Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни
Скачати 421.92 Kb.
|
| Тема 4. ЧИСЕЛЬНЕ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ Контрольна робота № 2 Звичайного диференціального рівняння Список літератури |
|
^ Література [2,3,4,6,10,12]. Чисельне диференціювання застосовується тоді, коли функцію не можна продиференціювати аналітично – наприклад, коли вона задана за допомогою таблиці, або вираз функції такий громіздкий, що користуватися виразом похідної для обчислень дуже важко. У цьому випадку задану функцію  апроксимують функцією  , яка легко обчислюється и приблизно покладають  . Якщо ми працюємо у пакеті Mathcad , нам не треба хвилюватися про аналітичний вигляд виразу функції: пакет легко диференціює будь-яку функцію, будь-якого числа змінних. Наприклад, треба обчислити значення похідної функції  при  , а також значення частинної похідної функції  по  і мішаної похідної  при і  .Фрагмент Mathcad-документа буде виглядати так:        Таким чином ми обчислили значення похідних    .У фрагменті обчислень, який навели, ми скористались операторами диференціювання. Щоб визвати цей оператор на робочий документ треба на панелі математичних інструментів пакета Mathcad клацнути по кнопці із зображенням невизначеного інтеграла  . Це кнопка математичного аналізу. Клацання по цій кнопці відкриває другу, додаткову панель, на якій розташовуються кнопки математичних операцій. Після клацання по кнопці з символом  на робочому документі з’являється заготовка оператора диференціювання з чорними квадратами знизу і справа. У чорний квадрат справа ми записуємо ім’я функції або вираз функції, яку диференціюємо, а у квадрат знизу – означення аргументу. Після цього нажимаємо клавішу Spase (пропуск) до тих пір, поки весь вираз не буде виділено синьою кутовою рамкою. Після цього клацаємо по кнопці  на панелі математичних символів і в панелі, яка відкривається знову клацаємо по кнопці  . Через деякий час поруч з обозначенням похідної з’являється результат диференціювання. Якщо на початку документа були вказані значення аргументів, то оператор диференціювання видає значення похідної в точці. При обчисленні похідних вищих порядків клацаємо по кнопці  .Як відомо [5], похідна функції, що задається параметрично рівняннями  , обчислюється за формулою .Приклад. Знайти похідну функції  при  .Розв’язання у пакеті Mathcad.     Таким чином, ми визначили значення похідної  функції, яка задана параметрично у загальному вигляді  , та у точці  .Тема 5. ЧИСЕЛЬНЕ ІНТЕГРУВАННЯ Література [2,3,4,6,7,10,13]. Нехай треба обчислити інтеграл  , де неперервна на  функція. Якщо первісна функції не виражається в елементарних функціях, то користуються наближеним обчисленням визначених інтегралів, за допомогою якого можна знайти число  з будь-якою точністю. Користуються при цьому різними формулами [7]. Наведемо найбільш розповсюджені і найбільш прості з них.1. Формули прямокутників:  , ,де  ,   кількість рівних частин, на які розбивається відрізок .2. Формула трапецій:  .3. Формула парабол або формула Сімпсона:  .Число  у цій формулі обов’язково повинно бути парним.Приклад. Обчислити приблизно  за формулами прямо-кутників, трапецій та Сімпсона.Розв’язок. У даному випадку  на відрізку  . Розбиваємо відрізок на 10 рівних частин і значення аргументу та функції заносимо в таблицю.
1. Формули прямокутників:  . .2. Формула трапецій  .3. Формула Сімпсона   .Точне значення інтеграла  .У пакеті Mathcad невизначений та визначений інтеграли обчислюються за допомогою спеціальних операторів. Для того щоб знайти невизначений інтеграл клацнемо спочатку по вільному місцю у робочому документі. Потім на панелі математичних інструментів клацнемо по кнопці . Після клацання по цій кнопці відкривається нова панель, про яку ми вже казали раніш. Далі клацаємо по кнопці із зображенням  на цій панелі і в документі з’являється символ інтеграла з чотирма квадратами справа. У ці квадрати заносимо вираз підінтегральної функції, або її означення, та змінну інтегрування. Далі натискуємо клавішу Spase (пропуск) до тих пір, поки весь вираз не буде виділено синьою кутовою рамкою. Далі для отримання результату робимо як і при обчисленні похідних. При обчисленні визначеного інтеграла клацаємо по кнопці  .Приклади. Знайти  .Mathcad-документ має вигляд:    Наближене обчислення подвійного інтеграла Нехай треба обчислити  , де область  у прямокутній системі координат задається парою нерівностей: Як відомо [5], подвійний інтеграл обчислюється за допомогою зведення його до так званого повторного інтеграла – двох звичайних визначених інтегралів. Тоді  .Спочатку обчислюється інтеграл  по змінній при сталому . Після інтегрування в межах від  до  отримуємо число. Коли первісна не виражається в елементарних функціях, користуються наближеним обчисленням.Покажемо, як це робиться за допомогою пакета Mathcad. Приклад. Нехай треба обчислити подвійний інтеграл  ,де область обмежена лініями  .Розв’язок. Спочатку у пакеті Mathcad побудуємо графіки функцій  та  . Потім знайдемо точки їх перетину  Тепер задаємо область інтегрування парою нерівностей Повторний інтеграл буде виглядати так:  .Залишається тільки обчислити його за допомогою пакета. Спочатку наберемо на клавіатурі символ  . Після цього на панелі математичних інструментів клацаємо по кнопці з зображенням інтеграла і вже потім у заново відкритій панелі клацаємо по кнопці визначеного інтеграла. В документі після знака  з’являється зображення визначеного інтеграла, в який ми вносимо границі змінної  , а замість підінтегральної функції знову вносимо символ визначеного інтеграла. У другий інтеграл вносимо границі інтегрування змінної  та підінтегральну функцію, а також диференціали змінних інтегрування: спочатку по  , потім по  . Вони в Mathcad-документі записуються в зворотному порядку.Отже маємо:    Завдання до контрольної роботи № 1
а) виконавши ділення безпосередньо (у “стовпчик”); б) виконавши ділення за схемою “Горнера”; в) використовуючи теорему Безу. 1.   .2.   .3.  , .4.  ,  .5.  ,  .6.  , .7.  , .8.  , .9.  , .10.  , .2. Задача. Обчислити всі корені многочлена а) за допомогою функції  ;б) за допомогою функції  ;в) за допомогою функції  ;г) за допомогою конструкції  .1.  .2.  .3.  .4.  .5.  .6.  .7.  .8.  .9.  /10.  .3. Задача. Розв’язати систему рівнянь: а) матричним засобом  ;б) за допомогою функції  ;в) за допомогою конструкції ;г) записати формули Крамера та знайти одну невідому  за допомогою визначників.1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.  4. Задача. Розв’язати систему нелінійних рівнянь за допомогою конструкції .1.  6.  2.  7.  3.  8.  4.  9.  5.  10.  5. Задача. Записати Mathcad-документ та побудувати графіки функцій. 1. а)  б)  2. а)  б)  3. а)  б)  4. а)  б)  5. а)  б)  6. а)  б)  7. а)  б)  8. а)  б)  9. а)  б)  10. а)  б)  6. Задача. Для функції, яка задана таблицею, побудувати інтерполяцій- ний поліном Лагранжа: а) записати загальний вираз полінома; б) побудувати графік функції, яка задана таблицею; в) побудувати графік полінома Лагранжа; г) визначити значення полінома Лагранжа в одній вузловій точці та в будь-якій точці між вузлами; д) апроксимувати дану функцію квадратичною та записати Mathcad- документ реалізації.
1. 6.
2. 7. 3. 8.
7. Задача. Функцію, графік якої зображено на рисунку, розвинути в ряд Фур’є: а) по синусах для парних номерів варіанта; б) по косинусах для непарних номерів варіанта. З  аписати Mathcad-документ та побудувати графіки функції, яка задана, а також частинної суми ряду Фур’є для  та  , де кількість членів частинної суми ряду Фур’є.8. Задача. Знайти похідні даних функцій. Записати Mathcad-документ. 1. а)  ; б)  2. а)  ; б)  3. а)  ; б)  4. а)  ; б)  5. а)  ; б)  6. а)  ; б)  7. а)  ; б)  8. а)  ; б)  9. а)  ; б)  10. а)  ; б)  9. Задача. Знайти значення частинних похідних  у точці  . Записати Mathcad-документ. 1.  . 6.  .2.  . 7.  .3.  . 8.  .4.  . 9.  .5.  . 10. .10. Задача. Обчислити наближено за формулою Сімпсона та за допомо- гою пакета Mathcad такі інтеграли: 1.  . 6.  .2.  . 7.  3.  . 8.  .4.  . 9.  .5.  . 10.  .^ Тема 1. ЧИСЛЕННИЙ РОЗВЯЗОК ЗАДАЧІ КОШІ ДЛЯ ЗВИЧАЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ Література: [2,4,6,10] Найпростішим звичайним диференціальним є рівняння першого порядку  . (1.1)Основна задача для цього рівняння є задача Коші [6]: знайти розв’язок (1)  , (1.2)який задовольняє умові  . (1.3)Умову (1.3) називають початковою умовою. Геометрично це означає, що ми повинні знайти інтегральну криву  , яка проходить через точку  .Найпростішим численним методом інтегрування диференціального рівняння є метод Ейлера. Згідно з цим методом відрізок , на якому відшукують розв’язок рівняння (1.1), поділяють на відрізків однакової довжини  так, що ;  , (1.4)де  .Похідну  в точці  замінюємо скінченими різницями (1.5)і з (1.1) отримуємо  . (1.6)Вираз (1.6) дає можливість отримати значення функції у всіх точках   відрізка .Метод Ейлера не дуже точний, накопичує помилки, але він дає уявлення про численну реалізацію задачі Коші для диференціального рівняння. Найбільш точними є методи Рунге-Кутта, метод Адамса та інші. Багато цих методів реалізовано у пакеті Mathcad . Розглянемо застосування деяких стандартних функцій для вирішення задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь та їх систем [1]. Нагадаємо, що часто необхідно знайти функції  , які задовольняють декільком диференціальним рівнянням, які містять аргумент , функції  та їх похідні. У даному випадку говорять, що дані диференціальні рівняння утворюють систему диференціальних рівнянь. Система рівнянь (1.7)називається нормальною системою. Задача Коші для такої системи формулюється так: знайти функції , які задовольняють систему (1.7) і початковим умовам . (1.8)Так от нагадуємо, що всі функції для розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем у пакеті Mathcad призначені для нормальної системи диференціальних рівнянь. Такими функціями є функції  та інші [8].Приклад. На відрізку  знайти наближений розв’язок рівняння  , який задовольняє початковим умовам  та побудувати графік цього розв’язку. Розв’язок. Спочатку перейдемо від диференціального рівняння до нормальної системи другого порядку. Для цього позначимо  . Тоді отримаємо систему де  Фрагмент Mathcad-документа розв’язку наданий нижче.       У наведеній функції   вектор початкових умов;  початок відрізка інтегрування;  кінець відрізка інтегрування;  кількість точок, у яких знаходимо значення функції  ;  вектор правих частин системи (9).Якщо треба розв’язати задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку, то вектор-функції  та будуть мати по одному елементу.Приклад. На відрізку  знайти приблизний розв’язок рівняння  , який задовольняє умові  . Побудувати графік отриманого розв’язку.Mathcad-документ розв’язку задачі наданий нижче.     Тема 2. ЧИСЕЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК КРАЙОВОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ^ Література  [2,4,5,6,10]Найпростіша двоточкова крайова задача формулюється так: знайти функцію , яка задовольняє диференціальному рівнянню другого порядку (2.1) і яка отримує при  та   надані значення . (2.2)Геометрично це означає, що ми повинні знайти інтегральну криву диференціального рівняння (2.1) яка проходе через точки  та  . Умови (2.2) можуть задаватися по-різному.Наприклад,  або  .Найпростішим методом розв’язку цієї задачі є метод зведення її до системи скінченно-різницевих рівнянь [6] . Покажемо на прикладі, як це робиться за допомогою пакета Mathcad. Приклад. Розв’язати методом скінчених різниць диференціальне рівняння  на відрізку  , де  . Щоб спростити обчислення, розіб’ємо відрізок на чотири рівних відрізка довжиною  . Точки  візьмемо як вузли та замінимо наше рівняння скінченно-різницевим .А зараз за допомогою пакета Mathcad сформуємо систему трьох рівнянь для визначення  та розв’яжемо її за допомогою конструкції .Фрагмент Mathcad – документа буде виглядати так:   Підкресливши останній вираз рівняння кутовою рамкою справа, клацнемо по кнопці  у меню Symbolics. Справа від стрілки з’явиться рівняння .Скопіюємо його та запишемо в окремому місці документа після службового слова Given. Далі замінимо на початку Mathcad – документа вираз  на  . Відразу ж справа від стрілки з’явиться рівняння .Його теж запишемо після службового слова Given. Тепер замінимо на  і отримаємо рівняння .Таким чином, ми отримаємо систему Given .Тепер у цих рівняннях замінимо  на  , а  на 65. Остаточно маємо систему, яку розв’язуємо.Given  .Далі будуємо графік в координатах   Цю ж задачу можна вирішити за допомогою функції  .Mathcad – документ буде виглядати так: Given   Тема 3. МОДЕЛЮВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ТА ДИСКРЕТНИХ СИСТЕМ Література [8]. До складу системи Matlab входить пакет моделювання динамічних систем Simulink [8]. Це нова, значно допрацьована версія популярного пакета, який вже давно вважається одним з найкращих пакетів моделювання блочно заданих динамічних систем. Пакет Simulink є ядром інтерактивного програмного комплексу, який призначається для математичного моделювання лінійних та нелінійних динамічних систем і пристроїв, що задаються своєю блок-схемою, яка зветься S- моделлю або просто моделлю. Для побудови функціональної блок-схеми пристроїв, які моделюються, Simulink має велику бібліотеку блочних компонентів і зручних редактор блок-схем. Simulink автоматизує такий етап моделювання: він складає і вирішує системи алгебраїчних і диференціальних рівнянь, яка описує дану функціональну схему (модель), забезпечуючи зручний та наглядний візуальний контроль за поведінкою зробленого користувачем віртуального пристрою. Про все це можна почитати в [8]. Ми розглянемо один розділ: інтегрування диференціальних рівнянь. Як будується модель процесу, який ми досліджуємо ? Нехай нам треба побудувати модель, яка виконує функцію обчислення значення функції  , де і  const. Для підношення до квадрату достатньо використовувати множник, на обидва входу якого подається сигнал . Підключивши до виходу з множника блок Gain, який масштабує з коефіцієнтом передачі  , ми отримаємо сигнал  . Додаємо до цих блоків суматор  , на один вхід якого треба подати сигнал з множника, а на другий – вихід константи  . Тоді на виході суматора будемо мати  , що нам і потрібно. Цю функцію реалізує модель, яка показана на рисунку. У цьому прикладі вхідним сигналом є синусоїдальний сигнал  . Пристрій який реєструє – осцилограф  . Для того щоб запустити модель достатньо клацнути по кнопці з зображенням трикутника на панелі інструментів Simulink.Джерела сигналів можуть бути різними. Вони зберігаються в великій бібліотеці Simulink і легко переміщуються з бібліотеки на місце побудування моделі. Усі блоки повинні бути з’єднані лініями. Аналогічно будується модель реалізації диференціального рівняння. Нехай, наприклад, нам треба розв’язати задачу Коші для диференціального рівняння  з початковими умовами   .По-перше, вирішуємо дане диференціальне рівняння відносно похідної   .За допомогою ланцюжка суматорів збираємо модель правої частини рівняння, використовуючи математичні блоки інтегрування integrator. Блоком - clock ми задаємо змінну інтегрування . Потім за допомогою блоку Fcn записуємо вираз  , причому у даному разі аргумент у блоці Fcn позначається не , а ( [1]). Помножуючи похідні на константи, подаємо усі виходи на вхід суматора Sum.Запустивши модель, ми через декілька секунд зможемо побачити на екрані осцилографа інтегральну криву. Для цього треба клацнути двічі по блоку Scope. Нульові початкові умови задаються по замовленню. Якщо початкові умови не нульові, то послідовно клацнувши по блоках інтегрування, встановлюємо значення функції і її похідної у момент  .На рисунку показано графік інтегральної кривої  , яка є розв’язком задачі Коші для рівняння, яке задане.  Завдання до контрольної роботи № 2 1. Знайти числлоий розв’язок задачі Коші на відрізку  , взявши  . Побудувати графік інтегральної кривої 1. а)  .б)  .2. а)  .б)  .3. а)  .б)  .4. а)  .б)  .5. а)  .б)  .6. а)  .б)  .7. а)  .б)  .8. а)  .б)  .9. а)  .б)  .10. а)  .б)  .2. Побудувати та реалізувати математичну модель у пакеті структурного моделювання Simulink. 1.  . 2.  .3.  .4.  .5.  .6.  .7.  .8.  .9.  .10.  .^
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
