Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» icon

Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення»




Скачати 337.83 Kb.
НазваРобоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення»
Сторінка2/4
Дата01.06.2012
Розмір337.83 Kb.
ТипДокументи
1   2   3   4

Інтегрування комплексних функцій. Інтегральна формула Коші


Розглянемо спрямлювану криву , в кожній точці якої задано функцію . Інтегралом від функції вздовж називають

,

де криву поділено на малі частки , – довільна точка, яка лежить на відповідній частці кривої, а границя існує і не залежить від способу поділу кривої на частки та від способу вибору точок .

Якщо є кусочно гладкою кривою, а функція – кусочно неперервна та обмежена, то цей інтеграл завжди існує. Він зводиться до обчислення вздовж кривої криволінійних інтегралів за координатами від функцій дійсних змінних

.

Теорема Коші. Якщо функція аналітична у однозв’язній області , межею якої є кусочно гладкий контур , та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж лінії дорівнює нулю:

.

Теорема Коші для багатозв’язної області. Розглянемо область , межа якої складається з замкненої лінії та ліній , ,… , які лежать всередині та попарно не перетинаються. Тоді, якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж повного контуру дорівнює нулю:

, тобто

.

Інтегральна формула Коші. Розглянемо однозв’язну область та замкнену криву , яка повністю міститься у разом з своєю внутрішністю . Якщо функція аналітична у області , то для будь-якої точки має місце рівність

.

Інтеграл називається інтегралом Коші.

Формула типу Коші. Якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то у довільній внутрішній точці області функція має похідну будь-якого порядку, та

.


Ряди з комплексними членами.

^ Степеневі ряди. Круг збіжності


Розглянемо послідовність комплексних чисел та побудуємо ряд . Частковою сумою цього ряду називається сума .

Якщо існують скінченні границі та , то величина також має скінченну границю , ряд називається збіжним, а число сумою цього ряду.

Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .

Необхідна умова збіжності. Якщо ряд збігається, то .

Наслідок. Якщо , то ряд розбігається.

Ознака збіжності Даламбера. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.

Ознака збіжності Коші. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.

Функціональний ряд структури називається степеневим. Область збіжності такого ряду (тобто множину всіх значень змінної, для яких збігається відповідний числовий ряд) складають внутрішні точки кругу збіжності , та, можливо, деякі або всі точки кола , яке обмежує цей круг. У внутрішніх точках круга збіжності ряд є абсолютно збіжним, ззовні кола ряд розбігається. Радіус збіжності обчислюється за формулами

або .

Круг збіжності можна також можна знайти безпосередньо з умов або , де та .

Розвинення функцій в ряди Тейлора та Лорана.

Особливі точки. Лишки


Функція , аналітична у внутрішніх точках круга , може бути представлена у цьому крузі збіжним степеневим рядом , який називається рядом Тейлора.

Для елементарних функцій комплексної змінної зберігаються розвинення у ряди Тейлора та Маклорена, отримані для функцій дійсної змінної:

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, тощо.

Якщо функція є аналітичною у кільці , то вона може бути представлена у точках цього кільця своїм рядом Лорана

,

де , , інтегрування виконується вздовж кола , .

Радіуси та зв’язані з коефіцієнтами Лорана співвідношеннями

та .

Точка називається ізольованою особливою точкою функції , якщо не визначена, та існує окіл , в якому функція є аналітичною. Особлива точка називається

  • усувною, якщо існує скінчений ;

  • полюсом, якщо ;

  • істотно особливою точкою, якщо не існує.

Число називається порядком нуля функції в точці, якщо функція аналітична в точці , , та . Якщо точка є нулем порядку для функції , то вона є полюсом порядку для функції . Зокрема, число є полюсом порядку для функції , якщо .

Якщо особлива точка є усувною, всі коефіцієнти головної частини відповідного ряду Лорана дорівнюють нулю, у випадку полюса порядку мають місце умови , , нарешті, для істотно особливої точки існує нескінченна множина відмінних від нуля коефіцієнтів головної частини ряду Лорана.

Лишком функції відносно скінченої точки називається величина

,

де – будь-яке додатно орієнтоване коло , яке лежить в кільці збіжності ряду Лорана.

Якщо точка є точкою аналітичності функції або її усувною особливою точкою, то .

Лишок в простому полюсі обчислюють за формулами

або

, де, причому .

Якщо – кратний полюс порядку , то

.

Для обчислення лишків в істотно особливих точках знаходять коефіцієнт ряду Лорана інтегруванням або за допомогою відомих розвинень функцій у степеневі ряди.

Основна теорема про лишки. Якщо функція є аналітичною у замкненій області за винятком скінченої кількості особливих точок , ,…, які лежать усередині , то

.


^ Операційне числення


Операційний метод – це специфічний спосіб розв’язування різних математичних задач, в першу чергу, диференційних рівнянь. Він базується на застосуванні інтегральних перетворень, зокрема, перетворення Лапласа, та складається з таких етапів:

1) від шуканої функції переходять до функції комплексної змінної, яку називають зображенням шуканої функції;

2) над зображенням виконують операції, які відповідають заданим операціям над шуканою функцією, – отримують так зване операторне рівняння для зображення ;

3) операторне рівняння розв’язують відносно ;

4) від отриманого зображення переходять до оригіналу, який є шуканою функцією.

Інтегральне перетворення Лапласа


Розглянемо функцію дійсної змінної , яка відповідає таким умовам:

1. При .

2. При функція на будь-якому скінченному проміжку вісі має не більше ніж скінченну кількість точок розриву першого роду.

3. При функція має обмежену степінь зростання, тобто існують такі додатні константи та , що для всіх

.

Інтегральне перетворення Лапласа ставить у відповідність такій функції

функцію комплексної змінної за допомогою співвідношення

.

Функція називається зображенням Лапласа функції , а функція оригіналом функції . Зв’язок між функціями та будемо символічно позначати таким чином:

.

1   2   3   4

Схожі:

Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМетодичні вказівки до ви­вчення кожної теми; варіанти індивідуальних завдань
«Вища математика» (розділ «Функції комплексної змінної та інтег­ральні перетворення») для студентів напряму 050202- автоматизація...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconОписи модулів назва модуля
Вища математика, Фізика, Програмування та алгоритмічні мови, Числові методи І моделювання на еом ч. 1, Теорія функцій комплексної...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМетодичні вказівки до вивчення кожної теми; варіанти індивідуальних завдань
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни “Вища математика” для студентів напряму 040106...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconРобоча програма методичні вказівки І індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Математика для економістів» для студентів економічних спеціальностей (АР)
Робоча програма, методичні вказівки І індивідуальні завдання до вивчення дисципліни “Математичний аналіз” для студентів економічних...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМетодичні вказівки до самостійного вивчення матеріалу, індивідуальні завдання та методичні вказівки до їх виконання
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни ²Міжнародний маркетинг² для студентів напряму...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМетодичні вказівки до самостійного вивчення матеріалу, індивідуальні завдання та методичні вказівки до їх виконання
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Менеджмент в енергетиці» для студентів спеціальності...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМетодичні вказівки до самостійного вивчення матеріалу, індивідуальні завдання та методичні вказівки до їх виконання
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни ²Менеджмент персоналу² для студентів спеціальності...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconРобоча програма індивідуальні контрольні завдання з вивчення дисципліни "Вища математика" для студентів групи ап заочної форми навчання
Але студент повинен пам’ятати, що тільки при систематичній самостійній роботі допомога академії буде носити ефективний характер....
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМіністерство освіти І науки україни національна металургійна академія україни робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Філософія»
Робоча програма, методичні вказівки тa індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Філософія» для студентів усіх спеціальностей...
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Вища математика» розділ «Функції комплексної змінної та інтегральні перетворення» iconМетодичні вказівки до вивчення дисципліни «Трудове право», рекомендована література, робоча програма, питання для самоконтролю, індивідуальні завдання по варіантах і рекомендації до їх виконання
Робоча програма, методичні вказівки та індивідуальні завдання до вивчення дисципліни «Трудове право» для студентів усіх напрямів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Документи


База даних захищена авторським правом ©zavantag.com 2000-2013
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації
Документи