Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни icon

Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни




НазваМіністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни
Сторінка3/16
Дата01.06.2012
Розмір1.14 Mb.
ТипДокументи
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16
^

Формула класичної ймовірності



Теорія ймовірностей має ряд основних первинних понять, на яких базуються всі теоретичні побудови і висновки. До них належать: стохастичний експеримент, випадкова подія, ймовірність, випадкова величина.

^ Стохастичним експериментом називається експеримент, який можна неодноразово повторювати за деяких незмінних умов і результат якого неможливо передбачити заздалегідь. Подія – це будь-який результат експерименту. Елементарні події – це єдино можливі результати експерименту, що є взаємно виключні. Події бувають випадкові, неможливі, достовірні. Достовірною називають подію ?, що обов’язково відбудеться, якщо буде здійснена сукупність відповідних умов .

Неможливою називається подія Ш, яка свідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов .

Подія називається випадковою, якщо реалізація сукупності відповідних умов може мати принаймні два наслідки.

Ймовірність в загальному випадку є кількісна міра можливості появи події в експерименті. Позначимо ймовірність події буквою (probability (англ.) – ймовірність).

Ймовірністю події називають відношення кількості сприяючих події результатів експерименту до загальної кількості рівноможливих несумісних елементарних подій , тобто


, .

Відносна частота події обчислюється за формулою

, ,

де – число експериментів, у яких відбулася подія , – загальна кількість проведених експериментів. За статистичним означенням ймовірність події є відносна частота цієї події.

^

Геометрична ймовірність



Нехай простір елементарних подій інтерпретується як область на числовій осі (або на площині, або у просторі), яка має відповідно довжину, площу або об’єм. Тоді ,

де – вимір (довжина або площа, або об’єм) області ; – вимір області . Ця формула називається формулою геометричної ймовірності.

Безсумнівно для кожної випадкової події A


.


^ 2.3. ТЕОРЕМИ ДОДАВАННЯ І МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Об’єднання (сума) подій (або ) – це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій або .

^ Перетин (добуток) подій (або ) – це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли одночасно відбуваються і подія , і подія .

Різниця подій – це подія, яка відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія В, але не відбувається подія А.

Дві події називаються несумісними, якщо , тобто вони одночасно не можуть відбутися.

Події утворюють повну групу подій, якщо: а) ; б) (тобто усі події попарно несумісні).

Кожній події можна поставити у відповідність протилежну подію , яка відбувається тоді, коли не відбувається. Очевидно, .

Приклад. Два шахісти грають одну партію. Сукупність всіх можливих результатів партії ( – виграє I шахіст, – виграє II шахіст, – нічийний результат) утворюють повну групу подій (в результаті експерименту (партії) з’явиться тільки одна з подій групи).

Приклад. Якщо стипендія нараховується тільки при отриманні на іспитах добрих та відмінних оцінок, то події “стипендія” та “незадовільна або задовільна оцінка” є протилежними подіями.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстава вважати, що ніяка з них не є більш можливою, ніж інші.

Приклад. Поява “герба” або числа при підкиданні монети є рівноможливими подіями.

Приклад. Діаграми В’єнна. У квадрат навмання кидають точку. Якщо точка потрапила до “вертикального” прямокутника, то говоримо, що відбулася подія , а якщо до “горизонтального” – подія . Події відбуваються, коли точка потрапляє до відповідної області, заштрихованої на рисунку





B/A
^

Теореми додавання ймовірностей


сумісних подій

;

несумісних подій

.

Наслідок 1. Сума ймовірностей подій , що складають повну групу, дорівнює одиниці, тобто

.

Наслідок 2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці, тобто

.

Подія називається незалежною від події , якщо ймовірність здійснення події не залежить від того, відбулася або ні подія (у протилежному випадку події залежні).

Ймовірність або називається умовною ймовірністю події за умови , тобто це ймовірність настання події , обчислена в припущенні, що подія вже відбулася.

^ Теорема множення ймовірностей

незалежних подій

;

залежних подій


.


Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних в сукупності подій дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій, тобто


.


^ 2.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ


Нехай події утворюють повну групу подій, тобто вичерпують усі можливі результати даного експерименту. Подія може відбутися за умовою появи однієї з гіпотез з деякою ймовірністю . Тоді ймовірність події обчислюється за формулою повної ймовірності

,


де , тобто дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події .

Нехай тепер відомо, що результатом експерименту є подія . Її поява зумовить переоцінку апріорних (a priori (лат.) – відомих до спроби) ймовірностей гіпотез, які можна обчислити у цьому випадку за формулами Байєса

,

де апостеріорні (a posteriori (лат.) – після експерименту) ймовірності гіпотез після випробування, коли стало відомо, що його результатом є подія ; – ймовірність події при умові ; – ймовірність події , знайдена за формулою повної ймовірності.

Формули Байєса дають можливість переоцінити ймовірності гіпотез з урахуванням результату досліду.


^ 2.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ.

ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ


Нехай ймовірність появи події в кожному з незалежних аналогічних дослідів є однаковою і незалежною від результатів інших спроб тієї ж серії (ймовірність протилежної події ). Ймовірність того, що в дослідах рівно разів буде успіх, тобто поява події А, обчислюється за формулою Бернуллі

.

Ймовірність того, що подія відбудеться не менш ніж разів, дорівнює

.

Ймовірність того, що подія настане хоча б один раз, обчислюється за формулою

.

Якщо достатньо велике, а – достатньо мале числа, наприклад, , а однак при цьому , то найчастіше використовують асимптотичну формулу Пуассона

,

де - середнє число появи події в випробуваннях.

Формулу Бернуллі практично застосовують при відносно невеликих значеннях числа незалежних випробувань . Якщо достатньо велике, то користування цією формулою стає досить складним, бо необхідно виконувати громіздкі дії над великими числами. У цьому випадку слід застосовувати наближені (асимптотичні) формули.

^ Локальна теорема Муавра-Лапласа. Ймовірність того, що у незалежних випробуваннях, у кожному з яких подія відбувається з однаковою ймовірністю , подія настане рівно разів, наближено дорівнює

,


де , .

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Ймовірність того, що в незалежних спробах, у кожній з яких ймовірність появи події стала і дорівнює , подія наступить не менш разів і не більш разів, наближено дорівнює

,


де .

Інтеграл не виражається в елементарних функціях, тому для обчислення користуються функцією (інтегральна функція Лапласа). Тоді .

Зауваження. Функції та табульовані для практичних цілей ([4], [5], [6]). Слід пам’ятати, що парна, тобто і має максимум при , а непарна, тобто . В таблицях значення функції наведені для ; деякі з її значень: .


^ 2.6. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ


Випадковою величиною називається величина, яка в результаті випробування може прийняти те або інше значення, заздалегідь невідоме і таке, що залежить від випадкових обставин.

Якщо випадкова подія є якісною характеристикою випробування, то випадкова величина може розглядатись як його кількісна характеристика.

Випадкова величина , що набуває скінченну або зчисленну множину значень , називається дискретною; випадкова величина називається неперервною, якщо всі її можливі значення належать неперервному (скінченному або безмежному) проміжку числової осі.

Основні числові характеристики випадкової величини.

Для дискретної величини: математичне сподівання (характеризує положення випадкової величини на числовій осі, визначає деяке “середнє” значення, навколо якого групуються всі можливі значення випадкової величини)

;

дисперсія (характеризує розсіювання випадкової величини навколо її математичного сподівання)

або

середнє квадратичне відхилення (або стандартне відхилення; вводиться для того, щоб розмірність характеристики розсіювання співпадала з розмірністю випадкової величини)

.

Для неперервної величини математичне сподівання

;

дисперсія

або


де щільність розподілу ймовірностей.

Зауваження. За означенням , де функція розподілу неперервної випадкової величини.

Особливу увагу слід звернути на теореми ([10], гл. XX, § 12, 13), які дозволяють знайти ймовірність попадання випадкової величини в деякий заданий інтервал.


^ Деякі закони розподілу дискретних випадкових величин


Біномний розподіл. Цілочислова невід’ємна випадкова величина (кількість появ події в незалежних випробуваннях) розподілена за біноміальним законом, якщо подія має ймовірність


.


Ймовірності можливих значень випадкової величини дорівнюють відповідним членам розкладу бінома .

Функція розподілу випадкової величини має вигляд:



Числові характеристики біномного розподілу:


.


^ Розподіл Пуассона. Числова невід’ємна випадкова величина має розподіл Пуассона, якщо подія має ймовірність


,


де – параметр закону Пуассона (п.3.2), .

Функція розподілу величини має вигляд:




Числові характеристики розподілу Пуассона: .

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Схожі:

Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України Ідентифікаційний код за єдрпоу
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconІнформація про застосування процедури закупівлі в одного учасника Замовник: > Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти І науки, молоді та спорту України
Найменування. Національна металургійна академія України Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України
Міністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни iconМіністерство освіти і науки України Національна металургійна академія України Кафедра

Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи