то існує таке векторне поле , що .

Вектор називають вектором-потенціалом даного поля.

Висновки



Для соленоїдального (трубчатого) поля наступні чотири властивості еквівалентні:

  1. потік поля через довільну замкнену поверхню дорівнює нулю;

  2. потік поля через поверхню , обмежену контуром L і відповідно з ним орієнтовану, залежить тільки від вибору контуру L і не залежить від конкретного вибору поверхні ;

  3. існує таке поле , що ;

  4. розбіжність поля дорівнює нулю.



^

Список літератури



1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Том второй. – М.: Наука, 1985.


2. Чинаев П.И., Минин Н.А., Перевозников А.Ю., Черенков А.А. Высшая математика. Специальные главы. – К: Вища школа, 1981.

Зміст


Поняття поля 3

Скалярне поле 3

Похідна за напрямком 5

Градієнт 6

Криволінійний інтеграл по довжині
(криволінійний інтеграл 1-го роду) 9

Обчислення криволінійного інтегралу по дузі 11

Застосування криволінійного інтегралу по дузі 14

Векторне поле 15

Криволінійний інтеграл по координатах
(криволінійний інтеграл 2-го роду) 17

Обчислення криволінійного інтегралу по координатах 19

Властивості криволінійного інтегралу по координатах 21

Формула Гріна 23

Умови незалежності криволінійного інтегралу
від шляху інтегрування 26

Обчислення функції за її повним диференціалом 31

Потенціальне векторне поле 34

Оператор Гамільтона та його застосування 38

Оператор Гамільтона у скалярному полі 38

Оператор Гамільтона у векторному полі 39

Застосування оператора Гамільтона
до добутку скалярних та векторних полів 40

Ротор векторного поля 43

Дивергенція векторного поля 46

Поверхневий інтеграл першого роду 48

Обчислення поверхневого інтегралу першого роду 49

Поверхневий інтеграл другого роду.
Потік векторного поля 51

Обчислення поверхневого інтегралу другого роду 54

Формула Стокса 58

Розбіжність поля. Формула Остроградського 61

Висновки 69

Список літератури 70

Зміст 71


^ Навчальне видання


Елементи теорії поля. Навчально-методичний посібник з курсу вищої математики (для студентів електротехнічних спеціальностей)


Укладач: БІЗЮК Валерій Васильович


Відповідальний за випуск А.І.Колосов

Редактор М.З.Аляб'єв


План 2006, поз. 95

_______________________________________________________

Підп. до друку 06.05.06 Формат 60х84 1/16. Папір офісний.

Друк на ризографі. Обл.-вид.арк.4,5 Тираж 200 прим.

Зам.№

ХНАМГ. 61002 Харків, вул. Революції, 12.

Сектор оперативної поліграфії ІОЦ ХНАМГ.

61002, Харків, вул. Революції, 12.

1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15

Схожі:

6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconЕлектричне обладнання рухомого складу для студентів 3-4 курсів усіх форм навчання спеціальності 092202 – „Електричний транспорт”
Методичні вказівки до виконання курсового проекту з дисципліни «Електричне обладнання рухомого складу» для студентів спеціальності...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМіського господарства конспект лекцій із скороченого курсу фізика
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМетодичні вказівки
Економіка підприємств електротранспорту” І виконання контрольних робіт (для студентів 4-5 курсів заочної форми навчання спеціальностей...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМіністерство освіти І науки україни
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни “Основи охорони праці” (для студентів 3 курсу заочної форми навчання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconК. О. Сорока Навчальний посібник
Теорія автоматичного керування. Навчальний посібник (для студентів спеціальності 092202 “Електричний транспорт”) Авт. Сорока К. О....
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconК. В. Данова навчальна І робоча програма
«Виробнича санітарія» / для студентів 5 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 «Електромеханіка» спеціальності 092202,...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconГ. В. Стадник Теоретична механіка
Водопостачання та вентиляція”, 092202 – „Електричний транспорт”, 090600 – „Світлотехніка І джерела світла” І завдання для контрольних...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconДля студентів 1-2 курсів денної форми навчання спец. 092101 “Промислове І цивільне будівництво”
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМіського господарства методичні вказівки до виконання практичних робіт з курсу “Фізика” Розділ молекулярна фізика І термодинаміка
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconДля студентів 1-2 курсів денної форми навчання спец. 092101 “Промислове І цивільне будівництво”
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи