Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни
Скачати 421.92 Kb.
|
|
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ  РОБОЧА ПРОГРАМА, методичні вказівки та контрольні завдання до вивчення дисципліни “Числові методи і моделювання на ЕОМ” для студентів спеціальності 7.092501 – авто- матизоване управління технологічними процесами Дніпропетровськ НМетАУ 2008 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНА МЕТАЛУРГІЙНА АКАДЕМІЯ УКРАЇНИ ^ методичні вказівки та контрольні завдання до вивчення дисципліни “Числові методи та моделювання на ЕОМ” для студентів спеціальності 7.092501 – авто- матизоване управління технологічними процесами Затверджено на засіданні Вченої ради академії Протокол № від Дніпропетровськ НМетАУ 2008 УДК 517(07) Робоча програма, методичні вказівки та контрольні завдання до вивчення дисципліни “Числові методи та моделювання на ЕОМ” для студентів спеціальності 7.092501 – автоматизоване управління технологічними процесами . / Укл. К.У. Чуднов. – Дніпропетровськ : НМетАУ, 2008. – с.57. Наведені рекомендації до вивчення дисципліни “Числові методи та моделювання на ЕОМ”: мета та завдання дисципліни; необхідний обсяг знань і умінь студентів у результаті її вивчення; методичні вказівки та список літерату-ри, що рекомендується; варіанти індивідуальних завдань. Призначена для студентів спеціальності заочної форми навчання. Укладач : К.У. Чуднов, канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск А.В.Павленко, д-р фіз.-мат.наук, проф. Рецензент Підписано до друку 16.06.08. Формат 60х84 1/16. Папір друк. Друк плоский. Облік.-вид. арк.3,29 . Умов. друк. арк.. 3,25. Тираж 100 пр. Замовлення № № Національна металургійна академія України 49600, г. Дніпропетровськ- 5, пр. Гагаріна, 4 ______________________ ^ ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РОБОТІ НАД ДИСЦИПЛІНОЮ “ЧИСЛОВІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛЮВАННЯ НА ЕОМ” Основна форма навчання студента-заочника – самостійна робота над навчальним матеріалом, яка складається з таких елементів: вивчення матеріалу по підручнику, розв’язання задач, виконання контрольних робіт. Дисципліна “Числові методи та моделювання на ЕОМ” потребує ще вміння працювати на ЕОМ та знати зміст деяких пакетів численної реалізації задач. Таким пакетом буде нині широко поширений пакет Mathcad. На допомогу студенту академія організовує лекції та практичні заняття. Крім того, студент може розраховувати на усну консультацію викладача. Завершальний етап вивчення окремих частин дисципліни – це здача заліків та іспитів у відповідності до навчального плану. Вивчаючи матеріал по підручнику, треба переходити до наступного розділу тільки після зрозуміння попереднього, виконуючи на папері усі обчислення. При вивченні матеріалу за підручником корисно вести конспект, до якого записують формули рівняння, програми реалізації на ЕОМ, відмічають питання, з якими треба звернутися до викладача. Якщо в процесі роботи по вивченню теоретичного матеріалу або при розв’язанні задач у студента виникають питання, відповіді на які він самостійно не може знайти, то він може звернутися до викладача за усною консультацією. В процесі навчання студент повинен виконати контрольні роботи. Рецензії на ці роботи дозволяють студенту судити про ступінь засвоєння відповідного розділу. З кожної контрольної роботи студент виконує свій варіант. Номер варіанта збігається з останньою цифрою номера залікової книжки або студентського квитка. Наприклад, номер залікової книжки 003247, отже треба виконати задачі варіанта № 7. Якщо остання цифра “0”, то виконується варіант №10. Якщо завдання потребують числової реалізації (а таких буде забагато), то їх треба реалізовувати тільки у пакеті Mathcad. У зошиті складається Mathcad-документ реалізації задачі. Кожну контрольну роботу треба присилати (приносити) в академію у заочний деканат в окремому зошиті, на обкладинці якого обов’язково позначено номер контрольної роботи, назва дисципліни, прізвище та ініціали студента, його шифр (номер залікової книжки), факультет та групу, в якій навчається студент, домашня адреса. Усі контрольні роботи за даний семестр повинні подаватися на кафедру не пізніше, ніж за 10 діб до початку екзаменаційної сесії. Після перевірки контрольних робіт треба зробити усі виправлення і доповнення, на які вказав рецензент. Без прорецензованих та захищених контрольних робіт, де зроблені усі виправлення і доповнення, студент не допускається до заліків або іспитів. Усі обчислення проводити з точністю до 0,0001. ^ “ЧИСЛОВІ МЕТОДИ І МОДЕЛЮВАННЯ НА ЕОМ”
- відокремлювання коренів рівнянь; - уточнення коренів рівнянь: методи половинного ділення, хорд, дотичних; - програми пакета Mathcad.
а) фізичні і математичні моделі; б) класифікація математичних моделей. Цілі моделювання; в) знайомство з системою Matlab+Simulink. г) реалізація моделей за допомогою системи Mathcad+ Simulink. ^ В числових методах ми стикаємося з різними задачами. Але більшість з них може бути сформульована у вигляді  ,де  і  деяка задана функція. Задача полягає або у відшуканні  , якщо задано  , або у відшуканні , якщо задано . Та зовсім не завжди за допомогою засобів класичної математики ми можемо розв’язати точно ці задачі застосовуючи скінчене число кроків. Іноді задача і може бути вирішена точно, але скористуватися відповіддю можна лише після трудомістких обчислень. Зараз же наведемо деякі загальні міркування. Основним методом, за допомогою якого в числових методах вирішують поставлені задачі є заміна множин  і функції  деякими іншими множинами  і  та функцією  , більш зручними для обчислень. Іноді буває достатньо зробити заміну лише множин  і  , або одну з них. Іноді достатньо замінити лише функцію . Заміна повинна бути зроблена так, щоб розв’язання нової задачі  , де було близьким до поставленої задачі і виконувалось би з меншими труднощами. Наприклад, нехай треба обчислити інтеграл  , де  неперервна на  функція, але первісна цієї функції не виражається в елементарних функціях. Щоб отримати достатньо точне наближене значення інтеграла можна йти двома шляхами:
 .А у цьому випадку ми вже поміняли оператор  на  .^ Тема 1. КОРЕНІ МНОГОЧЛЕНІВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ. СХЕМА ГОРНЕРА Література. [1,2,9,10] . Якщо  , та  деяке число, то  називають значенням многочлена при  .Якщо  , то число  називають коренем многочлена  (або коренем рівняння  ).Якщо поділити многочлен на лінійний многочлен (тобто на  ), то в остачі залишиться якесь число  або нуль.Остачу від ділення многочлена на  можна знайти за допомогою теореми Безу [ 9 ] яка свідчить, щоостача від ділення многочлена на лінійний многочлен дорівнює значенню многочлена при , тобто  .Тепер бачимо, що число буде тоді і тільки тоді коренем многочлена , якщо ділиться на без остачі.Приклад. Знайти остачу від ділення многочлена  на  за теоремою Безу та після ділення “у стовпчик”.Розв’язок. 1. За теоремою Безу  .2. Ділимо “у стовпчик”.   3x4– 4x3 + 2x2 – x + 2 x – 2 –3x4– 6x3 3x3+2x2+6x+11 . + 2x3 + 2x2 – x + 2   2x3 – 4x2 6x2 – x + 2  6x2– 12x 11x + 2 11x – 22  24 Як бачимо остача в обох випадках однакова. Це означає, що ми розв’язали задачу вірно. Многочлен, який ми отримали у частки,  .Коефіцієнти многочлена  та остачу можна отримати значно швидше, якщо скористатися схемою Горнера [ 9 ] . Спочатку виконаємо ділення за схемою Горнера, а потім розповімо як це робиться.
 У наведеній схемі у верхньому рядку таблиці записані коефіцієнти  многочлена . Згідно з теорією [ 9 ], коефіцієнт  многочлена  дорівнює коефіцієнту  многочлена , тобто  .Останні коефіцієнти та остача знаходяться за формулами:  Та все ж основна мета цього розділу – відшукання коренів рівняння . Для наближеного розв’язку ,будь-якого рівняння ми повинні виконати два завдання: а) – відокремити корені; б) – уточнити корені [9 ] .Покажемо, як це ми будемо робити за допомогою пакета Mathcad . Перш за все ми повинні добре розуміти, що розв’язок рівняння графічно подається як задача знаходження абсцис точок перетину графіка функції  з віссю  . А оскільки пакет Mathcad дозволяє нам зробити це наглядно, скористуємося цією послугою. ^ . Знайти всі дійсні корені рівняння  за допомогою функцій root та polyroots. Розв’язок. Спочатку ми будуємо графік функції  , потім по графіку (приблизно) встановлюємо значення кореня, а вже потім користуємося стандартними функціями пакета. Mathcad – документ з коментарем наводимо нижче.Встановлюємо точність обчислень  Записуємо функцію  Будуємо графік функції [10]  Записуємо наближене значення першого кореня  За допомогою процедури root отримуємо уточнене значення кореня  Перевіряємо значення функції у точці   Записуємо наближене значення другого кореня  Отримуємо уточнене значення другого кореня  Перевіряємо значення функції у точці   Таким чином, ми одержали два дійсних кореня:  і  .Зараз знайдемо ці ж корені за допомогою процедури polyroots. Наведемо Mathcad – документ       Процедура polyroots призначена для обчислення коренів многочленів. Тепер бачимо, що даний многочлен має два дійсних і два комплексних кореня.Символьний розв’язок рівнянь та їх систем У пакеті Mathcad рівняння та їх системи можна розв’язувати в аналітичному вигляді, використовуючи оператори символьних перет-ворень. Приклад 1. Розв’язати рівняння  відносно і відносно  .Символьний розв’язок цих задач у пакеті займе два рядки   Для того щоб розв’язати символьно рівняння відносно , треба в панелі символьних обчислень  клацнути по кнопці solve.На екрані з’явиться конструкція  . В квадрат зліва заносимо вираз  (тобто ліву частину рівняння ), а в квадрат справа від solve – ім’я змінної, відносно якої треба розв’язати рівняння. Після цього клацнемо по вільному місцю в робочому документі. Результат – значення кореня рівняння – з’явиться справа від стрілки. Знак  - символьне виведення значення розв’язка рівняння.Приклад 2. Розв’язати систему рівнянь  Mathcad – документ буде виглядати так:    = 0   Ми одержали два розв’язка системи  та  .Для того щоб розв’язати систему у пакеті треба з клавіатури в робочий документ записати службове слова . Далі нижче та правіше цього слова ліву частину першого рівняння системи, а далі символьний знак рівності (“жирне” =) і нуль. Аналогічно записуємо всі рівняння системи. Правіше і нижче останнього рівняння системи записуємо ім’я функції  і у дужках перелічуємо ім’я змінних, значення яких треба знайти. Після цього вираз  виділяємо синьою кутовою рамкою, клацаємо по кнопці   в панелі символьних операцій і справа від стрілки в робочому документі з’являється відповідь у вигляді матриці, кожний стовпець якої утримує відповідь – один із розв’язків системи.Якщо задана система лінійних алгебраїчних рівнянь  (1.1)то, як відомо [9], невідомі  знаходяться за формулами Крамера: , де  визначник системи  ;  визначник, який утворюється з визначника  заміною стовпця з коефіцієнтів при невідомій  стовпцем вільних членів  .Систему (1.1) також можна вирішувати за допомогою конструкції GIVEN…FIND, яку ми розглянули раніше. Якщо через А позначити матрицю системи (1.1), через Х- матрицю-стовпець невідомих  , а через  матрицю-стовпець вільних членів, то цю систему можна записати у матричному вигляді . (1.2) Якщо визначник матриці  не дорівнює нулю, то система (1.1) має один розв’язок , (1.3) де  обернена матриця.У пакеті Mathcad розв’язок цієї системи виглядає дуже просто, за допомогою оператора  , та за допомогою функції lsolve (…) .Розглянемо на прикладі застосування усіх засобів. Приклад. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:  а) матричним засобом  ;б) за допомогою функції lsolve (…) ; в) за допомогою конструкції Given…Find ; г) за допомогою правила Крамера знайти одну невідому  .^ Наведемо усі чотири Mathcad-документи (в подальшому скорочено будемо позначати М-С-документ) з коментарем. I. Матричний метод  Формуємо матриці А і В   Матричний розв’язок  Отже,  .Перевірка розв’язку системи  II. За допомогою функції lsolve (…)   III . За допомогою конструкції Given…Find Given   IY. За допомогою правила Крамера           Тема 2. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЇ. ІНТЕРПОЛЯЦІЙНИЙ ^ Література. [1,2,3,4,6,10]. Нехай на відрізку [  ] задаються таблицею значення деякої невідомої функції  у  точці
Треба знайти, як можна більш просту аналітичну залежність між і , яка б точно або приблизно зображувала б функцію, яка задана таблицею, та дозволила б приблизно обчислювати значення функції в точках між вузлами  . Це і є задача інтерполювання функції. Дуже часто в ролі такої функції обирають многочлен степеня  , значення якого в точках співпадають зі значеннями  функції  , тобто  . Як відомо [ 6 ], він має вигляд   (2.1) .Поліном (2.1) називають інтерполяційним поліномом Лагранжа. Приклад. Знайти інтерполяційний поліном Лагранжа для функції, яка задана таблицею
та обчислити значення функції у точці  .Згідно з (2.1) отримуємо  .Фрагмент Mathcad-документа буде виглядати так:  Вихідні дані  Поліном Лагранжа  Остаточно    Для того щоб спростити вираз многочлена треба весь вираз справа до знака := підкреслити синьою кутовою рамкою. Потім клацнути по слову simplify у меню Symbolic. Але в багатьох випадках немає необхідності задовольняти умові   , а ставиться таке завдання: треба по вихідних даних підібрати таку аналітичну залежність між і , яка б мала простий вигляд і найкращим чином відображувала б загальний вигляд функції  взагалі. Знайдену тепер функцію називають апроксимуючою. Широко відомим методом розв’язання цієї задачі є метод найменших квадратів [5]. У випадку квадратичної апроксимації  система рівнянь для знаходження коефіцієнтів  має вигляд: Приклад. Функцію, яка задана таблицею
апроксимувати квадратичною функцією. Mathcad-документ буде виглядати так:         Тепер будуємо графік апроксимуючої функції та функції, яка задана таблицею.  |
, який наближає функцію 
ми будемо обчислювати інтеграл 
, що зробити не важко. У цьому випадку ми замінимо множину 
, яка буде достатньо близька до значення інтеграла. Тобто ми зараз вирішуємо задачу
