Кінематика матеріальної точки

За теоремою косинусів знайдемо модуль вектора швидкості :

v² = v₁²  + v₂² – 2  v₁ v₂ cos ( – );

.

Показаний на рис. 1.4 кут  визначає напрямок вектора швидкості :

,

.

Відповідь: , .

Задача 2. Вільно падаюче тіло за останні ^ 2 с польоту пройшло 196 м шляху. З якої висоти воно впало?

алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими h, t₁ і t₂ , розв’язавши яку, знайдемо відповідь задачі:









.

Відповідь: .

Задача 3. На висоті 10 м над Землею кинуто камінь під кутом 30 до горизонту зі швидкістю v=20 м/с. Знайти найбільшу висоту каменя над поверхнею Землі під час його польоту і відстань, яку він здолає у горизонтальному напрямку. Опором повітря знехтувати.

Рух тіла відбувається у полі тяжіння Землі, тому прискорення тіла – це прискорення вільного падіння g =9,8 м/с². Розкладемо рух каменя на два компоненти: 1) рівномірний рух уздовж осі x; 2) рівноприскорений рух уздовж осі y. Кінематичні формули залежності координат x і y від часу, а також відповідних швидкостей v_x i v_y такі:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

. (1.5)

За умовою задачі: початкові координати – y₀ =h м, x₀ =0 м; початкові швидкості – v_0x = v₀ cos м/с, v_0x = v₀ sin м/с; прискорення –  м/с²,  м/с². З урахуванням цього формули (1.2)–(1.5) перепишемо у вигляді

(1.6)

(1.7)

(1.8)

. (1.9)

У верхній точці D v_y = 0 м/с. Отже з останньої формули можна знайти момент часу, коли камінь має найбільшу висоту:

; ; ;

і за формулою (1.7) саму цю висоту:

.

Момент часу t_п падіння знайдемо з рівняння

.

; ;

; .

Час завжди додатній, тому перший корінь відкидаємо і за формулою (1.6) обчислимо шлях у горизонтальному напрямі s:

.

Відповідь: , .

Задача 4. Шлях s, який проходить матеріальна точка вздовж кола радіусом 4 м, від часу залежить за законом s=A+Bt+Ct², де A =2 м, В =3 м/с, С=1 м/с². Знайти прискорення а точки у момент часу і сам момент часу, коли нормальне прискорення дорівнює 4 м/с².

Рис. 1.7

.

Потрібний момент часу знайдемо з умови a_n=4 м/с². Скориставшись формулою для нормального прискорення

, , ,

отримаємо два значення моменту часу:

t₁=0,5 c і t₂= c.

Друге значення часу відкидаємо, бо воно не задовольняє умові задачі (t0).

Відповідь: , t=0,5 c.

§4. Задачі для самостійного розв’язання

1.1. Земля обертається навколо Сонця із середньою швидкістю v₀=29,8 км/с. Сонце рухається у напрямі до сузір'я Лебедя зі швидкістю v= 250 км/с. Знайти шлях і переміщення Землі за t=365 діб.

1.2. За проміжок часу t=10 с точка пройшла одну шосту частину кола радіусом R=150 см. Обчислити за час руху: а) середнє значення модуля швидкості; б) модуль вектора середньої швидкості; в) модуль вектора середнього повного прискорення, якщо точка рухалась зі сталим тангенціальним прискоренням, а початкова швидкість дорівнювала нулю.

1.3. Частинка рухається вздовж прямої згідно з рівнянням x=At³+Bt, де A = м/с³, В=3 м/с. Визначити середній модуль швидкості > і модуль середньої швидкості > за перші 3 с від початку руху.

1.4. Швидкість тіла змінюється за законом v=At²+Се^Вt, де A =3 м/с³, В=1 с^-1, С=1 м/с. Знайти прискорення тіла наприкінці першої секунди руху, пройдений тілом шлях і середню швидкість за цей час.

1.5. Рух матеріальної точки задано рівнянням x=A t+2 B t ², де A =0,8 м/с, В= м/с². Визначити середнє значення модуля швидкості точки за перші 4 с руху.

1.6. Тіло кинуто з поверхні землі під кутом =30 до горизонту з початковою швидкістю v = 10 м/с. Не враховуючи опору повітря, знайти: швидкість тіла в момент часу t₁=0,8 с; б) рівняння траєкторії; в) час підйому і час спуску; г) дальність польоту і д) радіус кривизни траєкторії в момент t₁.

1.7. Тіло кинуто зі швидкістю v=20 м/с під кутом =30 до горизонту. Знайти радіус кривизни траєкторії тіла через t₁= 1,2 с після початку вільного руху.

1.8. Знайти нормальне і тангенціальне прискорення тіла, яке кинуто з початковою швидкістю v₀=10 м/с під кутом =30 до горизонту, через t₁= 0,7 с польоту. В яких точках ці прискорення будуть найбільшими і чому дорівнюватимуть?

1.9. Тіло кинуто зі швидкістю v₀=10 м/с під кутом =30 до горизонту. Знайти шлях, пройдений тілом до падіння.

1.10. На висоті h₁=100 м тіло, яке вільно падає, мало швидкість v=20 м/с. Чому дорівнювала швидкість тіла на висоті h₂=75 м?

1.11. Тіло починає падати з висоти h=100 м з прискоренням g уздовж вертикалі і а=2 м/с² уздовж горизонталі. Знайти: a) швидкість тіла через t₁=4 с після початку падіння; б) рівняння траєкторії; в) дальність польоту.

1.12. На поверхні Сіріуса ^ В частинка мала швидкість v= – 10 км/с, спрямовану вертикально вгору. Обчислити прискорення вільного падіння на Сіріусі В, якщо частинка, рухаючись вільно в полі тяжіння, знаходилась на висоті h=10 м два рази з інтервалом часу dt=1,4 мс.

1.13. З поїзда, що рухається зі швидкістю v=72 км/год, у перпендикулярному до руху напрямі кинуто камінь. Початкова швидкість каменя відносно поїзда v₀=20 м/с, а кут її нахилу до горизонту =30. 3найти швидкість каменя як функцію часу і відстань, яку пролетить камінь. Опором повітря знехтувати.

1.14. Через який час після початку руху вектор швидкості тіла, яке кинуто під кутом =45 до горизонту з початковою швидкістю v₀=10 м/с, буде утворювати з горизонтом кут =30°? Тіло рухається вільно.

4.15. Одне тіло кинуто з точки з радіусом-вектором , зі швидкістю , a друге – з точки з радіусом-вектором зі швидкістю . Як змінюється відстань між тілами з часом?

1.16. Радіус-вектор частинки має вигляд , с=0,5 м/с³; k=2 м/с. Визначити, як залежать від часу: вектори швидкості і прискорення; шлях і модуль швидкості.

1.17. Точка рухається по колу зі швидкістю v=a₀t, де a₀=1 м/с². 3найти її повне прискорення після того, як вона зробить повний оберт.

1.18. Тіло рухається по колу радіусом R=1 м зі швидкістю v= a₀t, де a₀=2 м/с². Визначити вектор середньої швидкості <> і середній модуль швидкості тіла за першу секунду руху.

1.19. Визначити максимальні лінійну швидкість і нормальне прискорення точок, що лежать на поверхні нейтронноі зірки. Маса зірки М=3 10³⁰ кг, густина =5 10¹³ г/см³, період обертання Т=3 мс.

1.20. До вертикальної труби висотою h=3 м влітає маленька пружна кулька зі швидкістю v=5 м/с під кутом =30° до горизонту. Кулька відбивається від стінок. Визначити час падіння кульки до основи труби.

РОЗДІЛ 2

^ КІНЕМАТИКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ