6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 icon

6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006




Назва6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006
Сторінка7/15
Дата22.06.2012
Розмір0.5 Mb.
ТипНавчально-методичний посібник
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   15
^

Умови незалежності криволінійного інтегралу
від шляху інтегрування



Розглянемо приклад. Раніше ми обчислили інтеграл по відрізку прямої, що з'єднує точки A(0,0) та B(1,1), тобто L:  y = x (рис.11.) і одержали значення інтеграла, рівне 1.

Обчислимо той же інтеграл, але шлях інтегрування оберемо параболою L:  y = x2      dy = 2xdx






Як бачимо, значення інтегралу не змінилося, хоча шлях інтегрування був іншим: .

З іншого боку, якщо обчислити інтеграл по замкненій кривій LAnBmA,
то, очевидно, .

Виникає питання: за яких умов щодо функцій P(x,y) та Q(x,y) ?

Теорема. Нехай у всіх точках деякої області D
функції P
(x,y) та Q(x,y) разом зі своїми частинними
похідними та неперервні. Тоді для того,
щоб криволінійний інтеграл по довільному замкненому
контуру L, який цілком лежить в області D, дорівнював нулю, тобто , необхідно і достатньо
виконання умови у всіх точках області D.


Доведення. Нехай контур L обмежує область D.
Запишемо формулу Гріна: .

Якщо умова теореми виконана, то подвійний інтеграл
у правій частині дорівнює нулю і цим доведено достатність.

Доведемо необхідність. Допустимо, що ,
а умова не виконується, тобто хоча б в одній точці області ^ D, скажімо, в точці P(x0;y0) .

Оскільки в лівій частині нерівності функція неперервна,
то вона буде додатня і у всіх точках деякої досить малої області ^ D1, яка містить в собі точку P(x0,y0). Візьмемо подвійний інтеграл по цій області, який матиме додатне значення:

Але за формулою Гріна ліва частина нерівності дорівнює криволінійному інтегралу по контуру ^ L1, який обмежує область D1, і дорівнює нулю. Виходить, наше допущення невірне і це приводить до висновку, що в усіх точках області D.

Коли згадати, що рівність є необхідною і достатньою умовою того, щоб вираз P(x,y)dx+Q(x,y)dy був повним диференціалом, то доведену теорему можна сформулювати таким чином: для того, щоб криволінійний інтеграл не залежав від лінії інтегрування, необхідно і достатньо, щоб його підінтегральний вираз був повним диференціалом.

Підсумовуючи висновки нашого дослідження, можна стверджувати, що коли область D однозв'язна і функції P(x,y)
та Q(x,y) разом зі своїми частинними похідними в цій області неперервні, то всі чотири наступні твердження рівносильні, тобто якщо виконується одне з них, то виконуються і всі інші:

  1. криволінійний інтеграл , взятий по довільному замкненому контуру, цілком розміщеному в області D, дорівнює нулю;

  2. криволінійний інтеграл не залежить від лінії інтегрування;

  3. вираз є повний диференціал;

  1. у всіх точках області D має місце рівність .


Вправи.

Перевірити, що інтеграли по замкненому контуру дорівнюють нулю.

















Обчислити криволінійні інтеграли від повних диференціалів





  1. (початок координат не лежить на контурі інтегрування)





  2. (не перетинають вісь ОХ)







1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   ...   15

Схожі:

6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconЕлектричне обладнання рухомого складу для студентів 3-4 курсів усіх форм навчання спеціальності 092202 – „Електричний транспорт”
Методичні вказівки до виконання курсового проекту з дисципліни «Електричне обладнання рухомого складу» для студентів спеціальності...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМіського господарства конспект лекцій із скороченого курсу фізика
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМетодичні вказівки
Економіка підприємств електротранспорту” І виконання контрольних робіт (для студентів 4-5 курсів заочної форми навчання спеціальностей...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМіністерство освіти І науки україни
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни “Основи охорони праці” (для студентів 3 курсу заочної форми навчання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconК. О. Сорока Навчальний посібник
Теорія автоматичного керування. Навчальний посібник (для студентів спеціальності 092202 “Електричний транспорт”) Авт. Сорока К. О....
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconК. В. Данова навчальна І робоча програма
«Виробнича санітарія» / для студентів 5 курсу денної форми навчання напряму підготовки 0922 «Електромеханіка» спеціальності 092202,...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconГ. В. Стадник Теоретична механіка
Водопостачання та вентиляція”, 092202 – „Електричний транспорт”, 090600 – „Світлотехніка І джерела світла” І завдання для контрольних...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconДля студентів 1-2 курсів денної форми навчання спец. 092101 “Промислове І цивільне будівництво”
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconМіського господарства методичні вказівки до виконання практичних робіт з курсу “Фізика” Розділ молекулярна фізика І термодинаміка
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
6. 092202 Електричний транспорт Харків  ?  Хнамг  ?  2006 iconДля студентів 1-2 курсів денної форми навчання спец. 092101 “Промислове І цивільне будівництво”
Промислове І цивільне будівництво”, 092202 “Електричний транспорт”, 090605 “Світлотехніка І джерела світла”, 092108 “Теплогазопостачання...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи